Probleme rezolvate cu ajutorul ecuatiilor

La un concurs se acorda 6 puncte pentru o problema rezolvata corect si se scad 2 puncte pentru o problema rezolvata gresit.Maria a trimis la concurs 12 probleme rezolvate si a primit 48 de puncte .Cate probleme a rezolvat corect si cate a rezolvat gresit

Solutie:

Notam cu x problemele rezolvate corect

y problemele rezolvate gresit

Si acum formam ecutiile

x+y=12 (12 probleme rezolvate corecte sau incorecte)

6x-2y=48 (se acorda 6 puncte pentru un raspuns corect si se scad 2 puncte pentru un raspuns gresit)

Deci avem ecuatiile

x+y=12

dar si

6x-2y=48|:2\Rightarrow 3x-y=24

Acum din prima ecuatie avem:

x+y=12\Rightarrow y=12-x

Si daca inlocuim in cea de-a doua obtinem:

3x-y=24\Rightarrow 3x-\left(12-x\right)=24\Rightarrow 3x-12+x=24\Rightarrow 4x-12=24\Rightarrow 4x=24+12\Rightarrow 4x=36\Rightarrow x=36:4\Rightarrow x=9

Deci numarul problemelor rezolvate corect sunt 9, iar cele incorecte sunt in numar de:

y=12-9=3

Asadar numarul problemelor rezolvate incorect sunt in numar de 3

Acum daca efectuam proba obtinem:

6x-2y=48 ?

Adica 6\cdot 9-2\cdot 3=54-6=48 (Adica punctajul obtinut de Maria la concurs)

Probleme rezolvate cu ajutorul ecuatiilor

Astazi revenim cu 2 rezolvari foarte simple care folosesc ecuatii. Pentru a rezolva problemele cu ajutorul ecuatiilor trebuie sa tinem cont de etapele pe care trebuie sa le parcurgem pentru a rezolva ecuatiile, cei care nu vi le mai reamintiti click aici

Un taran are de 5 ori mai multe gaini decat rate. Daca vinde 5 gaini si cumpara 3 rate, atunci numarul gainilor devine de 3 ori mai mare decat al ratelor. Cate gaini si cate rate a avut taranul?

Solutie:

Notam cu x numarul gainilor si y numarul ratelor

Astfel formam ecuatia:

x=5\cdot y de 5 ori mai multe gaini decat rate

Dar si ecuatia x-5=3\cdot\left(y+3\right)

Cum am format cele doua ecuatii rezolvam ecuatia:

x-5=3\cdot y+3\cdot 3\Rightarrow x-5=3y+9\Rightarrow x=3y+9+5\Rightarrow x=3y+14

Astfel cu prima relatie obtinem: 5y=3y+14\Rightarrow 5y-3y=14\Rightarrow 2y=14\Rightarrow y=14:2\Rightarrow y=7

Asadar am obtinut ca numarul ratelor este 7

Acum sa aflam numarul gainilor.

y=5\cdot y=5\cdot 7=35, deci numarul gainilor este 35.

2. Ionut cheltuieste o suma de bani astfel: prima data \frac{2}{5}  din suma, a doua oara \frac{5}{6} din rest, ramanandu-i 5 lei ce suma a avut?

Solutie

Notam cu S suma de bani.

Stim ca prima data cheltuieste \frac{2}{5} din suma, astfel formam ecuatia:

S-\frac{2}{5}\cdot S=\frac{5S-2S}{5}=\frac{3S}{5}

A doua oara \frac{5}{6}\cdot\frac{3S}{5}=\frac{S}{2}

Adica ^{2)}\frac{3S}{5}-^{5)}\frac{S}{2}=\frac{6S}{10}-\frac{5S}{10}=\frac{6S-5S}{10}=\frac{S}{10}

Iar ultima data i au ramas 5 lei astfel avem ecuatia \frac{x}{10}-2=0\Rightarrow \frac{x}{10}=2\Rightarrow x=20\;\; lei

Deci suma pe care a avuta ionut este de 20 lei

Asadar este foarte important sa cunoastem etapele pe care trebuie sa le parcurgem pentru a rezolva problemele, dar si sa formam ecuatiile corect, cu notiunile din ipoteza.

Probleme rezolvate cu Teorema impartirii cu rest

Sa mai rezolvam cateva probleme folosind teorema impartirii cu rest.

