Multimea numerelor reale Modulul unui numar real Reprezentarea pe axa a numerelor reale Ordonari

Pana anul acesta  am discutat despre multimea numerelor  naturale, multimea numerelor rationale, multimea numerelor intregi, iar acum prezentam multimea numerelor reale, dar si multimea numerelor irationale. Incepem prin a ne reaminti despre multimile care le-am invatat:

N=\left\{0,1, 2, 3,..., \right\}– multimea numerelor naturale

Z=\left\{...,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...\right\}-multimea numerelor intregi

Q=\left\{\frac{a}{b}|a,b\in Z, b\neq 0\right\}– multimea numerelor rationale

Prezentam multimea numerelor irationale

Numerele care au partea zecimala infinita si neperiodica se numesc numere irationale.

Daca p\in N^{*} si p nu este patrat perfect, atunci \sqrt{p} este numar rational.

Exemple de numere irationale:

\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{10}

Reuniunea dintre multimea numerelor rationale si multimea numerelor irationale formeaza multimea numerelor reale.

Multimea numerelor reale se noteaza cu R si cu R-Q multimea numerelor irationale.

De retinut sirul de incluziuni:

N\subset Z\subset Q\subset R

Definit

R_{+}=\left\{x|x>0\right\}– multimea numerelor reale pozitive

 

R_{-}=\left\{x|x<0\right\}– multimea numerelor reale negative

Reuniunea dintr multimea numerelor reale pozitive si multimea numerelor reale negative formeaza multimea numerelor reale.

R=R_{+}\cup R_{-}

Modulul unui numar real
|x|=x\;\; daca\;\; x\geq 0  \\-x\;\; daca x<0
Proprietati:

|x|\geq 0 oricare ari fi x\in R

|-x|=|x|, oricare ar di \in R.

Reprezentarea numerelor reale

Numim axa a numerelor reale o dreapta, cu un punct fixat numit origine, un sens puzitiv si o unitate de masura.

Oricarui numar real ii corespunde un unic punct pe axa numerelor si reciproc

Exercitii:

1) Se considera multimea:

A=\left\{\sqrt{36}; \sqrt{5\frac{1}{4}}; \sqrt{7\frac{1}{9}}; \sqrt{3\frac{1}{16}}; \sqrt{0,\left(4\right)}; \sqrt{4\frac{1}{4}}; \sqrt{3^{2}\cdot 2^{6}}\right\}
Calculati A\cap N; A\cap Z; A\cap Q; A\cap \left(R-Q\right)
Aducem multimea A la forma cea mai simpla, adica calculam pe unde se poate radicali, patratele perfecte
A=\left\{6; \sqrt{\frac{21}{4}}; \sqrt{\frac{64}{9}}; \sqrt{\frac{49}{16}}; \sqrt{\frac{4}{9}}; \sqrt{\frac{17}{4}}; 3\cdot2^{3}\right\}
Deci multimea
A=\left\{6; \frac{\sqrt{21}}{2}; \frac{8}{3}; \frac{7}{4}; \frac{2}{3};\frac{\sqrt{17}}{2} ;24\right\}
A\cap N=\left\{6; 24\right\}
iar in multimea A gasim numerele astfel:
A\cap N=\left\{\sqrt{36}; \sqrt{2^{2}\cdot 2^{6}}\right\}.
A\cap Z=\left\{6; 24\right\}
iar in multimea A gasim numerele sub forma

A\cap Z=\left\{\sqrt{36}; \sqrt{2^{2}\cdot 2^{6}}\right\}
A\cap Q=\left\{6, \frac{8}{3}; \frac{7}{4}; \frac{2}{3}; 24\right\}
iar in multimea A gasim numerele sub forma
A\cap Q=\left\{\sqrt{36}; \sqrt{7\frac{1}{9}}; \sqrt{3\frac{1}{16}}; \sqrt{0,\left(4\right)}; \sqrt{3^{2}\cdot 2^{6}}\right\}
A\cap \left(R-Q\right)=\left\{\sqrt{5\frac{1}{4}}; \sqrt{4\frac{1}{4}}\right\}
Deci foarte important sa stim cum se definesc multimile, care sunt elementele fiecarei multimi, dar sa stim si operatiile cu multimi.

