Piramida triunghiulara regulata

Sa invatam despre Piramida triunghiulara regulata  printr-o rezolvare !

2. Fie piramida triunghiulara regulata SABC cu h=4 cm si volumul = 36√3 . Aflati :

a) latura bazei si aria laterala a piramidei
b) tangenta unghiului format de muchia SA cu planul bazei
c) distanta de la punctul O la planul (SBC)

Demonstratie:

a) Stim ca intr-o piramida triunghiulara regulata volumul este :

V=\frac{A_{b}\cdot h}{3}\Rightarrow 36\sqrt{3}=\frac{A_{b}\cdot 4}{3}\Rightarrow A_{b}\cdot 4=36\sqrt{3}\cdot 3\Rightarrow A_{b}=\frac{36\sqrt{3}\cdot 3}{4}^{(4}\Rightarrow A_{b}=9\sqrt{3}\cdot 3\Rightarrow A_{b}=27\sqrt{3}\;\; cm

Dar cum stim ca baza piramidei triunghiulare regulate este un triunghi echilateral obtinem A_{b}=\frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}

Astfel obtinem: \frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}=27\sqrt{3}\Rightarrow l^{2}\sqrt{3}=4\cdot 27\sqrt{3}\Rightarrow l^{2}=27\cdot 4\Rightarrow l=\sqrt{108}=6\sqrt{3}\;\; cm

Deci obtinem ca latura patratului este l=6\sqrt{3}
unghiul unei drepte cu un plan Stim ca A_{l}=\frac{P_{b}\cdot a_{p}}{2}
Stim ca P_{b}=3\cdot l=3\cdot 6\sqrt{3}=18\sqrt{3}
Acum trebuie sa aflam si apotema piramidei, astfel stim ca a_{p}^{2}=a_{b}^{2}+h^{2}

Dar stim ca a_{b}=\frac{l\sqrt{3}}{6}=\frac{6\sqrt{3}\sqrt{3}}{6}=3

Deci cu informatile de mai sus avem ca: a_{p}^{2}=3^{2}+4^{2}\Rightarrow a_{p}^{2}=9+16\Rightarrow a_{p}=\sqrt{25}\Rightarrow a_{p}=5
Astfel obtinem ca A_{l}=\frac{18\sqrt{3}\cdot 5}{2}=9\sqrt{3}\cdot 5=45\sqrt{3}\;\; cm^{2}

b) \tan\left(\widehat{SA,(ABC)}\right)
Pentru a afla unghiul unei drepte cu un plan trebuie sa calculam
pr_{(ABC)}SA adica proiectia dreptei SA pe planul ABC
Asftel aflam mai intai: pr_{(ABC)}S=O
Dar si pr_{(ABC)}A=A
Astfel obtinem: pr_{(ABC)}SA=AO
Si obtinem: \tan\widehat{\left(SA,(ABC)\right)}=\tan\widehat{\left(SA, AO\right)}=\tan\widehat{SAO}

Cu triunghiul SAO este dreptunghic aplicam:
\tan\widehat{SAO}=\frac{cateta. opusa}{cateta. alaturata}=\frac{SO}{AO}=\frac{4}{6}^{(2}=\frac{2}{3}
Unde AO=\frac{l\sqrt{3}}{3}=\frac{6\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{3}=\frac{6\cdot 3}{3}=6
unghiul unei drepte cu un plan
Formulele pe care le-am enutat mai sus trebuie retiunte.

c) d\left(O,(SBC)\right)
Distanta de un punct la un plan este piciorul perpendicularei din punctul dat pe plan.
Observam ca OM\perp BC
Dar si SM\perp BC
Deci obtinem BC\perp (SMO)
Acum construim perpendiculara din O pe SM, adica, fie OD\perp SM, unde SM\subset (SBC)

Si cu Reciproca celor Trei perpendiculare obtinem: OD\perp (SBC)
Observam ca triunghiul SOM este dretunghic, deci cu Teorema inaltimii obtinem:

OD=\frac{OS\cdot OM}{SM}=\frac{4\cdot 3}{5}=\frac{12}{5}=2,4\;\; cm
distanta de la un punct la un plan

Teza clasa a VIII model Semestrul I

                                                Lucrare scrisa la matematica pe semestrul I

Nume:
Prenume:

Subiectul I

1. Rezultatul calculului \left(2\sqrt{2}-1\right)^{2}+2\sqrt{8} este……

2. Daca multimea A=\left\{x\in N^{*}||\frac{2x-1}{3}|< 5\right\}, atunci cel mai mare numar natural din multimea A este…..