1. Tatal are 42 de ani, iar cei doi copii ai sai au varsta/varstele de 12 ani si respectiv 14 ani. Peste cati ani varsta tatalui va fi egala cu suma varstelor copiilor?

Solutie:
Stim ca tatal are 42 ani, iar cei doi copii au varsta de 12 ani si 14 ani.
Astfel formam ecuatiile:
42=x+12+14\Rightarrow 42=x+26\Rightarrow x=42-26\Rightarrow x=16
Asadar peste 16 ani varsta tatalui va fi egala cu suma varstelor copiilor.

2. Suma a doua numere intregi este 63. Impartind unul dintre numere la celalalt, se obtine catul 2 si restul 9. Aflati numerele.

Solutie:
Notam cu x si y cele doua numere.
Si formam ecuatia x+y=63 Suma a doua numere intregi este 63.
x:y, catul c=2 si r=9
Folosind Teorema impartirii cu rest obtinem x=2\cdot y+9
Deci am obtinut ecuatiile: x+y=63
Si x=2y+9
Inlocuind cea de-a doua ecuatie in prima obtinem:
x+y=63\Rightarrow 2y+9+y=63\Rightarrow 3y+9=63\Rightarrow 3y=63-9\Rightarrow 3y=54\Rightarrow y=54:3\Rightarrow y=18
Iar x=2\cdot y+9=2\cdot 18+9=36+9=45

Daca mai aveti si alte probleme in care trebuie sa aplicati teorema impartirii cu rest va recomandam sa folositi acest model de rezolvare. Pentru alte exercitii si probleme va stam la dispozitie.

Probleme rezolvate recapitulare clasa a 8 a Partea 2

Partea a doua

probleme rezolvate pentru clasa a viii a

 

1. b)Cum rezolvam in multimea numerelor reale ecuatia?
\frac{\left(x-2\right)^{2}}{2}+{2)}^x\left(x-1\right)=\frac{3x\left(x-5\right)}{2}+^{2)}12
Mai intai aducem in ambii membrii la acelasi numitor, astfel ecuatia devine:
\frac{\left(x-2\right)^{2}+2x\left(x-1\right)}{2}=\frac{3x\left(x-5\right)+2\cdot 12}{2}
Cum avem acelasi numitor putem egala numaratorii, astel ecuatia devine:
\left(x-2\right)^{2}+2x\left(x-1\right)=3x\left(x-5\right)+24\Rightarrow x^{2}-4x+4+2x^{2}-2x=3x^{2}-15x+24\Rightarrow 3x^{2}-6x+4=3x^{2}-15x+24\Rightarrow 3x^{2}-3x^{2}-6x+15x=24-4\Rightarrow 9x=20\Rightarrow x=\frac{20}{9}
Apoi doar am aplicat formulele de calcul prescurtat si am efectuat calculele, de unde am obtinut solutia ecuatiei x=\frac{20}{9}

3. In cazul acestei probleme avem un triunghi dreptunghic in care stim doar mediana si cosinusul unui unghi, astfel cu teorema medianei stim ca

cum aflam inaltimea intr-un triunghi dreptunghic problema rezolvata cu teorema lui Pitagora

 

AM=\frac{1}{2}\cdot BC\Rightarrow 6\sqrt{3}=\frac{1}{2}\cdot BC\Rightarrow BC=12\sqrt{3}

Cum stim ipotenuza triunghiului dreptunghic putem sa aflam o cateta deoarece:

\cos B=\frac{cateta\;\; alaturata}{ipotenuza}\Rightarrow \frac{1}{2}=\frac{AB}{BC}\Rightarrow \frac{1}{2}=\frac{AB}{12\sqrt{3}}\Rightarrow AB=\frac{12\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}\;\; cm^{2}

Cum stim o cateta si ipotenuza putem sa aflam cu teorema lui Pitagora cealalta cateta:

AC^{2}=BC^{2}-AB^{2}\Rightarrow AC^{2}=\left(12\sqrt{3}\right)^{2}-\left(6\sqrt{3}\right)^{2}\Rightarrow AC^{2}=144\cot 3-36\cdot 3\Rightarrow AC^{2}=432-108\Rightarrow AB=\sqrt{324}=18\;\; cm

