Model subiect teza la matematica Clasa a XII a

Prezentam un model subiect teza la matematica pentru clasa a XII a.

Subiectul I

1. Stiind ca x_{1} si x_{2} sunt solutiile ecuatiei:x^{2}-2014x+1=0, sa se calculeze:

\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}
2. Sa se calculeze lungimea laturii AB a triunghiului ABC stiind ca BC=6 cm AC=3\sqrt{2}, m\left(\widehat{C}\right)=45^{0}
3. Sa se determine solutiile reale ale ecuatiei:
\log_{2}\left(x^{2}-x-2\right)=2
4. Sa se determine primul termen al unei progresii geometrice stiind ca raportul dintre primul termen si al patrulea este \frac{1}{8} si ca b_{2}=3
5. Sa se calculeze probabilitatea ca alegand un numar natural de doua cifre acesta sa fie cub perfect.
6. Se considera functia f:R\rightarrow R, f\left(x\right)=x^{2}-2x+2. Sa se arate ca varful parabolei asociat functiei are coordonatele egale.
Subiectul II
1. Se considera polinomul f=X^{4}+aX^{3}+bx+c cu a,b,c\in R
a) Sa se determine numarul real c stiind ca f\left(1\right)+f\left(-1\right)=2014
b) Sa se determine numerele reale a,b,c stiind ca f\left(0\right)=f\left(1\right)=-2 si ca una dintre radacinile polinomului este x=2
c) Pentru a=-2,b=1, c=-2 sa se determine radacinile reale ale polinomului f.
Subiectul III
1.Se considera functia: f:R\rightarrow R, f\left(x\right)=\cos x-1+\frac{x^{2}}{2}
a) Sa se calculeze \lim\limits_{x\to 0}{\frac{f\left(x\right)}{x^{4}}}
b) Sa se determine f^{'} si f^{''}

2. Se  considera functia: f:\left[0,+\infty\right)\rightarrow R, f\left(x\right), =\frac{x^{2}+4x    5}{x^{2}+4x+3}

a) Sa se calculeze f\left(x\right)=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+3}+1, pentru orice x\in \left[0,+\infty\right)

b) Sa se calculeze \int^{1}_{0}f\left(x\right) dx

c)  Sa se determine numarul real k astfe incat aria suprafetei plane determinat e graficul functiei f, axa Ox si dreptele de ecuatii x=0 si x=k sa fie egala cu k+\ln k

Aplicatii ale integralei definite Aria unei suprafete plane

Dupa ce am invatat sa calculam integralele definite cu ajutorul mai multor metode,a venit vremea sa stim unde putem sa le aplicam in practica. Astfel,astazi discutam despre aplicatii ale integralei definite, aria unei suprafete plane si
aria unei suprafete marginita de grafice de functii .
Incepem prin a enunta o teorema cu ajutorul careia o sa rezolvam mai multe exercitii:
Fie functiile f,g:\left[a,b\right]\rightarrow R continue sau continue pe portiuni. Presupunem ca g\left(x\right)\leq f\left(x\right), \forall x\in \left[a, b\right]. Suprafata dintre graficele functiilor f si g pe \left[a,b\right] este
\Gamma=\left\{\left(x,y\right)|a\leq x\leq b\;\; sig\left(x\right)\leq y\leq f\left(x\right)\right\}.
Aria suprafetei este \Gamma este
\int^{a}_{b}\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)dx
In particular daca f:\left[a,b\right]\rightarrow R este continua si f\left(x\right)  \geq 0, \forall x\in\left[a,b\right], atunci suprafata
\Gamma{f}=\left\{\left(x, y\right)\in R^{2}|a\leq x\leq b\;\; si \;\; 0\leq y\leq f\left(x\right)\right\} are arie si A\left(\Gamma_{f}\right)=\int^{b}_{a}f\left(x\right)dx
Exercitiu
1) Sa se determine aria suprafetei cuprinse intre graficul functiei f si axa Ox pentru
a) f:\left[0,1\right]\rightarrow R, f\left(x\right)=\frac{1}{x^{2}+4x+8}
Solutie
f\left(x\right)=\frac{1}{x^{2}+4x+8}\geq 0, \forall x\in\left[0,1\right]\Rightarrow
A\left(\Gamma_{f}\right)=\int^{1}_{0}\frac{1}{x^{2}+4x+8} dx=
Ca sa rezolvam integrala de mai sus calculam
x^{2}+4x+8=0  \\ \Delta=b^{2}-4\cdot a\cdot c=16-4\cdot 1\cdot 8=16-32=-16<0
Deci pentru a rezolva integrama de mai sus scriem:

