Paraleleogramul

Astazi o sa vorbim despre paralelogram si o sa intelegem mai bine ce este paralelogramul

Def: Paralelogramul este patrulaterul convex care are laturile opuse paralele doua cate doua.

 paralelogramul Conditia ca sa fie paralelogram
Proprietati care ne ajuta sa rezolvam problemele in care apare paralelogramul:
1) Teorema. Intr-un paralelogram laturile opuse sunt congruente doua cate doua.
Laturile opuse intr-un paralelogram sunt congruente doau cate doua
2) Unghiurile opuse sunt congruete si oricare doua alaturate sunt suplementare (adica au masura de 180^{0})
oricare doau alaturate sunt suplementare
\prec A\equiv \prec C<br /> \\\prec B\equiv \prec D<br /> \\m(\prec A)+m(\prec B)=180^{0}.
Problema
1) In patrulaterul convex ABCD masurile unghiurilor A, B, C, D sunt invers proportionale cu numerele: 0,(3); 0,2; \frac{1}{2}; 0,(1).
a) Calculati masurile unghiurilor patrulaterului
b) Stiind ca DE||BC, E\in (AB), aratati ca BCDE este paralelogram.
Ip:
ABCD patrulater convex
A, B, C, D invers proportionale cu 0,(3); 0,2; \frac{1}{2}; 0,(1).
Cl:<br /> \\m(\prec A)=?<br /> \\m(\prec B)=?<br /> \\m(\prec C)=?<br /> \\m(\prec D)=?<br /> \\ BCDE paralelogram
Dem:
Masura unghiurilor  intr-un patrulater convex
Stim de la proprietatea patrulaterului convex ca: suma masurii unghiurilor intr-un patrulater convex este de 360^{0}.
deci

<br /> \\m(\prec A)+m(\prec B)+m(\prec C)+m(\prec D)=360^{0} \\ \frac{m(\prec A)}{\frac{1}{0,(3)}}=\frac{m(\prec B)}{\frac{1}{0,2}}=\frac{m(\prec C)}{\frac{1}{\frac{1}{7}}}=\frac{m(\prec D)}{\frac{1}{0, (1)}}<br /> \\ \frac{m(\prec A)}{\frac{1}{0,(3)}}=k \Rightarrow m(\prec A)=\frac{1}{0,(3)}k \Rightarrow m(\prec A)=\frac{1}{\frac{3}{9}}k=frac{9}{3}k\Rightarrow m(\prec A)=3k<br /> \\m(\prec B)= 5k<br /> \\m(\prec C)=7k<br /> \\m(\prec D)=9\cdot k<br /> \\3k+5k+7k+9k=360^{0}<br /> \\24k=360^{0}<br /> \\k=\frac{360}{24}<br /> \\k=15<br /> \\m(\prec A)=3k=3\cdot 15=45^{0}<br /> \\m(\prec B)=5k=5\cdot 15= 75^{0}<br /> \\m(\prec C)=7k=7\cdot 15= 105^{0}<br /> \\m(\prec D)=9k= 9\cdot 15= 135^{0}</p> <p>

Pozitii relative ale punctelor si ale dreptelor

Primele notiuni care le invatam la geometrie sunt punctul, dreapta si planul, care dupa cum bine stiti sunt notiunile preliminare si cele mai simple. Dat fiind faptul ca stim ce este punctul, dreapta si planul, astazi vorbim de pozitii relative ale punctelor si ale dreptelor.
Pozitia relativa a punctelor

Un punct poate sa apartina unei drepte sau poate sa nu apartina unei drepte
Punct care apartine unei drepte
A\in d si B\notin d

Axioma. Oricare ar fi doua puncte distincte exista o dreapta care le contine, adica prin doua puncte distincte trece o singura dreapta.
prin doua puncte distincte trece o dreapta

Doua sau trei puncte se numesc coliniare daca apartin aceleiasi drepte .Daca nu apartin aceleiasi drepte se numesc necoliniare.
In figura de mai sus punctele A si B sunt coliniare.
Pozitia relativa a dreptelor
Dreptele pot fi:
coplanare
– necoplanare
Dreptele coplanare sunt situate in acelasi plan, exista un plan care le contine pe toate.
Dreptele necoplanare nu au nici un punct in comun si nici nu sunt paralele .
Iar cele coplanare pot fi:
-paralele
– concurente
-confundate
Dreptele paralele sunt dreptele care nu se intalnesc niciodata, nu au nici un punct in comun. Notam d || g
Pozitia relativa a dreptelor
Dreptele concurente au un singur punct in comun, se intalnesc intr-un singur punct.Notam d\cap g={M}
Drepte concurente
Dreptele confundate au toate punctele comune.

Problema

1) Se considera un paralelipiped

PARALELIPIPED DREPTUNGHICa) Copiati si completati
i) \\AB\cap AA^{'}={A}
ii) \\AD\cap BB^{'}={\oslash}
iii) \\AD\cap A^{'}D^{'}={\oslash}.

b) Numiti trei drepte concurente
Solutie:
AA', AD, AB; \\AB, BC, BB'; \\AD, DD' DC au cate un punct in comun, prima punctul a
– a doua punctul B, iar a treia punctul D, dreptele sunt concurente daca au un punct in comun