Deci putem afla perimetrul

P_{\Delta ABC}=AB+AC+BC=18\sqrt{3}+18

b) Ca sa aflam aria unui triunghi dreptunghic stim ca

A_{\Delta ABC}=\frac{c_{1}\cdot c_{2}}{2}=\frac{AB\cdot AC}{2}=\frac{18\cdot 6\sqrt{3}}{2}=\frac{9\cdot 6\sqrt{3}}{1}=54\sqrt{3}\;\; cm^{2}

c) Acum ca sa aflam cat la suta din aria triunghiului ADC reprezinta ABD, mai intai afla aria ficarui triunghi, dar mai intai inatimea triunghiului ABC

h=\frac{c_{1}\cdot c_{2}}{ipotenuza}=\frac{AB\cdot AC}{BC}=\frac{18\cdot 6\sqrt{3}}{12\sqrt{3}}=\frac{18\cdot 1}{2}=9

si cu inaltimea triunghiului ABC o stim AD=9, stim ca avem doua triunghiuri dreotunghice deci putem aplica formula

A_{\Delta ABD}=\frac{BD\cdot AD}{2}=\frac{3\sqrt{3}\cdot 9}{2}

Ca sa aflam BD stim ca \cos B=\frac{1}{2}, deci masura unghiului B este de 60 de grade si unghiul C este de 30 de grade.

Stim ca triunghiul ABM este isoscel cu un unghi de 60 de grade deci echilateral, deci si masura unghiului AMB este de 60 e grade

Astel in triunghiul

ADM stim ca m\left(\widehat{D}\right)=90^{0}

Deci obtinem ca

m\left(\widehat{DAM}\right)=30^{0}

deci in triunghiul ADM dreptunghic in D, aplicam teorema 30-60-90

DM=\frac{1}{2}\cdot AM=\frac{1}{2}\cdot 6\sqrt{3}=3\sqrt{3}

Astfel BD=BM-DM=6\sqrt{3}-3\sqrt{3}=3\sqrt{3}

Iar DC=DM+MC=3\sqrt{3}+6\sqrt{3}=9\sqrt{3}\;\; cm

deci acum putem afla aria fiecarui triunghi

A_{\Delta ABD}=\frac{BD\cdot AD}{2}=\frac{3\sqrt{3}\cdot 9}{2}=\frac{27\sqrt{3}}{2}

Dar si

A_{\Delta ADC}=\frac{AD\cdot DC}{2}=\frac{9\cdot 9\sqrt{3}}{2}=\frac{81\sqrt{3}}{2}

Iar acum trebuie sa aflam

p\% A_{\Delta ABD}=A_{\Delta ADC}\Rightarrow p\% \frac{27\sqrt{3}}{2}=\frac{81\sqrt{3}}{2}\Rightarrow p\%27\sqrt{3}=81\sqrt{3}\Rightarrow p\%=\frac{81\sqrt{3}}{27\sqrt{3}}=\frac{3}{1}\Rightarrow p=3\%

Rezolvarea inecuatiilor dar si rezolvarea problemelor cu ajutorul ecuatiilor

1.Nr. naturale care verifica inecuatia 17,83-x>16,5 sunt ?

2. Nr.naturale nenule care verifica inegalitatea 9x<15? Solutie: Rezolvam mai intai prima inecuatie, astfel avem ca: 17,83-x>16,5\Rightarrow 17,83-16,5>x\Rightarrow 1,33>x

Sau mai putem rezolva inecuatia si astfel:

17,83-x>16,5\Rightarrow -x>16,5-17,83|\cdot \left(-1\right)\Rightarrow x<-16,5+17,83\Rightarrow x<1,33
Deci solutia inecuatiei este x\in \left(-\infty,1,33\right)
Dar in cazul nostru doar in multimea numerelor naturale, astfel numerele naturale care verifica inecuatia sunt 0 si 1.
2.Ca sa aflam numerele naturale care verifica inegalitatea, rezolvam inecuatia
9x<15|:9\Rightarrow x<\frac{15}{9}^{(3}\Rightarrow x<\frac{5}{3}\Rightarrow x<5:3\Rightarrow x<1,(6)
Astfel gasim solutia inecuatiei
x\in\left(-\infty, 1,(6)\right)

Dar numerele naturale care verifica inegalitatea sunt 0 si 1.
3. Daca x=10, atunci inlocuim x in ecuatia de mai jos si apoi rezolvam ecuatia care rezulta
2a+7,3\cdot x=73\Rightarrow 2a+7,3\cdot 10=73\Rightarrow \Rightarrow a=0
Deci obtinem ca a=0
Stim ca multimea numerelor naturale este \left\{0,1, 2,...,n...\right\}
4. Soferul unui autobuz a constatat ca, dupa ce a parcus 2 supra 3 din lungimea traseului, mai are de parcus 87,65km. Determinati lungimea traseului pe care il are de parcus autobuzul.