\int^{1}_{0}\frac{1}{x^{2}+4x+8} dx=\int^{1}_{0}\frac{1}{x^{2}+4x+4+4}dx=\int^{1}_{0}\frac{1}{\left(x+2\right)^{2}+2^{2}}=\frac{1}{2}arctan\frac{x+2}{2}|^{1}_{0}=\frac{1}{2}\left(arctan\frac{1+2}{2}-arctan\frac{0+2}{2}\right)=\frac{1}{2}\left(arctan\frac{3}{2}-arctan\frac{2}{2}\right)=\frac{1}{2}\left(arctan\frac{3}{2}-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{2}arctan\frac{3}{2}-\frac{\pi}{8}.
b) f:\left[1, e\right]\rightarrow R, f\left(x\right)=\ln x
Functia
f\left(x\right)=\ln x\geq 0,\;\; \forall x\in \left[1, e\right]\Rightarrow
A\left(\Gamma_{f}\right)=\int^{e}_{1}\ln x dx=\int^{e}_{1} x^{'}\cdot \ln x dx=
x\cdot\ln x|^{e}_{1}-\int^{e}_{1}x\left(\ln x\right)^{'}dx=
e\cdot \ln e-1\ln 1-\int^{e}_{1}x\cdot\frac{1}{x}dx=
e-1\cdot 0-\int^{1}_{e} dx=e-x|^{e}_{1}=1
c) f,g:\left[0,4\right]\rightarrow R, f\left(x\right)=-\sqrt{x}, g\left(x\right)=\sqrt{x}
Solutie
Fie h:\left[0,4\right]\rightarrow R, h\left(x\right)=f\left(x\right)-g\left(x\right)=-\sqrt{x}-\sqrt{x}=-2\sqrt{x}<0\;\; \forall x\in\left[0,4\right]\Rightarrow f\left(x\right)\leq g\left(x\right), \forall x\in \left[0, 4\right]
Atunci avem
A\left(\Gamma{f,g}\right)=\int^{4}_{0}\left(g\left(x\right)-f\left(x\right)\right)dx=
\int^{4}_{0}\left(\sqrt{x}-\left(-\sqrt{x}\right)\right)dx=\int^{4}_{0}\left(\sqrt{x}+\sqrt{x}\right)dx=
\int^{4}_{0} 2\cdot \sqrt{x} dx=2\int^{4}_{0}\sqrt{x} dx=2\int^{4}_{0}x^{\frac{1}{2}}dx=
2\cdot \frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}|^{4}_{0}=
2\cdot \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}|^{4}_{0}=
2\cdot \frac{2}{3}\cdot x^{\frac{3}{2}}|^{4}_{0}=
2\cdot \frac{2}{3}\cdot \sqrt{x^{3}}|^{4}_{0}=\frac{2}{3}\left(\sqrt{4^{3}}-\sqrt{0^{3}}\right)=
2\cdot \frac{2}{3}\cdot 4\sqrt{4}=\frac{2}{3}\cdot 4\cdot 2=
2\cdot \frac{2}{3}\cdot 8=2\cdot \frac{16}{3}=\frac{32}{3}

2) Calculati aria multimii plane:
A=\left\{\left(x,y\right)|-1\leq x\leq 1\;\; si\;\; \frac{x^{2}}{2}\leq y\leq \frac{1}{1+x^{2}}\right\}
Solutie
Conform primei teoreme pe care am enuntat-o avem ca
1, si -1 sunt capetele intervalului, adica avem functiile f si g
f, g:\left[-1, 1\right]\rightarrow R, g\left(x\right)=\frac{1}{1+x^{2}}\;\; si f\left(x\right)=\frac{x^{2}}{2}, astfel avem din ipoteza ca functia
f\left(x\right)<g\left(x\right),\;\;\forall x\in \left[-1, 1\right]
Astfel
A\left({\Gamma_{f,g}}\right)=\int^{1}_{-1}\left(g\left(x\right)-f\left(x\right)\right)dx=\int^{1}_{-1}\left(\frac{1}{1+x^{2}}-\frac{x^{2}}{2}\right)dx=\int^{1}_{-1}\left(\frac{2-\left(1+x^{2}\right)\cdot x^{2}}{2\left(1+x^{2}\right)}\right) dx=  \int^{1}_{-1}\frac{2-x^{2}-x^{4}}{2\left(1+x^{2}\right)}dx=\int^{1}_{-1}\frac{2}{2\left(1+x^{2}\right)}dx-\int^{1}_{-1}\frac{x^{2}\left(1+x^{2}\right)}{2\left(1+x^{2}\right)}dx=\int^{1}_{-1}\frac{1}{1+x^{2}}dx-\int^{1}_{-1}x^{2}dx=\frac{1}{1}arctan{x}{1}|^{1}_{-1}-\frac{x^{2+1}}{2+1}|^{1}_{-1}=arctan{1}-arctan{-1}-\frac{x^{3}}{3}|^{1}_{-1}=\frac{\pi}{4}-\frac{-\pi}{4}-\frac{1}{3}+\frac{\left(-1\right)^{3}}{3}=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4}-\frac{1}{3}-\frac{1}{3}=\frac{2\pi}{4}-\frac{2}{3}=\frac{\pi}{2}-\frac{2}{3}