Exercitii rezolvate cu ordinea efectuarii operatiilor

Prezentam un exercitiu rezolvat unde folosim ordinea efectuarii operatiilor si folosirea parantezelor.

\left\{0,2+\left[\left(\frac{3}{2}\right)^{2}\cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{3} + \left(-\frac{1}{3}\right) :\left(\frac{2}{3}\right)^{2}\right] :\left(-^{2)}\frac{2}{3}+^{3)}\frac{1}{2}\right)\right\}\cdot\left(\sqrt{-5}\right)^{2}

Ca sa rezolvam exercitiul de mai sus  respectam ordinea efectuarii operatiilor si folosirea parantezelor. Adica mai intai in paranteza dreapta efectuam ridicarea la putere prin folosirea regulilor de calcul cu puteri \left\{\frac{2}{10}^{(2}+\left[\frac{3^{2}}{2^{2}}\cdot\frac{2^{3}}{3^{3}}+\left(-\frac{1}{3}\right):\frac{2^{2}}{3^{2}}\right]:\left(-\frac{2\cdot 2}{6}+\frac{3\cdot 1}{6}\right)\right\}\cdot 5

Ca sa intelegem de ce \left(\sqrt{-5}\right)^{2}=\sqrt{-5}\cdot\sqrt{-5}=+5

Acum efectuam ridicarea la putere si obtinem \left\{\frac{1}{5}+\left[\frac{9}{4}\cdot\frac{8}{27}+\left(-\frac{1}{3}\right):\frac{4}{9}\right]:\left(-\frac{4}{6}+\frac{3}{6}\right)\right\}\cdot 5=    \left\{\frac{1}{5}+\left[\frac{1}{1}\cdot\frac{2}{3}+\left(-\frac{1}{3}\right)\cdot\frac{9}{4}^{(3}\right]:\left(\frac{-4+3}{6}\right)\right\}\cdot 5

Observati ca am mai efectuat anumite simplificari pentru a ne simplifica calculele, acum observam ca ne dispare paranteza rotunda, iar cea dreapta se transforma in rotunda si acolada in dreapta.

\left[\frac{1}{5}+\left(\frac{2}{3}-\frac{3}{4}\right):\left(-\frac{1}{6}\right) \right]\cdot 5=

Acum in prima paranteza aducem la acelasi numitor

Observat ca numitorul comun este 12 si obtinem \left[\frac{1}{5}+\left(\frac{8}{12}-\frac{9}{12}\right)\cdot\left(-\frac{6}{1}\right)\right]\cdot 5

Observati ca mai sus am efectuat si impartirea celor doua paranteze, adica prima fractie inmultita cu inversul celei de-a doua \left[\frac{1}{5}+\left(\frac{8-9}{12}\right)\cdot\left(-\frac{6}{1}\right)\right]\cdot 5=    \left[\frac{1}{5}+\left(-\frac{1}{12}\right)\cdot\left(-\frac{6}{1}^{(6}\right)\right]\cdot 5=    \left[\frac{1}{5}+\left(+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1}\right)\right]\cdot 5=    \left(^{2)}\frac{1}{5}+^{5)}\frac{1}{2}\right)\cdot 5=    \left(\frac{2\cdot 1}{10}+\frac{5\cdot 1}{10}\right)\cdot 5=\left(\frac{2}{10}+\frac{5}{10}\right)\cdot 5=\frac{2+5}{10}\cdot 5=\frac{7}{10}\cdot 5^{(5}=\frac{7}{2}\cdot 1=\frac{7}{2}

Si astfel am obtinut rezultatul \frac{7}{2}

2. Irina are de rezolvat 16 probleme de matematica . Poate sa rezolve in timp de doua zile repartizand un nr egal de probleme in fiecare zi ? Dar in trei zile ? Dar in patru ? Justificati.

Poate sa rezolve cele 16 probleme in doua zile si in fiecare zi acelasi numar de probleme, deoarece 16:2=8

Daca ar fi sa rezolve cele 16 probleme in 3 zile, nu se poate deoarece 16:3=5 rest 1, adica in 2 zile ar rezolva 5 probleme si in a treia zi ar rezolva 6 probleme.

Iar in patru zile poate sa rezolve problemele, adica in fiecare zi ar rezolva cate 4 probleme.

 

Subiecte posibile Evaluarea Nationala Matematica

Subiectul I.

1.  Rezultatul calcului \left(\frac{1}{3}\right)^{2}:\left(0,25-\frac{1}{6}\right)-\frac{1}{3} este…..

2. Dintre numerele \frac{1}{\sqrt{3}} si \frac{1}{2} mai mare este…….

3. Dupa o ieftinire cu 20%, un costum de 1200 de lei va costa ….

4. Un dreptunghi are latimea egala cu un sfert din lungime si perimetrul de 20 cm. Aria dreptunghiului este de….

5. Un tetraedru regulat are muchia de 2 cm. Aria sa totala este de……

6. Sinusul unghiului format de o diagonala a unui cub cu una dintre fetele sale este… .

Solutie:

1. Pentru a afla rezultatul calculului mai intai efectuam operatiile:

\left(\frac{1}{3}\right)^{2}:\left(0,25-\frac{1}{6}\right)-\frac{1}{3}=\frac{1^{2}}{3^{2}}:\left(\frac{25}{100}^{(25}-\frac{1}{6}\right)-\frac{1}{3}=\frac{1}{9}:\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{6}\right)-\frac{1}{3}=\frac{1}{9}:\left(\frac{3\cdot 1-2\cdot 1}{12}\right)-\frac{1}{3}=\frac{1}{9}:\left(\frac{3-2}{12}\right)-\frac{1}{3}=\frac{1}{9}:\frac{1}{12}-\frac{1}{3}=\frac{1}{9}\cdot\frac{12}{1}-\frac{1}{3}=\frac{12}{9}^{(3}-\frac{1}{3}=\frac{4}{3}-\frac{1}{3}=\frac{4-1}{3}=\frac{3}{3}^{(3}=1

Observati ca la exercitiul de mai sus mai intai am efectuat ridicarea la putere a fractiei cu un numar natural, adica am folosit regulile de calcul cu puteri, apoi in parateza rotunda am transformat fractia zecimala in fractie ordinara  si am simplificat unde s-a putut. Apoi in paranteza rotunda am efectuat calculele, adica am adus la acelasi numitor, iar cu  rezultatul obtinut din paranteza rotunda am efectuat impartirea, adica am inmultit prima fractie cu inversul celei de-a doua, am efectuat inmultire, eventual am simplificat, iar apoi am efectuat calculele intre cele doua fractii ordinare, iar rezultatul obtinut este 1.

2.  Acum sa vedem cum comparam cele doua numere, observati ca avem doua fractii ordinare, dar la prima apare si radicalul, astfel prima fractie o putem scrie:

\frac{1}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{1}{3}}

Iar cea de-a doua:

\frac{1}{2}=\frac{1}{\sqrt{4}}=\sqrt{\frac{1}{4}}

Astfel avem numerele

\sqrt{\frac{1}{3}} si \sqrt{\frac{1}{4}}

Dar observam ca numarul

\frac{1}{3}>\frac{1}{4}

Deci

\frac{1}{\sqrt{3}}>\frac{1}{2}

Sau mai putem sa comparam si astfel

\frac{1}{\sqrt{3}}

Iar cel de-al doilea numar il scriem:

\frac{1}{2}=\frac{1}{\sqrt{4}}

Astfel observam ca

\sqrt{3}<\sqrt{4}

Iar

\frac{1}{\sqrt{3}}>\frac{1}{\sqrt{4}} (acest lucru rezulta din compararea fractiilor ordinare).

3. Stim ca ieftinirea este de 20%, astfel calculam:

\frac{20}{100}\cdot 1200=\frac{24000}{100}^{(100}=\frac{240}{1}=240

Deci costumul s-a ieftinit cu 240 lei, astfel costumul va cost:

1200-240=960\;\;lei

Deci costumul va costa 960 lei

4. Scriem notiunile prezentate sub forma algebrica, astfel avem ca:

l=\frac{1}{4}\cdot L (latimea este egala cu un sfert din lungime) sau mai putem sa scriem si sub forma de fractie zecimala, astfel avem:

l=0,25\cdot L

Dar mai stim si ca perimetrul este de 20 cm

Stim ca perimetrul unui dreptunghi este:

P_{dreptunghi}=2L+2l=2\left(L+l\right)

dar stim ca perimetrul este de 20 cm, astfel obtinem:

2\left(L+l\right)=20|:2\Rightarrow L+l=10

Dar stim ca latimea este un sfert din lungime si daca inlocuim mai sus obtinem:

L+0,25L=10\Rightarrow 1,25L=10\Rightarrow L=10:1,25\Rightarrow L=1000:125\Rightarrow L=8

Deci lungimea este de 8 cm, iar latimea

l=0,25\cdot 8=2

Deci latimea este de 2 cm, astfel aria dreptunghiului este

A_{dreptunghi}=L\cdot l=8\cdot 2=16\;\; cm^{2}

5. Cum aflam aria tetraedrului regumat?

Pai in cel mai bun caz trebuie sa stim formula pe care am invatat-o la clasa,adica

A_{totala}=l^{2}\sqrt{3}=2^{2}\sqrt{3}=4\sqrt{3}=4\sqrt{3}\;\; cm^{2}

Dar daca nu stim formula putem sa o deducel foarte usor, astfel stim ca tetraedrul regulat are toate fetele triunghiuri echilaterale. Noi stim ca aria totala a unei piramide regulate este egala cu

A_{totala}=A_{l}+A_{b}

Iar in cazul nostru stim ca aria unui triunghi echilateral este:

A_{\Delta ABC}=\frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}

Mai stim si ca tetraedrul regulat are 3 fete laterale, adica trei triunghiuri echilaterale, iar aria bazei tot un triunghi echilateral, astfel avem ca

=3\cdot \frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}+\frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{3l^{2}\sqrt{3}+l^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{4l^{2}\sqrt{3}}{4}=l^{2}\sqrt{3}

Deci aria totala a unui tetraedru regulat este formata din 4 triunghiuri echilaterale.

6. Acum sa vede cu aflam sinusul unghiului format de o diagonala a unui cub si una dintre fetele sale

Astfel consideram ca avem cubul ABCDA’B’C’D’

sinusul unghiului formata de o dreapta cu un plan

 

 

 

\sin\widehat{ AC^{'},\left(BCB'C'\right)}=    \sin\widehat{AC^{'},\left(AC\right)}=\sin\widehat{AC^{'},AC}=\sin\widehat{C^{'}AC}=\frac{CC^{'}}{AC^{'}}=\frac{l}{l\sqrt{3}}^{(l}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}.