Operatii cu intervale

Dupa ce am definit intervalele, acum o sa efectuam operatii cu intervale de numere reale. Cum efectuam exercitiile in care apar intervale? Intervalele fiind definite ca multimi, pastreaza toate proprietatile multimilor, adica reuniunea de la multimi se pastreaza si la intervale, dar acum o sa scriem sub forma de interval, acelasi lucru se intampla si pentru intersectie, luam partea comuna a celor doua sau trei intervale, exemplificam mai jos intersectia a doua intervale.

Rezolvam exercitii in care apar intervalele si care sunt folositoare si pentru Evaluarea Nationala

1) Efectuati:
a)  [-3,5)\cap (3,8]=(3,5)
Exercitii operatii cu intervale
Deoarece la fel ca si la multimi luam doar partea comuna a intervalelor (doar elementele comune), foarte important trebuie sa stim cum sunt definite intervalele marginite si intervalele nemarginite.

Iar daca vrem sa calculam reuniunea a doua intervale, de exemplu la exercitiul de mai sus
 [-3,5)\cup (3,8]=[-3, 8]

luam toate elementele din cele doua intervale, adica extremitatile.

b)  \left[-2, 5\right)\cap Z^{*}=\left\{-2, -1, 1, 2, 3, 4\right\}
Stim ca multimea numerelor intregi fara 0 (, Z^{*}) cuprinde elemente \left\{- \infty,...-3, -2, -1, 1, 2, 3,...,+ \infty\right\}, deci intersectia dintre intervalul nostru si multimea numerelor intregi este multimea de mai sus, deoarece nu mai are elementul 0 nu mai putem scrie intersectia ca interval.

2) Determinati A\cup B, A\cap B , daca:
  A=\left\{x|\left|2x-1\right|\leq 11\right\}
  B=\left\{x|\left|2x+1\right|<7\right\}
Ca sa aflam reuniunea, intersectia si diferenta dintre cele doua multimi mai intai trebuie sa vedem ce elemente are fiecare din ele, astfel pentru multimea A, luam modulul si-l calculam
 \left|2x-1\right|\leq 11

Adica  -11\leq 2x-1\leq 11 (+1)\Rightarrow -11+1\leq 2x-1+1 \leq 11+1\Rightarrow-10\leq 2x\leq 12|:2\\ \Rightarrow-10:2\leq 2x:2\leq 10:2\Rightarrow -5\leq x\leq 5, x\in\left[-5, 5\right]
Ca sa aflam intervalul dupa ce am scris modulul am folosit definitia modulului adica \left\{x\in R|\left|x\right|\leq a\right\}=[-a,a], iar pentru a ajunge numai la x prima data am scazut pe 1 din toata inegalitatea, iar apoi am impartit prin 2, de unde am obtinut pe x. Pentru multimea B
 \left|2x+1\right|<7\Rightarrow -7<2x+16 |:2\Rightarrow -4<x<3, x\in (-4, 3) Deoarece stim de la definitia modulului ca \left|x\right|=x, x>0
Astfel

 A\cap B=[-5,5]\cap (-4,3)= (-4,3)
  A\cup B=[-5,5]

Divizibilitatea numerelor naturale – divizori si multipli

Inca din clasa a V-a am introdus notiunea de divizibilitate  iar acum o sa vorbim, o sa ne reamintim divizibilitatea numerelor naturale, adica notiunea de divizori si multipli.

Def: Fie „a” si „b” doua numere naturale. Spunem ca a divide b si notam „a|b”, daca exista un numar natural „c” astfel incat b=a\cdot c sau spunem ca „a” este un divizor al lui „b”, daca exista un numar natural „c” astfel incat  b=a\cdot c . Matematic scriem: a,b \in N, a|b , daca \exists c\in N , unde N= multimea numerelor naturale, astfel incat b=a\cdot c

Exp:

2|6, deoarece exista un numar natural „c” astfel incat 6=2\cdot c (numarul natural ‘c’ este 3 ), deci 2 este un divizor al lui 6.

