Subiecte posibile Evaluarea Nationala Matematica

Subiectul II
1. Desenati o prisma patrulatera regulata ABCDA’B’C’D’
2. Aflati trei numere naturale consecutive impare, stiind ca daca suma lor se imparte la 8 obtinem catul 15 si restul 3.
3. Cate numere de forma \bar{4ab} sunt divizibile cu 41.
4. Consideram functia f:R\rightarrow R, f\left(x\right)=\left(2a+3\right)x-3a+2. Stiind ca graficul lui f contine punctul A\left(-1,-6\right) se cere:
a) Aratati ca a=1 si reprezentati grafic functia obtinuta
b) Determinati punctul de pe graficul functiei f care are abscisa egala cu un sfert din ordonata.
5. Se considera expresia E\left(x\right)=\left(\frac{2x}{x-1}-\frac{x}{x+1}\right):\frac{x^{2}+3x^{2}}{x^{3}+2x^{2}+x}, unde x\in R-\left\{-3,-1,0,1\right\}. Aduceti expresia data la forma cea mai simpla.
Solutie:
1. Mai intai desenam prisam patrulatera regulata ABCDA’B’C’D’
Cum desenam o prisma patrulater regulata
2. Cum aflam trei numere naturale consecutive impare? cand avem anumite conditii in ipoteza. In primul rand folosim teorema impartirii cu rest, dar trebuie sa mai tinem cont ca avem si numere naturale impare consecutive, astfel fiem numerele impare consecutive:
n, n+2, n+4
Stim ca suma numerelor se imparte la 8, astfel suma lor este
n+n+2+n+4=3n+6
Suma lor se imparte la 8
\left(3n+6\right):8 se obtine q=15 si restul r=3
Astfel folosim Teorema impartirii cu rest:
3n+6=15\cdot 8+3
Acum rezolvam ecuatia:
3n+6=15\cdot 8+3\Rightarrow 3n+6=120+3\Rightarrow 3n+6=123\Rightarrow 3n=123-6\Rightarrow 3n=117\Rightarrow n=117:3\Rightarrow n=39
Deci am gasit n=39 si este un numar impar.
Deci primul numar este 39, acum sa aflam si celelate 2 numere.
n+2=39+2=41
Dar si
n+4=39+4=43
Deci numerele impare consecutive sunt 39,41,43
Acum daca efectuam proba obtinem:
39+41+43=123
Acum daca impartim
123:8 obtinem catul q=15si restul r=3
3. Cum gasim numerele de form \bar{4ab} devizibile cu 41
Cautam numerel divizibile 41 intre 400\;\; si\;\; 499
Observam ca numarul 41 este un numar prim, deci numerele divizibile trebuie sa fie de form 41\cdot x
Iar daca luam pentru x=10 obtinem 41\cdot 10=410 divizibil cu 41, deci primul numar este: 410, deci a=1 si b=0
Pentru x=11 obtinem 41\cdot 11=451divizibil cu 41, al dolile numar divizibil cu 41 este 451, astfel a=5 si b=1
Pentru x=12 obtinem 41\cdot 12=492 divizibil cu 41, al treilea numar divizibil cu 41 este 492, astfel a=9 si b=2.
Deci avem trei numere divizibile cu 41 de forma \bar{4ab}
