Subiecte posibile Evaluarea Nationala Matematica

Subiectul II
1. Desenati o prisma patrulatera regulata ABCDA’B’C’D’
2. Aflati trei numere naturale consecutive impare, stiind ca daca suma lor se imparte la 8 obtinem catul 15 si restul 3.
3. Cate numere de forma \bar{4ab} sunt divizibile cu 41.
4. Consideram functia f:R\rightarrow R, f\left(x\right)=\left(2a+3\right)x-3a+2. Stiind ca graficul lui f contine punctul A\left(-1,-6\right) se cere:
a) Aratati ca a=1 si reprezentati grafic functia obtinuta
b) Determinati punctul de pe graficul functiei f care are abscisa egala cu un sfert din ordonata.
5. Se considera expresia E\left(x\right)=\left(\frac{2x}{x-1}-\frac{x}{x+1}\right):\frac{x^{2}+3x^{2}}{x^{3}+2x^{2}+x}, unde x\in R-\left\{-3,-1,0,1\right\}. Aduceti expresia data la forma cea mai simpla.
Solutie:
1. Mai intai desenam prisam patrulatera regulata ABCDA’B’C’D’
Cum desenam o prisma patrulater regulata
2. Cum aflam trei numere naturale consecutive impare? cand avem anumite conditii in ipoteza. In primul rand folosim teorema impartirii cu rest, dar trebuie sa mai tinem cont ca avem si numere naturale impare consecutive, astfel fiem numerele impare consecutive:
n, n+2, n+4
Stim ca suma numerelor se imparte la 8, astfel suma lor este
n+n+2+n+4=3n+6
Suma lor se imparte la 8
\left(3n+6\right):8 se obtine q=15 si restul r=3
Astfel folosim Teorema impartirii cu rest:
3n+6=15\cdot 8+3
Acum rezolvam ecuatia:
3n+6=15\cdot 8+3\Rightarrow 3n+6=120+3\Rightarrow 3n+6=123\Rightarrow 3n=123-6\Rightarrow 3n=117\Rightarrow n=117:3\Rightarrow n=39
Deci am gasit n=39 si este un numar impar.
Deci primul numar este 39, acum sa aflam si celelate 2 numere.
n+2=39+2=41
Dar si
n+4=39+4=43
Deci numerele impare consecutive sunt 39,41,43
Acum daca efectuam proba obtinem:
39+41+43=123
Acum daca impartim
123:8 obtinem catul q=15si restul r=3
3. Cum gasim numerele de form \bar{4ab} devizibile cu 41
Cautam numerel divizibile 41 intre 400\;\; si\;\; 499
Observam ca numarul 41 este un numar prim, deci numerele divizibile trebuie sa fie de form 41\cdot x
Iar daca luam pentru x=10 obtinem 41\cdot 10=410 divizibil cu 41, deci primul numar este: 410, deci a=1 si b=0
Pentru x=11 obtinem 41\cdot 11=451divizibil cu 41, al dolile numar divizibil cu 41 este 451, astfel a=5 si b=1
Pentru x=12 obtinem 41\cdot 12=492 divizibil cu 41, al treilea numar divizibil cu 41 este 492, astfel a=9 si b=2.
Deci avem trei numere divizibile cu 41 de forma \bar{4ab}
Pentru x=13 obtineam un numar mai mare decat 4ab si astfe nu se mai indeplinea conditia aceasta, la fel si pentru x<10 se obtinea un numar mai mic decat de forma 4ab. 4. a) Pentru a obtine a=1 stim ca $latex A\left(-1,-6\right)$ apartine graficului functiei, astfel avem ca: $latex f\left(-1\right)=-6\Rightarrow \left(2a+3\right)\cdot\left(-1\right)-3a+2=-6\Rightarrow -2a-3-3a+2=-6\Rightarrow-5a-1=-6\Rightarrow -5a=-6+1\Rightarrow -5a=-5\Rightarrow a=1$ Pentru a=1 sa reprezentam grafic functia, astfel obtinem functia: $latex f\left(x\right)=\left(2\cdot 1+3\right)x-3\cdot 1+2\Rightarrow f\left(x\right)=\left(2+3\right)x-3+2=5x-1$ DEci functia obtinuta este $latex f\left(x\right)=5x-1$ Acum reprezentam grafic functia: Astfel avem $latex G_{f}\cap Ox$ avem ca $latex f\left(x\right)=0\Rightarrow 5x-1=0\Rightarrow 5x=1\Rightarrow x=\frac{1}{5}$ Deci avem $latex A\left(\frac{1}{5}, 0\right)$ Acum calculam $latex G_{f}\cap Oy$, astfel calculam $latex f\left(0\right)=5\cdot 0-1=0-1=-1$ Deci $latex B\left(0,-1\right)$ Acum reprezentam grafic functia. reprezentarea grafica a functie
b) Acum trebuie sa determinam punctul de pe graficul functie f care are absscisa egala cu un sfer de ordonata.
Astfel fie punctul M\left(x,y\right), dar stim ca abscisa este egala cu un sfert de ordonata, astfel avem ca
x=\frac{1}{4}\cdot y, astfel obtinem acum M\left(\frac{1}{4}y,y\right)
astfel obtinem ca:
f\left(\frac{1}{4}y\right)=y\Rightarrow 5\cdot \frac{1}{4}y-1=y\Rightarrow \frac{5y}{4}-1=y\Rightarrow \frac{5y}{4}-y=1\Rightarrow \frac{5y-4y}{4}=1\Rightarrow\frac{y}{4}=1\Rightarrow y=4
Iar x=\frac{1}{4}\cdot y=\frac{1}{4}\cdot 4=1
Deci obtinem
M\left(1,4\right)
5. Cum aducem expresia la forma cea mai simpla, astfel avem ca:
E\left(x\right)=\left(\frac{2x}{x-1}-\frac{x}{x+1}\right):\frac{x^{2}+3x^{2}}{x^{3}+2x^{2}+x}, unde x\in R-\left\{-3,-1,0,1\right\}
Mai intai in partanteza rotuda aducem la acelasi numitor:
E\left(x\right)=\left(\frac{2x\left(x+1\right)-x\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\right):\frac{x^{2}\left(x+3\right)}{x\left(x^{2}+2x+1\right)}
E\left(x\right)=\frac{2x^{2}+2x-x^{2}+x}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\cdot\frac{x\left(x+1\right)^{2}}{x^{2}\left(x+3\right)}
E\left(x\right)=\frac{x^{2}+3x}{x-1}\cdot\frac{x\left(x+1\right)}{x^{2}\left(x+3\right)}
E\left(x\right)=\frac{x\left(x+3\right)}{x-1}\cdot \frac{x\left(x+1\right)}{x^{2}\left(x+3\right)}
E\left(x\right)=\frac{x^{2}\left(x+3\right)\left(x+1\right)}{x^{2}\left(x+1\right)\left(x+3\right)}^{(x^{2}\left(x+3\right)}
Dupa ce am adus la acelasi numitor in paranteza rotunda, am efectuat calculele si am efectuat impartirea celor doua fractii, adica am inmultit prima fractie cu inversul celei de-a doua, iar apoi am simplificat, unde observati ca am adus expresia la forma cea mai simpla.