Solutie:

Notam cu x distanta parcursa de soferul de autobuz

Acum formam ecuatia:

x-\frac{2}{3}\cdot x=87,65

Acum rezolavam ecuatia:

x-\frac{2}{3}x=87,65|\cdot 3\Rightarrow 3\cdot x-\frac{2}{3}x\cdot 3=87,65\cdot 3\Rightarrow 3x-2x=262,95\Rightarrow x=262,95

Deci lungimea traseului pe care il are de parcurs soferul este 262,95 Km.

Acum efectuam proba:

262,95-\frac{2}{3}\cdot 262,95=262,95-\frac{2\cdot 262,95}{3}=262,95-\frac{525,9}{3}=262,95-175,3=87,65

Deci se verifica.
Astfel la rezolvarea problemelor cu ajutorul ecuatilor important este sa tinem cont de etapele pe care trebuie sa le parcurgem pentru rezolvarea corecta a problemelor.

Alte 2 probleme rezolvate cu ajutorul ecuatiilor

1) Suma a trei numere este 2450 Primul numar este cu 250 mai mare decat al doilea si cu 180 mai mare decat al treilea. Care sunt numerele?

Solutie

Notam cu:

– x primul numar

– y al doilea numar

– z al treilea  numar

x+y+z=2450

x=250+y\Rightarrow y=x-250

x=180+z\Rightarrow z=x-180

Acum daca inlocuim in prima ecuatie obtinem:

x+x-250+x-180=2450\Rightarrow 3x=2450+250+180\Rightarrow 3x=2880\Rightarrow x=2880:3\Rightarrow x=960

Acum sa aflam y

y=x-250\Rightarrow y=960-250\Rightarrow y=710

Iar z este

z=x-180\Rightarrow z=960-180\Rightarrow z=780

Acum sa efectuam proba:

x+y+z=2450    \\ 960+710+680=1670+780=2450

Deci se verifica.

2)  La suma numerelor pare cuprinse intre 209 si 216, aduna numarul 363. Ce numar ai obtinut?

Solutie:

Mai intai sa vedem care sunt numerele pare cuprinse intre 209 si 216, astfel avem 210; 212; 214

Acum suma numerelor pare este :

210+212+214=636

Acum la suma numerelor pare, suma care am obtinut-o adunam 363 si obtinem

636+363=999

 

Rezolvarea ecuatiilor cu ajutorul fractiilor zecimale

 

Prezentam  rezolvarea ecuatiilor cu ajutorul fractiilor zecimale

1) Rezolvati ecuatia

2,4 + x = -2,8\Rightarrow x=-2,8-2,4\Rightarrow x=-5,2

Ca sa rezolvam ecuatia de mai sus am trecut termenul liber in partea dreapta cu semn schimbat, adica l-am trecut pe 2,4 cu semn schimbat, apoi am obtinut ca x=-2,8-2,4 Adica am dat semnul comun celor doua numere  si le-am adunat, astfel am obtinut rezultatul -5,2.

Alternativ, ca sa rezolvam ecuatia ,putem  sa transformam fractiile zecimale in fractii ordinare si la fel ca mai sus trecem termenul liber cu semn schimbat si obtinem:

2,4 + x = -2,8\Rightarrow \frac{24}{10}+x=-\frac{28}{10}\Rightarrow

x=-\frac{28}{10}-\frac{24}{10}\Rightarrow x=\frac{-28-24}{10}\Rightarrow x=\frac{-52}{10}

Observam ca avem acelasi numitor, deci copiem numitorul si adunam numaratorii. Deoarece avem  semn comun celor doua numere  dam semnul comun si numerele le adunam, iar acum transformam fractia ordinara in fractie zecimala, astfel obtinem:

\frac{-52}{10}=-5,2

Daca nu stiti sa transformati din fractie ordinara in fractie zecimala aflati aici si aici.