Pentru x=13 obtineam un numar mai mare decat 4ab si astfe nu se mai indeplinea conditia aceasta, la fel si pentru x<10 se obtinea un numar mai mic decat de forma 4ab. 4. a) Pentru a obtine a=1 stim ca $latex A\left(-1,-6\right)$ apartine graficului functiei, astfel avem ca: $latex f\left(-1\right)=-6\Rightarrow \left(2a+3\right)\cdot\left(-1\right)-3a+2=-6\Rightarrow -2a-3-3a+2=-6\Rightarrow-5a-1=-6\Rightarrow -5a=-6+1\Rightarrow -5a=-5\Rightarrow a=1$ Pentru a=1 sa reprezentam grafic functia, astfel obtinem functia: $latex f\left(x\right)=\left(2\cdot 1+3\right)x-3\cdot 1+2\Rightarrow f\left(x\right)=\left(2+3\right)x-3+2=5x-1$ DEci functia obtinuta este $latex f\left(x\right)=5x-1$ Acum reprezentam grafic functia: Astfel avem $latex G_{f}\cap Ox$ avem ca $latex f\left(x\right)=0\Rightarrow 5x-1=0\Rightarrow 5x=1\Rightarrow x=\frac{1}{5}$ Deci avem $latex A\left(\frac{1}{5}, 0\right)$ Acum calculam $latex G_{f}\cap Oy$, astfel calculam $latex f\left(0\right)=5\cdot 0-1=0-1=-1$ Deci $latex B\left(0,-1\right)$ Acum reprezentam grafic functia. reprezentarea grafica a functie
b) Acum trebuie sa determinam punctul de pe graficul functie f care are absscisa egala cu un sfer de ordonata.
Astfel fie punctul M\left(x,y\right), dar stim ca abscisa este egala cu un sfert de ordonata, astfel avem ca
x=\frac{1}{4}\cdot y, astfel obtinem acum M\left(\frac{1}{4}y,y\right)
astfel obtinem ca:
f\left(\frac{1}{4}y\right)=y\Rightarrow 5\cdot \frac{1}{4}y-1=y\Rightarrow \frac{5y}{4}-1=y\Rightarrow \frac{5y}{4}-y=1\Rightarrow \frac{5y-4y}{4}=1\Rightarrow\frac{y}{4}=1\Rightarrow y=4
Iar x=\frac{1}{4}\cdot y=\frac{1}{4}\cdot 4=1
Deci obtinem
M\left(1,4\right)
5. Cum aducem expresia la forma cea mai simpla, astfel avem ca:
E\left(x\right)=\left(\frac{2x}{x-1}-\frac{x}{x+1}\right):\frac{x^{2}+3x^{2}}{x^{3}+2x^{2}+x}, unde x\in R-\left\{-3,-1,0,1\right\}
Mai intai in partanteza rotuda aducem la acelasi numitor:
E\left(x\right)=\left(\frac{2x\left(x+1\right)-x\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\right):\frac{x^{2}\left(x+3\right)}{x\left(x^{2}+2x+1\right)}
E\left(x\right)=\frac{2x^{2}+2x-x^{2}+x}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\cdot\frac{x\left(x+1\right)^{2}}{x^{2}\left(x+3\right)}
E\left(x\right)=\frac{x^{2}+3x}{x-1}\cdot\frac{x\left(x+1\right)}{x^{2}\left(x+3\right)}
E\left(x\right)=\frac{x\left(x+3\right)}{x-1}\cdot \frac{x\left(x+1\right)}{x^{2}\left(x+3\right)}
E\left(x\right)=\frac{x^{2}\left(x+3\right)\left(x+1\right)}{x^{2}\left(x+1\right)\left(x+3\right)}^{(x^{2}\left(x+3\right)}
Dupa ce am adus la acelasi numitor in paranteza rotunda, am efectuat calculele si am efectuat impartirea celor doua fractii, adica am inmultit prima fractie cu inversul celei de-a doua, iar apoi am simplificat, unde observati ca am adus expresia la forma cea mai simpla.

