Functii Notiune de functie

Despre notiunea de functie am mai discutat si in clasa a VII-a, atunci cand am vorbit de dependenta functionala, cand am invatat sa calculam distanta dintre doua puncte cand stim coordonatele punctelor, dar si sa reprezentam functiile, astfel astazi o sa discutam despre :

Functii Notiunea de functie

Incepem prin a defini notiunea de functie

Definitie: Fie A si B dous multimi nevide. Prin functia f definita pe multimea A cu valori in  multimea B se intelege orice lege, procedeu, regula, convenctie prin care fiecarui element x\in A i se asociaza un singur element y=f\left(x\right)\in B.

Prin f:A\rightarrow B vom nota o functie definita pe A cu valori in B. Multimea A se numeste domeniul de definitie  al functiei, iar B se numeste codomeniul functiei f sau domeniul de valori, iar procedeul, regula y=f\left(x\right)  se numeste legea de corespondenta a functiei.

Imaginea functiei

Fie f:A\rightarrow B o functie. Imaginea functiei f este multimea

Im\;\;f=\left\{f\left(x\right)|x\in A\right\}. In mod evident Im\;\; f\subset B.

Putem scrie si altfel:

Im\;\;\; f=\left\{y\in B|\exists x\in A\;\; a.i.\;\; y=f\left(x\right)\right\}

Graficul functei

Fie f:A\rightarrow B o functie. Multimea G_{f}=\left\{\left(x, f\left(x\right)\right)|x\in A\right\} se numeste graficul functiei f.

Avem si G_{f}=\left\{\left(x, y\right)|x\in A, y=f\left(x\right)\right\}\subset A\times B.

Reprezentarea geometrica a functiei

Daca f:A\rightarrow B este o functie numerica, fiecarui element \left(x, y\right)\in G_{f} ii putem asocia un punct M\left(x, y\right)  intr-un reper cartezian. Submultimea planului formata de toate punctele M\left(x,y\right) cu \left(x, y\right)\in G_{f} se numeste reprezentarea geometrica a graficului functiei f.

Moduri de definire a functiilor:

– printr-o diagrama f:\left\{-2; -1; 0; 3\right\}\rightarrow \left\{4; 5; 10\right\}

cum putem defini o functie

 

 

 

 

 

– printr-un tabel

f:\left\{-1; 0; 2; 5\right\}\rightarrow \left\{1; 2; 3\right\}

cum reprezentam functiile printr-un tabel

 

 

 

 

 

– prin una sau mai multe formule analitice
Exemplu:
f:\left\{0; 2; 4\right\}\rightarrow \left\{0; 4; 16\right\} f\left(x\right)=x^{2}.

Definitie

Doua functii f:A\rightarrow B  si g:C\rightarrow D se numesc egale daca au acelasi domeniu, adica A=c de definitie, acelasi codomeniu de definitie, adica B=D  si f\left(x\right)=g\left(x\right), oricare x se afla in A. Notam f=g

Exercitii

1) Se considera multimea

A=\left\{0; 1; \frac{4}{9}; 1\frac{9}{25}; 10, 24; 11\right\} si functia r:A\rightarrow R, r\left(x\right)=\sqrt{x}

a) Scrieti elementele multimii Im\;\; r si efectuati Q\cap Im\;\; r

b) Descrieti printr-o formula o functie p:Im\;\; r\rightarrow A

Solutie

Stim ca Im\;\; r=\left\{r\left(x\right)|x\in A\right\}

Deci calculam

r\left(0\right)= \sqrt{0}=0    \\r\left(1\right)=\sqrt{1}=1    \\r\left(\frac{4}{9}\right)=\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}}=\frac{2}{3}

r\left(1\frac{9}{25}\right)=\sqrt{\frac{1\cdot 25+9}{25}}=\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{25}}=\frac{\sqrt{34}}{5}    \\r\left(10\right)=\sqrt{10}=\sqrt{10}    \\r\left(10,24 \right)=\sqrt{\frac{1024}{100}}=\frac{\sqrt{1024}}{\sqrt{100}}=\frac{32}{10}=3,2    \\r\left(11\right)=\sqrt{11}=\sqrt{11}

Deci

Im\;\; r=\left\{0; 1; \frac{2}{3}; \frac{\sqrt{34}}{5}; 3,2; \sqrt{11}\right\}

Acum calculam

Q\cap Im\;\; r=\left\{0; 1; \frac{2}{3}; 3,2\right\}

b) Functia pe care o gasim p:Im\;\; r\rightarrow A este p\left(x\right)=x^{2}

Functii injective. Functii surjective. Functii bijective

Dupa ce am invatat notiunea de functie inca din clasa a VIII-a, (cum am definit-o, cum sa calculam graficul unei functii si asa mai departe )acum o sa invatam despre functii injective, functii surjective si functii bijective.

