Logaritmi Operatii cu logaritmi Ecuatii logaritmice

Unora vi se pare foarte greu sa intelegeti acesti logaritmi,  unora vi se par simpli. Important este sa invatam cum sa efectuam operatii cu logaritimi dar si cum sa rezolvam ecuatii cu logaritmi. Pentru inceput definim notiunea de logaritm.

Def: Fie a>0 un numar real pozitiv, a\neq 1. Consideram ecuatia exponentiala  a^{x}=N, N>0 ecuatia exponentiala are o solutie unic determinata, iar aceasta solutie se  noteaza x=\log_{a}{N} numit logaritmul numarului pozitiv N in baza a.

Din cele doua relatii obtinem a^{\log_{a}{N}}=N

adica algoritmul unui numar real pozitiv este exponentul la care trebuie ridicata  baza „a”  pentru a obtine numarul dat

Exemplu:

a). Sa se calculeze  \log_{5}{125}

Stim ca 125=5^{3}, iar din definitia logaritmului avem ca \log_{5}{5^{3}}=3, trebuie sa ne obisnuim ca ce numar care are baza 5 la o anumita putere ne da 125.

b). Sa se calculeze  \log_{\frac{1}{3}}{27}. Astfel consideram ecuatia exponentiala \left(\frac{1}{3}\right)^{x}=27

Adica ne gandim ca numarul \frac{1}{3} la ce putere obtinem 27 si astfel am obtinut o ecuatie exponentiala.

Cu ajutorul inversului unei functii stim ca \frac{1}{3}=3^{-1} si astfel am obtinut aceeasi baza a ecuatiei exponentiale \left(3^{-1}\right)^{x}=3^{3}\Rightarrow 3^{-x}=3^{3}\Rightarrow -x=3\Rightarrow x=-3 deci \log_{\frac{1}{3}}{27}=-3

Iar daca facem proba obtinem \left(\frac{1}{3}\right)^{-3}=27

Obs: Logaritmii in baza zece se mai numesc si logaritmi zecimali si se noteaza \lg, adica daca avem \log_{10}{100}, putem sa scriem \lg 100=2

Logaritmii naturali ai numarului  a se noteaza \ln a, iar baza acestui numar este numarul irational  „e” e\approx 2,71

Ca sa putem sa efectuam operatii cu logaritmi trebuie sa stim proprietatile  logaritmilor:

1). Daca A si B sunt doua numere pozitive, atunci:

\log_{a}{\left(AB\right)}=\log_{a}{A}+\log_{a}{B}

Adica logaritmul produsului a doua numere pozitive este egal cu suma logaritmilor celor doua numere.

2). Daca A si B sunt doua numere pozitive, atunci \log_{a}{\frac{A}{B}}=\log_{a}{A}-\log_{a}{B}

Adica logaritmul catului a doua numere  este egal cu diferenta dintre logaritmul numaratorului si logaritmul numitorului.

3). Daca A este un numar pozitiv si ”m” un numar real arbitrar ales atunci:

\log_{a}{A^{m}}=m\cdot\log_{a}{A}

Adica logaritmul puterii unui numar este egal cu produsul dintre exponetul puterii si logaritmul numarului.

Exemplu:
Sa se calculeze:

a) \log_{2}{5}+\log_{2}{\frac{4}{5}}=\log_{2}{5\cdot\frac{4}{5}}=\log_{2}{4}=2

Ca sa rezolvam exercitiul de mai sus am folosit prima regula de mai sus, adica  suma algoritmului a  doua  numere este egala cu produsul logaritmului celor doua numere  (am folosit partea a doua a regulii ), iar apoi definitia logaritmului, adica 2 la ce putere obtinem 4.

b) \log_{0,1}{5}+\log_{0,1}{4}-\log_{0,1}{2}=\log_{0,1}{5\cdot 4}-\log_{0,1}{2}=\log_{0,1}{20}-\log_{0,1}{2}=\log_{0,1}{\frac{20}{2}}=\log_{0,1}{10}=\log_{\frac{1}{10}}{10}=-1

Adica \left(\frac{1}{10}\right)^{x}=10\Rightarrow \left(10^{-1}\right)^{x}=10\Rightarrow 10^{-x}=10\Rightarrow -x=1\Rightarrow x=-1

Sau putem sa mai scriem \log_{10^{-1}}{10}=-1

Adica trebuie sa ne gandim ce 10^{-1}=10 si astfel obtinem \left(10^{-1}\right)^{-1}=10

Deci, important la logaritmi, este sa intelegem definitia acestora dar si proprietatile  care ne ajuta sa rezolvam exercitiile care contin logaritmi.