E\left(x\right)=\frac{x+1}{x-1}

b) determinati valorile lui x\in Z, pentru care E\left(x\right)\in Z
Stim ca E\left(x\right)\in Z\Rightarrow \frac{x+1}{x-1}\in Z

Mai intai punem conditia ca numitorul divide numaratorul si obtinem:
$latex\left(x-1\right)|\left(x+1\right)$
Astfel rescriid raportul obtinem:

\frac{x+1}{x-1}=\frac{x-1+2}{x-1}=\frac{x-1}{x-1}^{(\left(x-1\right)}+\frac{2}{x-1}=\frac{1}{1}+\frac{2}{x-1}=1+\frac{2}{x-1}

Astfel punand conditia ca numitorul divide numaratorul obtinem:
x-1|2
Si scriind divizorii intreigi ai lui 2 avem:
D_{2}=\left\{\pm 1; \pm 2\right\}
Astfel egaland numitorul cu fiecare divizor obtinem:

x\in\left\{-1; 0; 2; 3\right\}

Graficul unei functii Reprezentarea geometrica a graficului

Dupa ce am definit notiunea de functie a venit vremea sa invatam sa trasam graficul unei functii, adica Reprezentarea geometrica a graficului pentru functia de gradul I.

Astazi discutam despre graficul unei functii si reprezentarea geometrica a graficului

Definitie. Functia de tipul f:R\rightarrow R, f\left(x\right)=ax+b, unde a,b\in R se numeste functia liniara.

Daca a\neq 0, atunci functia f:R\rightarrow R, f\left(x\right)=ax+b, se numeste functia de gradul I.

Reprezentarea geometrica a graficului unei functii liniare este o dreapta.

Distingem trei cazuri pentru functia de gradul I

1. Daca a\neq 0 si b=0, atunci functia f\left(x\right)=ax,  are ca reprezentare geometrica o dreapta care contine originea sistemului de coordonate.

2. Daca a=0 si b, functia liniara f\left(x\right)=0 este functia constant nula, a carei reprezentare geometrica este axa Ox.

3 Daca a=0 si n\neq 0, atunci functia f\left(x\right)=ax,  are ca reprezentare geometrica o dreapta care este paralela cu axa Ox.

Intersectia graficului unei functii de gradul I cu axele de coordonate:

Intersectia cu axa Ox

G_{f}\cap Ox calculam

f\left(x\right)=0

si are axele de coordonate A\left(\frac{-b}{a}, 0\right)

Deci avem:

G_{f}\cap Ox=A\left(\frac{-b}{a}, 0\right).

Intersectia cu axa Oy

G_{f}\cap Oy calculam

f\left(0\right)=b

si are axele de coordonate A\left(0,b\right)

Deci avem:

G_{f}\cap Ox=A\left(0,b\right).

Exercitiu :

1) Reprezentati grafic functiile:

f:R\rightarrow R, f\left(x\right)=x+1

Solutie :

Calculam mai intai

G_{f}\cap Ox, astfel avem:

f\left(x\right)=0\Rightarrow x+1=0\Rightarrow x=-1

Astfel am gasit A\left(-1, 0\right)

Calculam acum :

G_{f}\cap Oy, astfel calculam:

f\left(0\right)=1

Deci am gasit G_{f}\cap Oy=B\left(0, 1\right)

Astfel reprezentarea geometrica a functiei este:

Graficul unei functii

 

Observam ca graficul functiei este o dreapta, care contine cele doua puncte.

 

 

b) f:R\rightarrow R,f\left(x\right)=2x

Calculam mai intai :

G_{f}\cap Ox, astfel avem:

f\left(x\right)=0\Rightarrow 2x=0\Rightarrow x=0

Astfel am gasit G_{f}\cap Ox= A\left(0, 0\right)

Calculam acum

G_{f}\cap Oy, astfel calculam:

f\left(0\right)=0

Deci am gasit G_{f}\cap Oy=B\left(0, 0\right)

Astfel reprezentarea geometrica a functiei este:
Cum trasam graficul unei  functii de gradul I
2) Determinati numarul real m pentru care punctul A\left(2; -3\right) apartine graficul functiei f:R\rightarrow R, f\left(x\right)\left(m-5\right)x+11
Solutie:
Ca sa gasim numarul real m pentru care punctul A apartine graficului functiei calculam:
f\left(x\right)=y\Rightarrow f\left(2\right)=-3\Rightarrow \left(m-5\right)\cdot 2+11=-3\Rightarrow 2m-10+11=-3\Rightarrow 2m+1=-3\Rightarrow 2m=-3-1\Rightarrow 2m=-4\Rightarrow m=\frac{-4}{2}\Rightarrow m=-2.
3) Fie functia f:R\rightarrow R, f\left(x\right)=-\frac{4}{3}x+4
a) Reprezentati grafic functia
b) Calculati aria triunghiului determinat de graficul lui f si axele de coordonate
c) Determinati distanta de la originea sistemului de axe perpendiculare xOy la graficul functiei f.
Solutie:
a)Calculam mai intai