3. Media geometrica a numerelor  a=\frac{2}{\sqrt{3}+1}+3-\sqrt{3} si b=\frac{2}{\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}}+\left(2+\sqrt{2}\right)^{2} este egala cu ….

4. Scris sub forma de fractie ordinara ireductibila, numarul 0,08(3) este egal cu …

5. Rezultatul calculului 3\sqrt{48}-4\sqrt{12} este egal cu ….

6. Cubul ABCDA’B’C’D’ are muchia de lungime egala cu 8 cm.

a)  Determinati masura unghiului dintre dreptele AC si A’D’, m\left(\widehat{B'C, DC'}\right), precum si m\left(\widehat{AB',\left(ABC\right)}\right), \sin\left(\widehat{BD',\left(ABC\right)}\right)

b) Distanta de la punctul A’ la dreapta BC’

c) Lungimea diagonalei cubului

Subiectul II

1.a) Calculati \frac{20}{\sqrt{12}-\sqrt{2}}-\sqrt{6}\left(2\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)-|\sqrt{2}-2|

b)  Aratati ca numarul x=\left(\frac{2}{\sqrt{20}+3\sqrt{2}}\right)-|3\sqrt{2}-2\sqrt{5}|+\sqrt{\left(-4\right)^{2}} este este patrat perfect.

2. Fie E\left(x\right)=\left(x-1-\frac{x^{2}-1}{x+2}\right):\frac{x-1}{x+2}

a) Determinati valorile lui x pentru care expresia este bine definita

b) Aduceti expresia la forma cea mai simpla

c) Determinati valorile intregi a, pentru care \frac{6}{x+1}\cdot E(a) este numar intreg

3. Consideram tetraedrul ABCD de varf A, cu lungimea lui AB=8 cm

a) Calculati lungimea proiectiei segmentului AB pe planul (BCD)

b) Calculati distanta de la A la CD

c) Calculati distanta  de la A la planul (BCD)

d) Determinati sinusul unghiului dintre dreapta AB si planul (BCD)

Solutie:

1. Ca sa aflam rezultatul calculului folosim formulele de calcul prescurtat ar si scoaterea factorilor e sub radicali:

\left(2\sqrt{2}-1\right)^{2}+2\sqrt{8}=\left(2\sqrt{2}\right)^{2}-2\cdot 2\sqrt{2}\cdot 1+1^{2}+2\cdot 2\sqrt{2}=8-4\sqrt{2}+1+4\sqrt{2}=9

Deci rezultatul calculului este 9.

2. Ca sa aflam cel mai mare element al multimii, mai intai aflam carui interval apartine elementul x

|\frac{2x-1}{3}|<5\Rightarrow -5<\frac{2x-1}{3}<5|\cdot 3\Rightarrow -15\cdot 3<2x-1<15|+1\Rightarrow -15+1<2x-1+1<15+1\Rightarrow -14<2x<16|:2\Rightarrow -7<x<8

Ca sa rezolvam moului de mai sus am tinut cont de regula

|x|<a\Rightarrow -a<x<a

Iar la inegalitatea gasita, am inmultit cu 3 pentru a obtine o inegalitate cu numitorul 1, apoi am adunat cifra 1 pentru toata inegalitatea si nu in ultimul rand am impartit printr-un 2 si astfel am obtinut intervalul x\in \left(-7, 8\right), adica multimea, dar frara elementul 0, deoarece

x\in N^{*}

A=\left\{1,2, 3, 4, 5, 6, 7\right\}

Deci cel mai mare element al multimii este 7.