E\left(x\right)=\frac{x+1}{x-1}

b) determinati valorile lui x\in Z, pentru care E\left(x\right)\in Z
Stim ca E\left(x\right)\in Z\Rightarrow \frac{x+1}{x-1}\in Z

Mai intai punem conditia ca numitorul divide numaratorul si obtinem:
$latex\left(x-1\right)|\left(x+1\right)$
Astfel rescriid raportul obtinem:

\frac{x+1}{x-1}=\frac{x-1+2}{x-1}=\frac{x-1}{x-1}^{(\left(x-1\right)}+\frac{2}{x-1}=\frac{1}{1}+\frac{2}{x-1}=1+\frac{2}{x-1}

Astfel punand conditia ca numitorul divide numaratorul obtinem:
x-1|2
Si scriind divizorii intreigi ai lui 2 avem:
D_{2}=\left\{\pm 1; \pm 2\right\}
Astfel egaland numitorul cu fiecare divizor obtinem:

x\in\left\{-1; 0; 2; 3\right\}

Formule de calcul prescurtat

Formule de calcul prescurtat

Astazi o sa invatam tehnici si procedee care ofera posibilitatea unui calcul mai rapid al expresiilor care contin radicali  sau permit scrierea radicalilor dubli sub forma unor expresii care contin radicali simpli.  Deci acum invatam urmatoarele formule de calcul prescurtat:

Formule de calcul prescurtat

1) \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2\cdot a\cdot b+b^{2}

2) \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2\cdot a\cdot b+b^{2}

3) a^{2}-b^{2}=\left(a-b\right)\cdot\left(a+b\right)

4) \sqrt{A\pm\sqrt{B}}=\sqrt{\frac{A+C}{2}}\pm\sqrt{\frac{A-C}{2}}, unde C=\sqrt{A^{2}-B}.

Deci este  foarte important sa intelegem cum sa aplicam formulele de calcul prescurtat.

Exemplu:

1) Calculati

a) 4\left(3\sqrt{3}-1\right)^{2}-5\left(\sqrt{3}-4\right)^{2}-\sqrt{768}=    4\left[\left(3\sqrt{3}\right)^{2}-2\cdot 3\sqrt{3}\cdot 1+1^{2}\right]-5\left[\left(\sqrt{3}\right)^{2}-2\cdot \sqrt{3}\cdot 4+4^{2}\right]-16\sqrt{3}=    4\left(27-6\sqrt{3}+1\right)-5\left(3-8\sqrt{3}+16\right)-16\sqrt{3}=    4\left(28-6\sqrt{3}\right)-5\left(19-8\sqrt{3}\right)-16\sqrt{3}=    112-24\sqrt{3}-95+40\sqrt{3}-16\sqrt{3}=    17+\sqrt{3}\left(-24+40-16\right)=17+\sqrt{3}\cdot 0=17