G_{f}\cap Ox, astfel avem:

f\left(x\right)=0\Rightarrow -\frac{4}{3}x+4=0\Rightarrow-\frac{4}{3}x=-4\Rightarrow -4x=-4\cdot 3\Rightarrow x=\frac{-4\cdot 3}{-4}\Rightarrow x=3

Astfel am gasit G_{f}\cap Ox= A\left(3, 0\right)

Calculam acum

G_{f}\cap Oy, astfel calculam:

f\left(0\right)=-\frac{4}{3}\cdot 0+4\Rightarrow f\left(0\right)=4

Deci am gasit G_{f}\cap Oy=B\left(0, 4\right)

Astfel reprezentarea geometrica a functiei este:
Cum reprezentam geometric o functie
Astfel dupa ce am reprezentat geometric o functie calculam aria.
Dupa cum bine observati triunghiul AOB este dreptunghic in O, dar acum trebuie sa aflam lungimea segmentelor AO si BO, astfel
a\left(4,0\right); O\left(0,0\right)
d\left(A,O\right)=\sqrt{\left(x_{O}-x_{A}\right)^{2}+\left(y_{O}-y_{A}\right)^{2}}=\sqrt{\left(0-3\right)^{2}+\left(0-0\right)^{2}}=\sqrt{\left(-3\right)^{2}+0}=\sqrt{9}=3 cm
Acum ca sa aflam distanta de la O la B, stim ca B\left(0,4\right)
Astfel
d\left(B, O\right)=\sqrt{\left(x_{O}-x_{B}\right)^{2}+\left(y_{O}-y_{B}\right)^{2}}=\sqrt{\left(0-4\right)^{2}+\left(0-0\right)^{2}}=\sqrt{\left(-4\right)^{2}+0}=\sqrt{16}=4 cm
Deci am gasit ca AO=3 cm si BO=4 cm.
Acum aplicam formul ariei pentru triunghiul dreptunghic si gasim:
A_{\Delta AOB}=\frac{c_{1}\cdot c_{2}}{2}=\frac{AO\cdot BO}{2}=\frac{3\cdot 4}{2}=\frac{12}{2}=6 cm^{2}
c) d\left(O, G_{f}\right)=d\left(O, AB\right)=AD
Deoarece stim ca distanta de la un punct la o dreapta este piciorul perpendicularei din punctul dat pe dreapta.
distanta de la originea sistemelor de axe la graficul functiei
Astfel stim ca Triunghiul AOB dreptunghic aplicam Teorema inaltimii, dar mai intai aflam AB, astfel in triunghiul AOB aplicam Teorema lui Pitagora
AB^{2}=AO^{2}+BO^{2}\Rightarrow AB^{2}=3^{2}+4^{2}\Rightarrow AB=\sqrt{9+16}\Rightarrow AB=\sqrt{25}\Rightarrow AB=5 cm.
Astfel
AD=\frac{c_{1}\cdot c_{2}}{ipotenuza}=\frac{AO\cdot BO}{AB}=\frac{3\cdot 4}{5}=\frac{12}{5}=2,4 cm

Functii Notiune de functie

Despre notiunea de functie am mai discutat si in clasa a VII-a, atunci cand am vorbit de dependenta functionala, cand am invatat sa calculam distanta dintre doua puncte cand stim coordonatele punctelor, dar si sa reprezentam functiile, astfel astazi o sa discutam despre :

Functii Notiunea de functie

Incepem prin a defini notiunea de functie

Definitie: Fie A si B dous multimi nevide. Prin functia f definita pe multimea A cu valori in  multimea B se intelege orice lege, procedeu, regula, convenctie prin care fiecarui element x\in A i se asociaza un singur element y=f\left(x\right)\in B.