3. Ca sa calculam media geometrica a numerelor mai intai calculam numerele:

a=\frac{2}{\sqrt{3}+1}+3-\sqrt{3}=\frac{2\left(\sqrt{3}-1\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-1^{2}}+3-\sqrt{3}=\frac{2\left(\sqrt{3}-1\right)}{3-1}+3-\sqrt{3}=\sqrt{3}-1+3-\sqrt{3}=2

Acum calculam b

b=\frac{2}{\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}}+\left(2+\sqrt{2}\right)^{2}=\frac{2}{2+2\cdot \sqrt{2}\cdot 1+1^{2}}+4+2\cdot 2\cdot \sqrt{2}+2=\frac{2}{2+2\sqrt{2}+1}+6+4\sqrt{2}=\frac{2}{3+2\sqrt{2}}+6+4\sqrt{2}=\frac{2\left(3-\sqrt{2}\right)}{3^{2}-\left(2\sqrt{2}\right)^{2}}+6+4\sqrt{2}=\frac{6-4\sqrt{2}}{9-8}+6+4\sqrt{2}=6-4\sqrt{2}+6+4\sqrt{2}=6+6=12

Observati ca in cazul exercitiului de mai sus am folosit formulele de calcul prescurtat \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2\cdot a\cdot b+b^{2}, dar si rationalizarea  numitorilor de forma \sqrt{a}+b.

Iar media geometrica a numarelor este:

M_{g}=\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{2\cdot 12}=\sqrt{2\cdot 2^{2}\cdot 3}=2\sqrt{6}

Observati ca am scos factorii de sub radicali.

4. Cum transformam fractia zecimala in fractie ordinara 0,08(3)=\frac{83-8}{900}=\frac{75}{900}^{(15}=\frac{75:15}{900:15}=\frac{5}{60}^{(5}=\frac{5:5}{60:5}=\frac{1}{12}

Si am obtinut o fractie ordinara ireductibila.

5. Ca sa aflam rezultatul calculului mai intai scoatem factorii de sub radicali

3\sqrt{48}-4\sqrt{12}=3\sqrt{2^{2}\cdot 2^{2}\cdot 3}-4\sqrt{2^{2}\cdot 3}=3\cdot 2\cdot 2\sqrt{3}-4\cdot 2\sqrt{3}=12\sqrt{3}-8\sqrt{2}=4\sqrt{3}

 

Teza clasa a VIII a matematica MODEL

                                                Lucrare scrisa la matematica pe semestrul I

Nume:
Prenume:

Subiectul I

1. Rezultatul calculului \left(\frac{2}{\sqrt{3}}+1\right)^{2}+\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^{2} este……

2. Daca multimea A=\left\{x\in R|-3<1-2x\leq 5\right\}, atunci cel mai mare numar intreg din multimea A este…..

3. Media geometrica a numerelor  a=|4-\sqrt{20}| si b=|\sqrt{12}-4|+|\sqrt{12}+6| este egala cu ….

4. Scris sub forma de fractie zecimala, numarul \frac{81}{125} este egal cu …

5. Rezultatul calculului \sqrt{\left(2-\sqrt{8}\right)^{2}}-2\sqrt{2} este egal cu ….

6. Cubul ABCDA’B’C’D’ are muchia de lungime egala cu 4 cm.

a)  Determinati masura unghiului dintre dreptele AC si A’D’, m\left(\widehat{B'C, DC'}\right), precum si m\left(\widehat{AB',\left(ABC\right)}\right), \sin\left(\widehat{BD',\left(ABC\right)}\right)

b) Distanta de la punctul A’ la dreapta BC’

c) Lungimea diagonalei cubului

Subiectul II

1.a) Calculati \frac{20}{\sqrt{12}-\sqrt{2}}-\sqrt{6}\left(2\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)-|\sqrt{2}-2|

b)  Aratati ca numarul x=\left(\frac{4}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}+\frac{2}{\sqrt{3}-1}\right):\frac{2}{\sqrt{7}-1} este natural

2. Fie E\left(x\right)=\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\right):\frac{2x+6}{x^{2}+3x}

a) Determinati valorile lui x pentru care expresia este bine definita

b) Aduceti expresia la forma cea mai simpla

c) Determinati valorile intregi a, pentru care 6\cdot E(a) este numar intreg

3. Consideram tetraedrul ABCD de varf A

a) Calculati lungimea proiectiei segmentului AB pe planul (BCD)

b) Calculati distanta de la A la CD

c) Calculati distanta  de la A la planul (BCD)

d) Determinati sinusul unghiului dintre dreapta AB si planul (BCD)

 

Teorema celor trei perpendiculare Reciprocele celor trei perpendiculare

Stiti ca am invatat sa calculam distanta de la un punct la o dreapta, distanta de la un punct la un plan, dar si distanta dintre dou plane, ca sa gasim mai usor distanta de la un punct la un plan si toate cele care le-am enuntat mai sus o sa aplicam Teorema celor trei perpendiculare, dar si Reciprocele celor trei perpendiculare.

