Probleme rezolvate cu plane perpendiculare

Doua probleme cu plane perpendiculare

1) Consideram paralelipipedul dreptunghic ABCDA’B’C’D’.

Stabiliti valoare de adevar a propozitiilor:

a)\left(ABC\right)\perp\left(ABB'\right) (A) (deoarece formeza un unghi diedru cu masura de de 90^{0})

b)\left(ADD'\right)\perp\left(A'B'C'\right)(A)

c)\left(ABC'\right)\perp\left(CB'A'\right)(A)

d)\left(A'BC'\right)\perp\left(CDA'\right)(F)

Demonstratie

Plane perpendiculare

\left(ABC\right)\perp\left(ABB'\right) (A) (deoarece formeza un unghi diedru cu masura de de 90^{0})

2.Dreptunghiu ABCD si patratul ABEF sunt situate in planele perpendiculare.
Stiind ca AB=40cm si BC=30cm, aflati:
a)distanta de la punctul E la dreapta AC
b)distanta de la punctul C la dreapta EF, precum si distanta de la punctul C la dreapta AE.
Demonstratie

distanta de la un punct la o dreapta
Stim ca
EB\perp\left(ABC\right)  BO\perp AC, BO, AC\subset\left(ABC\right)\Rightarrow EO\perp AC
Deoarece stim ca distanta de la un punct la o dreapta este piciorul perpendicularei din punctul dat pe dreapta respectiva, noi in cazul de sus am folosit Teorema celor trei perpendiculare, deci
d\left(E, AC\right)=EO
Acum sa aflam BO
In triunghiul ABC aplicam Teorema lui Pitagora
AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}\Rightarrow AC^{2}=40^{0}+30^{2}\Rightarrow AC=\sqrt{1600+900}\Rightarrow AC=\sqrt{2500}\Rightarrow AC=5\cdot 10\Rightarrow AC=50 cm
Acum putem afal BO, daca aplicam Teorema inaltimii
BO=\frac{AB\cdot BC}{AC}=\frac{40\cdot 30}{50}=\frac{1200}{50}=\frac{120}{5}=24
Acum in triunghiul EBO aplicam Teorema lui Pitagora
EO^{2}=EB^{2}+BO^{2}\Rightarrow EO^{2}=40^{2}+24^{2}\Rightarrow EO=\sqrt{1600+576}\Rightarrow EO=\sqrt{2176}\Rightarrow EO=8\sqrt{34}
b) d\left(C,EF\right)=CE
cum aflam distanta de la un punct la o dreapta
Astfel in triunghiul EBC aplicam Teorema lui Pitagora
CE^{2}=CB^{2}+BE^{2}\Rightarrow CE^{2}=40^{2}+30^{2}\Rightarrow CE=\sqrt{1600+900}\Rightarrow CE=\sqrt{2500}\Rightarrow CE=50 cm.
d\left(C,AE\right)=CT
distanta de la un punct la o dreapta
Observati ca \left\{T\right\}=AE\cap BF

Observam ca in triunghiul CTE stim CE=50 cm aflam ET, astfel ET=\frac{AE}{2}
AE este3 diagonala in patratul ABEF, astfel AE=l\sqrt{2}=40\sqrt{2}
Acum putem afla
ET=\frac{40\sqrt{2}}{2}=20\sqrt{2}
Acum putem aplica Teorema lui Pitagora in triunghiul dreptunghic CET
CT^{2}=CE^{2}-ET^{2}\Rightarrow CT^{2}=50^{2}-\left(20\sqrt{2}\right)^{2}\Rightarrow CT^{2}=2500-400\cdot 2\Rightarrow CT=\sqrt{2500-800}\Rightarrow CT=\sqrt{1700}\Rightarrow CT=10\sqrt{17}