Marimi direct proportionale

Dupa ce vi s-au introdus notiunile de raport si proportie, azi o sa discutam despre marimi direct proportionale.

Cum si la ce ne ajuta aceste marimi direct proportionale?

Raspunsul o sa-l  aflam pe parcursul acestui articol, dar mai intai definim notiunea de marime direct proportionala:

Definitie. Doua marimi se numesc direct proportionale, daca depind una de cealalta , astfel incat daca una creste de un numar de ori, atunci si marimea celeilalte creste de acelasi numar de ori.

Exemplu:

1 Kg de fructe costa 2 lei, atunci 2 Kg costa de doua ori mai mult, 3 Kg costa de trei ori mai mult.

Astfel intre cantitati si cost exista o relatie de directa proportionalitate.

1 Kg=2 lei

2 Kg= 4 lei

3 Kg=6 lei

Observati ca cu cat Kg cresc, creste si costul.

Matematic scriem:

Multimea ordonata (a_{1}, a_{2},...a_{n}) este direct proportionala cu multimea (b_{1}, b_{2},...b_{n}) daca si numai daca

\frac{a_{1}}{b_{1}}=\frac{a_{2}}{b_{2}}=...=\frac{a_{p}}{b_{p}}

Valoarea comuna a acestor rapoarte se numeste coeficient de proportionalitate si se noteaza de regula cu k, unde k\neq 0

Aplicatii:

1. Numerele x+y, y+z si z+x sunt direct proportionale cu 3, 4 si 5.

Aflati valoarea raportului \frac{3xy+4yz+5zx}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}, unde x, y, z\in Q_{+}

Solutie:

Stim ca numerele x+y, y+z si z+x sunt direct proportionale cu 3, 4 si 5, astfel obtinem:

\frac{x+y}{3}=\frac{y+z}{4}=\frac{z+x}{5}

Iar valorea comuna a acestor rapoarte o notam cu k , astfel obtinem:

\frac{x+y}{3}=k\Rightarrow x+y=3k

\frac{y+z}{4}=k\Rightarrow y+z=4k

\frac{z+x}{5}=k\Rightarrow z+x=5k

Astfel daca adunam cele trei relatii de mai sus obtinem

 

x+y+y+z+z+x=3k+4k+5k\Rightarrow 2x+2y+2z=12k\Rightarrow 2\left(x+y+z\right)=12k\Rightarrow x+y+z=12k:2\Rightarrow x+y+z=6k

Astfel stim ca

x+y=3k, dar si x+y+z=6k, deci obtinem 3k+z=6k\Rightarrow z=6k-3k\Rightarrow z=3k

Dar si

y+z=4k si x+y+z=6k\Rightarrow x+4k=6k\Rightarrow x=6k-4k\Rightarrow x=2k

Si nu in ultimul rand z+x=5k si x+y+z=6k\Rightarrow x+z+y=6k\Rightarrow 5k+y=6k\Rightarrow y=6k-5k\Rightarrow y=k

 

Din ipoteza mai stim ca \frac{3xy+4yz+5zx}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}=\frac{3\cdot 2k\cdot k+4\cdot k\cdot 3k+5\cdot 3k\cdot 2k}{\left(2k\right)^{2}+k^{2}+\left(3k\right)^{2}}=\frac{6k^{2}+12k^{2}+30k^{2}}{4k^{2}+k^{2}+9k^{2}}=\frac{48k^{2}}{14k^{2}}^{(k^{2}}=\frac{48}{14}^{(2}=\frac{24}{7}

Observati ca la exercitiul de mai sus am folosit pentru inceput definitia pe care am enuntat-o la inceputul articolului, definitia marimilor direct proportionale. Am egalat fiecare raport cu k si asa am aflat cele trei relatii pe care le-am adunat, dupa care am dat factor comun pe 2 si am simplificat, de unde am obtinut ca suma celor trei numere este 6k. Si astfel cu ajutorul acestei relatii am putut afla fiecare numar, dar si valoarea raportului.

Asadar marimile direct proportionale ne ajuta sa gasim mai repede pretul unui produs si nu numai, daca ii dublam sau ii triplam cantitatea, in viata de zi cu zi sa aflam mai repede pretul unei cantitati mai mari la un produs. Observati exemplul pe care l-am dat mai sus.

Astfel este important sa tinem minte ca doua marimi se numesc direct proportionale, daca depind una de cealalta, astfel incat daca una creste atunci si cealalta creste sau daca una scade atunci si cealalta scade.