Definim prima data Teorema celor trei perpendiculare

Teorema:

Daca o dreapta d este perpendiculara pe un plan \alpha si prin piciorul ei trece o dreapta a, continuta in plan, care este perpendiculara pe o alta dreapta b continuta in plan, atunci o dreapta c care uneste orice punct M al dreptei d cu intersectia P a celor doua drepte a si b, este perpendiculara pe cea de-a treia latura.

Cum aplicam Teorema celor trei perpendiculare

d\perp\alpha    \\a\subset\alpha, O\in a

a\perp b, b\subset\alpha, a\cap b=\left\{P\right\}, M\in D

\Rightarrow MP\perp b

Acum cele doua reciproce sunt foarte importante deoarece  putem afla distanta de la un punct la altul sau distanta de la un punct la un plan.

 Reciprocele teoremei  celor trei perpendiculare

R.T.3\perp 1

Cum aplicam prima reciproca a celor trei perpendiculare

 

d\perp \alpha, d\cap\alpha=\left\{O\right\}    a\subset\alpha, O\in a, b\subset\alpha , a\cap b=\left\{P\right\},    M\in d, MP\perp b\Rightarrow a\perp b

R.T.3\perp 2

Cum aplicam Reciproca a doua a celor trei perpendiculare

d\perp a, d\cap a=\left\{O\right\}, a\subset\alpha

a\perp b, a, b\subset\alpha, a\cap b=\left\{P\right\}, M\in d,

 

MP\perp b\Rightarrow d\perp \alpha

 

Rezolvam probleme in care aplicam teorema celor trei perpendiculare

1) Pe planul triunghiului isoscel ABC  cu AB=AC=20 cm  si BC=32 cm se ridica perpendiculara AP, cu AP=12\sqrt{3} cm. Aflati:

a) distanta de la punctul P la dreapta BC

b) distanta de la  punctul A la planul  (PBC).

cum aplicam teorema celor trei perpendiculare

 

Stim ca

AP\perp\left(ABC\right)

Construim AD\perp BC, deci prin piciorul dreptei BC trece o dreapta perpendiculara pe o alta dreapta, atunci rezulta ca AD\perp BC

AP\perp\left(ABC\right)

AD\perp BC, BC\subset \left(ABC\right), AD\cap BC=\left\{P\right\}\Rightarrow AD\perp BC

Am aplicat Teorema celor trei perpendiculare si astfel am gasit ca d\left(    A, BC\right)=AD.

Acum aflam valoarea numerica a distantei

Cum Ad este inaltime, stim ca intr-un triunghi isoscel mediana, mediatoarea, bisectoarea si inaltimea coincid, deci observam  ca AD  este si mediana, astfel BD=\frac{BC}{2}\Rightarrow BD=\frac{32}{2}\Rightarrow BD=16 cm, acum aplicam teorema lui Pitagora in triunghiul ABD pentru a afla AD

AD^{2}=AB^{2}-BD^{2}\Rightarrow AD^{2}=400-256\Rightarrow AD^{2}=144\Rightarrow AD=\sqrt{144}\Rightarrow AD=12 cm.

Acum aplicam Teorema lui Pitagora in triunghiul PAD

PD^{2}=AP^{2}+AD^{2}\Rightarrow PD^{2}=\left(12\sqrt{3}\right)^{2}+12^{2}\Rightarrow PD^{2}=144\cdot 3+144\Rightarrow PD^{2}=144\left(3+1\right)\Rightarrow PD^{2}=144\cdot 4\Rightarrow PD=\sqrt{144\cdot 4}\Rightarrow PD=12\cdot 2\Rightarrow PD=24 cm.

b)d\left(A, \left(PBC\right)\right)=

CUM CALCULAM DISTANTA DE LA UN PUNCT LA UN PLAN

 

Daca AE\perp PD, PD\subset \left(PDC\right), rezulta cu cea de doua reciproca a teoremei celor trei perpendiculare ca AE\perp \left(PBC\right), deci trebuie sa aflam pe AE, cum stim ca triunghiul PAD este dreptunghic in A, aplicam teorema inaltimii

AD=\frac{c_{1}\cdot c_{2}}{ipotenuza}\Rightarrow AD=\frac{12\sqrt{3}\cdot 12}{24}\Rightarrow AD=\frac{144\sqrt{3}}{24}=6\sqrt{3}.