Prin f:A\rightarrow B vom nota o functie definita pe A cu valori in B. Multimea A se numeste domeniul de definitie  al functiei, iar B se numeste codomeniul functiei f sau domeniul de valori, iar procedeul, regula y=f\left(x\right)  se numeste legea de corespondenta a functiei.

Imaginea functiei

Fie f:A\rightarrow B o functie. Imaginea functiei f este multimea

Im\;\;f=\left\{f\left(x\right)|x\in A\right\}. In mod evident Im\;\; f\subset B.

Putem scrie si altfel:

Im\;\;\; f=\left\{y\in B|\exists x\in A\;\; a.i.\;\; y=f\left(x\right)\right\}

Graficul functei

Fie f:A\rightarrow B o functie. Multimea G_{f}=\left\{\left(x, f\left(x\right)\right)|x\in A\right\} se numeste graficul functiei f.

Avem si G_{f}=\left\{\left(x, y\right)|x\in A, y=f\left(x\right)\right\}\subset A\times B.

Reprezentarea geometrica a functiei

Daca f:A\rightarrow B este o functie numerica, fiecarui element \left(x, y\right)\in G_{f} ii putem asocia un punct M\left(x, y\right)  intr-un reper cartezian. Submultimea planului formata de toate punctele M\left(x,y\right) cu \left(x, y\right)\in G_{f} se numeste reprezentarea geometrica a graficului functiei f.

Moduri de definire a functiilor:

– printr-o diagrama f:\left\{-2; -1; 0; 3\right\}\rightarrow \left\{4; 5; 10\right\}

cum putem defini o functie

 

 

 

 

 

– printr-un tabel

f:\left\{-1; 0; 2; 5\right\}\rightarrow \left\{1; 2; 3\right\}

cum reprezentam functiile printr-un tabel

 

 

 

 

 

– prin una sau mai multe formule analitice
Exemplu:
f:\left\{0; 2; 4\right\}\rightarrow \left\{0; 4; 16\right\} f\left(x\right)=x^{2}.

Definitie

Doua functii f:A\rightarrow B  si g:C\rightarrow D se numesc egale daca au acelasi domeniu, adica A=c de definitie, acelasi codomeniu de definitie, adica B=D  si f\left(x\right)=g\left(x\right), oricare x se afla in A. Notam f=g

Exercitii

1) Se considera multimea

A=\left\{0; 1; \frac{4}{9}; 1\frac{9}{25}; 10, 24; 11\right\} si functia r:A\rightarrow R, r\left(x\right)=\sqrt{x}

a) Scrieti elementele multimii Im\;\; r si efectuati Q\cap Im\;\; r

b) Descrieti printr-o formula o functie p:Im\;\; r\rightarrow A

Solutie

Stim ca Im\;\; r=\left\{r\left(x\right)|x\in A\right\}

Deci calculam

r\left(0\right)= \sqrt{0}=0    \\r\left(1\right)=\sqrt{1}=1    \\r\left(\frac{4}{9}\right)=\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}}=\frac{2}{3}

r\left(1\frac{9}{25}\right)=\sqrt{\frac{1\cdot 25+9}{25}}=\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{25}}=\frac{\sqrt{34}}{5}    \\r\left(10\right)=\sqrt{10}=\sqrt{10}    \\r\left(10,24 \right)=\sqrt{\frac{1024}{100}}=\frac{\sqrt{1024}}{\sqrt{100}}=\frac{32}{10}=3,2    \\r\left(11\right)=\sqrt{11}=\sqrt{11}

Deci

Im\;\; r=\left\{0; 1; \frac{2}{3}; \frac{\sqrt{34}}{5}; 3,2; \sqrt{11}\right\}

Acum calculam

Q\cap Im\;\; r=\left\{0; 1; \frac{2}{3}; 3,2\right\}

b) Functia pe care o gasim p:Im\;\; r\rightarrow A este p\left(x\right)=x^{2}