Obs: -Fie „n” un numar natural oarecare;  n|0 , deoarece exista un numar natural ‘c’ astfel incat  0=n\cdot c(numarul natural c este 0).
– 0|0, deoarece exista nu numar natural ‘c’ astfel incat sa se verifice relatia divizibilitatii.

Exercitii:
1)Determinati elementele multimii:
a)D_{14}
b)D_{18}
c) D_{24}
d) D_{14}\cap D_{18}
e) D_{14}\cap D_{24}
f) D_{18}\cap D_{24}
g) D_{14}\cap D_{18}\cap D_{24}
Solutie:

Daca suntem atenti la definitia divizibilitatii gasim divizorii lui 14 (divizorii lui 14 sunt acele numere care se impart exact fara rest), astfel :

a) D_{14}=\left\{1; 2; 7; 14\right\}, 1|14 deoarece exista un c=14 astfel incat 14=1\cdot 14 sau mai bine spus 14 se imparte exact la 1, restul se face asemanator.

b) D_{18}=\left\{1; 2; 3; 6; 9;18\right\}

c) D_{24}=\left\{1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24\right\}

d) D_{14}\cap D_{18}=\left\{1; 2\right\}, la intersectie luam partea comuna a celor doua multimi.

e) D_{14}\cap D_{24}=\left\{1; 2\right\}

f) D_{18}\cap D_{24}=\left\{1; 2; 3; 6\right\}

g) D_{14}\cap D_{18}\cap D_{24}=\left\{1; 2\right\}

2) Aratati ca numerele de forma x=15^{n+1}+3\cdot 15^{n}+3^{n+2}\cdot 5^{n} sunt divizibile cu 27, unde n\in N^{*}.

Solutie
Ca sa aratam ca e divizibil cu 27 trebuie sa gasim un numar de forma 27\cdot alta cantitate, astfel incercam sa scriem numarul nostru in asa fel incat sa putem da factor comun o anumita cantitate, in cazul de fata ca sa dam factor comun pe 15^{n}, trebuie sa mai lucram ultimul termen
3^{n+2}\cdot 5^{n}=3^{n}\cdot 3^{2}\cdot 5^{n}=3^{n}\cdot 5^{n}\cdot 3^{2}=\left(3\cdot 5\right)^{n}\cdot 9=15^{n}\cdot 9.

Astfel

x=15^{n+1}+3\cdot 15^{n}+15^{n}\cdot 9
x=15^{n}\left(15+3+9\right)
x=15^{n}\cdot 27

Deci numarul nostru este divizibil cu 27.

In cazul exercitiului de mai sus am folosit si regulile de calcul cu puteri care le-am invatat in clasa a V-a.

Deci ca sa rezolvam exercitii trebuie sa ne folosim si de cunostintele dobandite anterior. Incercati sa rezolvati singuri urmatorul exercitiu:

3) Aratati ca numerele de forma x=72\cdot 12^{n}+3^{n+3}\cdot 4^{n+2} sunt divizibile cu 63, unde n\in N^{*}.
Solutie:
x=72\cdot 12^{n}+3^{n}\cdot 3^{3}\cdot 4^{n}\cdot 4^{2}
Folosind regulile de calcul cu puteri obtinem ca:
x=72\cdot 12^{n}+\left(3\cdot 4\right)^{n}\cdot 3^{3}\cdot 4^{2}
Adica
x=72\cdot 12^{n}+12^{n}\cdot 27\cdot 16
Deci
x=72\cdot 12^{n}+12^{n}\cdot 432
Adica
x=12^{n}\left(72+432\right)
Asadar
x=12^{n}\cdot 504\Rightarrow x=12^{n}\cdot 63\cdot 8, deci este divizibil cu 63