Deci important sa intelegem atat teorema celor trei perpendiculare, dar si reciprocele teoremei celor trei perpendiculare.

 

Dreapta perpendiculara pe un plan, distanta de la un punct la un plan

Despre doua drepte concurente sau necoplanare am invatat ca sunt perpendiculare daca formeaza un unghi de 90^{0}, adica formeaza un unghi drept si astfel este foarte important sa intelegem aceste notiuni intrrucat dreapta perpendiculara pe un plan si distanta de la un punct la un plan sunt foarte importante pentru Evaluarea Nationala.
Astfel definim notiunea de dreapta perependiculara pe un plan:
Def: Numim dreapta perpndiculara pe un plan o dreapta care este perpendicluara pe orice dreapta din acel plan.
Teorema. O dreapta perpendiculara pe doua drepte concurente dintr-un plan este perpendiculara pe plan.
<br /> d \perp a
<br /> \\d\perp b, a\cap b=\left\{O\right\}<br /> \\a, b \subset \alpha<br /> \\Deci\;\;\; d\perp \alpha<br />
Dreapta perpendiculara pe doua drepte concurente
Teorema. Prin orice punct din spatiu se poate duce o singura perpendiculara pe un plan dat.
Deci ,foarte important sa stim ca putem duce o singura perpendiculara pe un plan.
Teorema. Prin orice punct din spatiu trece un singur plan perpendicular pe o dreapta data.
Prezentam un exemplu care sa ne ajute sa intelegem:
1) Triunghiul dreptunghic ABC are catetele AB=2 cm si AC=\sqrt{5}. Ducem BD\perp \left(ABC\right), astfel incat BD=4 cm. Calculati lungimea lui AD si CD si aratati cu  AC\perp \left(ABD\right).
Ip:
AB=2 cm

<br /> AC=\sqrt{5}<br /> \\BD\perp \left(ABC\right)<br /> \\BD= 4 cm<br />
Dem:
<br /> AD=?<br /> \\CD=?<br /> \\AC\perp \left(ABD\right)<br />

probleme rezolvate triunghiul dreptunghic
Dem:
Calculam cu ajutorul teoremei lui Pitagora BC
<br /> BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}<br /> \\BC^{2}=2^{2}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}<br /> \\BC^{2}=4+5<br /> \\BC=\sqrt{9}<br /> \\BC=3 cm.
Dupa ce am aflat lungimea ipotenuzei obsevam ca triunghiul BCD este dreptunghic in B (deoarece am ridicat perpendiculara BD, dreapta noastra este perpendiculara pe doua drepte concurente, BC si AB).
Deci in triunghiul BCD aplicam teorema lui Pitagora
<br /> CD^{2}=BC^{2}+BD^{2}<br /> \\CD^{2}=3^{2}+4^{2}<br /> \\CD^{2}=9+16<br /> \\CD^{2}=25<br /> \\CD=\sqrt{25}<br /> \\CD=5<br /> cm.
Iar pentru a afla pe AD aplicam teorema lui Pitagora in triunghiul ADB, dreptungic in B, stim asta din faptul ca dreapta DB este percendiculara pe planul ABC, deci obtinem
<br /> AD^{2}=AB^{2}+BD^{2}<br /> \\AD^{2}=2^{2}+4^{2}<br /> \\AD^{2}=4+16<br /> \\AD^{2}=20<br /> \\AD=\sqrt{20}<br /> \\AD=2\sqrt{5}<br /> cm.
Ca sa aratam ca dreapta AC este perpendiculara pe planul ABD observam ca:
<br /> AC\perp BD<br /> \\AC\perp AB<br /> \Rightarrow AC\perp \left(ABD\right)<br />
Dupa cum am spus o sa discutam si despre distanta de la un punct la un plan. Astfel definim distanta de la un punct l un plan:
Def: Se numeste distanta de la un punct la un plan lungimea segmentului care uneste punctul cu piciorul perpendicularei duse din punctul dat pe plan.

Fie un plan \alpha si un punct  A\notin \alpha
care este distanta de la un punctla un plan
Construim AA'\perp\alpha cu  A'\in \alpha
cum calculam distanta de l un punct la un plan
Deci d\left(A, \alpha\right)=AA'
Daca  A\in \alpha , atunci d\left(A, \alpha\right)=0.