Ca sa rezolvam exercitiul de mai sus  am aplicat cea de-a doua formula, unde observati ca pentru primul patrat a=3\sqrt{3} si b=1, iar pentru cel de-al doilea patrat observam ca a=\sqrt{3} si b=4, iar din numarul $\sqrt{768}$ am scos factori de sub radicali si am obtinut \sqrt{768}=\sqrt{2^{2}\cdot 2^{2}\cdot 2^{2}\cdot 2^{2}\cdot 3}=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot \sqrt{3}=16\sqrt{3}

cum scoatem factori de sub radicali

 

, apoi am efectuat calculele , adica am ridicat numerelor la patrat si am inmultit, apoi am adunat si am scazut si astfel am gasit rezultatul.

b) \left(\sqrt{3}+2\sqrt{2}\right)^{2} +\left(3\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)^{2}

-\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)\cdot\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)+2\sqrt{6}=

\left(\sqrt{3}\right)^{2}+2\cdot \sqrt{3}\cdot 2\sqrt{2}+\left(2\sqrt{2}\right)^{2}+\left(3\sqrt{3}\right)^{2}-2\cdot 3\sqrt{3}\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}-\left[\left(\sqrt{3}\right)^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right]+2\sqrt{6}=    3+4\sqrt{6}+8+27-6\sqrt{6}+2-3+2+2\sqrt{6}=39

Ca sa rezolvam exercitiul de mai sus am folosit primele  doua formule adica

\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2\cdot a\cdot b+b^{2}

\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2\cdot a\cdot b+b^{2}

unde pentru prima paranteza a=\sqrt{3}, b=2\sqrt{2}, dar trebuie sa avem grija tot timpul sa introducem si termenul din mijloc adica 2ab, pe cafre majoritatea dintre voi il uitati sau pierdeti, pentru patratul cel de-al doilea (paranteza a doua) a=3\sqrt{3}, b=\sqrt{2} la fel si aici trebuie sa tinem cont si de termenul 2ab, dar observam ca la exercitul nostru mai avem si a treia formula de aplicat adica \left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)\cdot\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right), unde a=\sqrt{3}, b=\sqrt{2}, deci observati ca noi acum aplicam partea de inceput a formulei a treia, adica \left(a-b\right)\cdot\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2} si obtinem \left(\sqrt{3}\right)^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2} iar restul este calcul, folosim regulile de calcul cu radicali.

c) \sqrt{11-6\sqrt{2}}+\sqrt{7-4\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{5-2\sqrt{6}}}=

Calculam mai intai, adica putem sa aplicam formula 4) sau sa ne gandim cum putem sa scriem numarul de sub radical ca sa obtinem un patrat sub radical

\sqrt{11-6\sqrt{2}}=\sqrt{3-2\cdot 3\cdot \sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-\sqrt{2}\right)^{2}}=3-\sqrt{2},

ca sa observam mai usor cu aceasta metoda trebuie sa ne uitam la termenul care formeaza suma celor doua patrate adica 11, dar si la produsul dintre 2 si ”ab”, deci impartim la 2 si obtinem 6\sqrt{2}=2\cdot 3\cdot\sqrt{2} si astfel am obtinut a=3 si b=\sqrt{2}.

Sau cu formula de mai sus, dar mai intai trebuie sa obtinem ce avem sub radical sub forma \sqrt{A-\sqrt{B}}, deci introducem la cel de-al doilea radical factorul sub radical, adica \sqrt{11-\sqrt{36\cdot 2}}=\sqrt{11-\sqrt{72}}, dupa ce am adus la formam care ne trebuia

calculamC=\sqrt{A^{2}-B}=\sqrt{11^{2}-72}=\sqrt{121-72}=\sqrt{49}=7, acum aplicam formula propriu zisa

\sqrt{11-\sqrt{72}}=\sqrt{\frac{11+7}{2}}-\sqrt{\frac{11-7}{2}}=\sqrt{\frac{18}{2}}-\sqrt{\frac{4}{2}}=\sqrt{9}-\sqrt{2}=3-\sqrt{2}

Calculam acum cel de-al doilea radical

\sqrt{7-4\sqrt{3}}=\sqrt{4+3-2\cdot 2\cdot \sqrt{3}}=\sqrt{\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}}=2-\sqrt{3}

\sqrt{5-2\sqrt{6}}=\sqrt{5-2\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}}=\sqrt{\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)^{2}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}

am inversat radical din 2 cu radical din 3 pentru ca radical din 3 mai mare decat radical din 2, noi obtinem sub radical modul din acel numar si din acest motiv trebuie sa avem grija cum scriem numarul.

Pentru ceilalti doi radicali aplicati voi formula de mai sus, mie mi se pare mai usor sa folosesc formulele de calcul prescurtat.

Acum scriem ce am gasit

3-\sqrt{2}+2-\sqrt{3}+\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=5-\sqrt{2}-\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{3-2}=    5-\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{3}+\sqrt{2}=5

Observati ca mai sus am si rationalizat, iar apoi am folosit regulile de calcul cu radicali.