Incepem cu functiile injective

Fie A si B doua multimi nevide

Def:O functie f:A\rightarrow B se numeste injectiva (injectie) daca \forall x_{1}, x_{2}\in A, x_{1}\neq x_{2} avem f\left(x_{1}\right)\neq f\left(x_{2}\right)

Observatie: Faptul ca f este injectiva mai poate fi exprimat si astfel:

1) daca x_{1} si x_{2} sunt elemente oarecare din A cu proprietatea ca f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right), atunci rezulta ca x_{1}=x_{2}

2) Functia f:A\rightarrow B este injectiva daca \forall y\in B ecuatia f\left(x\right)=y are cel mult o solutie x\in A.

Functii surjective

Def: O functie f:A\rightarrow B este o functie surjectiva (surjectie) daca pentru oricare y\in B exista $ cel putin un x\in A astfel incat f\left(x\right)=y

Observatie: O functie f:A\rightarrow B este o functie surjectiva, daca \forall y\in B ecuatia f\left(x\right)=y are cel putin o solutie x\in A.

Functii bijective

Def: O functie f:A\rightarrow B care este simultan si injectiva, dar si surjectiva se numeste bijectiva (bijectie).

Exemplu:

1) Fie functia f:R\rightarrow R, f\left(x\right)=2x+3 sa se arate ca f este bijectie.

Solutie: Pentru a arata ca functia este bijectiva aratam mai intai ca functia f este injectiva si surjectiva.

Injectia: \forall x_{1}, x_{2}\in A fie x_{1}\neq x_{2} trebuie sa obtinem ca f\left(x_{1}\right)\neq f\left(x_{2}\right)

Astfel obtinem: f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\neq 0\Rightarrow 2x_{1}+3-2x_{2}-3=2\left(x_{1}-x_{2}\right)\neq 0 deci f este injectiva.

Surjectivitatea

Fie y\in R exista cel putin un x\in R astfel incat f\left(x\right)=y\Rightarrow 2x+3=y\Rightarrow 2x=y-3\Rightarrow x=\frac{y-3}{2}. Deci \forall \in R \exists x=\frac{y-3}{2}\in R si astfel obtinem ca f este surjectiva.

Cum f este simultan si injectiva si surjectiva rezulta ca f este bijectiva.

2) Sa se arate ca functia f:R\rightarrow R, f\left(x\right)=-5x+2 este inversabila si sa i se determine inversa.

Ca sa aratam ca o functie este inversabila trebuie sa stim ce inseamna.

Def: O functi f: A\rightarrow B se numeste inversabila daca exista o functie g:B\rightarrow A astfel incat g\circ f= 1_{A} si f\circ g=1_{B}. Functia g, daca exista este unica si se numeste inversa functiei f si se noteaza f^{-1}.

Teorema: O functie f:A\rightarrow B este inversabila daca si numai daca este bijectiva.

Ca sa aratam ca este inversabila aratam ca functia este bijectiva, astfel aratam mai intai ca functia este injectiva:

Fie x_{1}\neq x_{2}\Rightarrow f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\neq 0\Rightarrow -5x_{1}+2-\left(-5x_{2}+2\right)\neq 0\Rightarrow -5x_{1}+5x_{2}+2-2\neq 0\Rightarrow 5\left(x_{2}-x_{1}\right)\neq 0 deci f este injectie

Sau mai putem arata ca f este injectie astfel:

Fie x_{1}, x_{2}\in R cu proprietatea ca f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right) sa rezulte ca x_{1}=x_{2} aratam ca:

f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)\Rightarrow -5x_{1}+2=-5x_{2}+2\Rightarrow x_{1}=x_{2}, deci f este injctie.

Surjectivitatea:

Fie y\in R, f\left(x\right)=y

\Rightarrow -5x+2=y\Rightarrow -5x=y-2

\Rightarrow x=\frac{y-2}{-5}\Rightarrow x=\frac{2-y}{5}.

Deci f este injectiva, surjectiva si astfel rezulta ca f este bijectiva.

Cu teorema pe care am enuntat-o mai sus, daca o functie este bijectiva rezulta ca functia este inversabila, iar inversa sa este f^{-1}=\frac{2-y}{5}.