Operatii cu numere reale. Formule de calcul prescurtat

Inca din generala ati invatat sa efectuati operatii cu numere reale, dar sa si folositi formulele de calcul prescurtat. Incercam sa rezolvam exercitii astfel incat sa ne reamintim cum sa folosim numerele reale si formulele de calcul prescurtat.

1) Calculati:
a) <br /> \left(\frac{2}{5\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{12}}+\frac{3}{\sqrt{75}}\right):\left(2\sqrt{3}\right)^{-1}=\\</p> <p>\left(\frac{2\sqrt{3}}{15}-\frac{\sqrt{12}}{12}+\frac{3\sqrt{75}}{75}\right): \frac{1}{2\sqrt{3}}=\\<br /> \left(\frac{2\sqrt{3}}{15}-\frac{2\sqrt{3}}{12}+\frac{3\sqrt{75}}{75}\right)\cdot 2\sqrt{3}=\\<br /> \left(\frac{2\sqrt{3}}{15}-\frac{\sqrt{3}}{6}+\frac{5\sqrt{3}}{25}\right)\cdot 2\sqrt{3}=\\<br /> \left(\frac{2\sqrt{3}}{15}-\frac{\sqrt{3}}{6}+\frac{\sqrt{3}}{5}\right)\cdot 2\sqrt{3}=\\<br /> \left(\frac{2\cdot 2\sqrt{3}-5\cdot\sqrt{3}+6\cdot\sqrt{3}}{30}\right)\cdot 2\sqrt{3}=\\<br /> \left(\frac{4\sqrt{3}-5\sqrt{3}+6\sqrt{3}}{30}\right)\cdot 2\sqrt{3}=<br /> \left(\frac{5\sqrt{3}}{30}\right)\cdot 2\sqrt{3}=<br /> \frac{5\cdot 3}{15}=1.</p> <p>

Ca sa rezolvam exercitiul de mai sus am rationalizat numitorii, am scos factorii de sub radicali (stim ca \sqrt{a^{2}}=|a|, \sqrt{a^{2}\cdot b}=|a|\sqrt{b}), iar apoi am simplificat pe unde s-a putut, pentru a ne simplifica calculele, am adus la acelasi numitor, am efectuat calculele iar apoi am facut produsul celor doua rezultate, stim ca a^{-1}=\frac{1}{a} si de aici obtinem \left(2\sqrt{3}\right)^{-1}=\frac{1}{2\sqrt{3}},iar de la impartirea a doua numere rationale stim ca este egal cu produsul dintre primul si inversul celui de-al doilea, de unde obtinem rezultatul.

b) <br /> \sqrt{7-4\sqrt{3}}+\sqrt{4-2\sqrt{3}}+\sqrt{3-2\sqrt{2}}=\sqrt{\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}}+\sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}}+\sqrt{\left(1-\sqrt{2}\right)^{2}}=\\<br /> \left|2-\sqrt{3}\right|+\left|1-\sqrt{3}\right|+\left|1-\sqrt{2}\right|=2-\sqrt{3}+\sqrt{3}-1+\sqrt{2}-1=\sqrt{2}.<br />

Dupa cum stiti din clasa a VIII-a trebuie sa sa gasim o forma astfel incat sa putem sa scriem numerele de sub radical la patrat pentru ca stim ca  \sqrt{a}=\left|a\right|, astfel folosim formulele de calcul prescurtat, pentru a putea scoate factorii de sub radicali, iar apoi folosim definitia modulului, iar apoi restul este un simplu calcul.
c)</p> <p>2\sqrt{7-\sqrt{48}}+3\sqrt{43-30\sqrt{2}}+9\sqrt{25-4\sqrt{6}}=<br /> 2\sqrt{\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}}+3\sqrt{\left(5-3\sqrt{2}\right)^{2}}+9\sqrt{\left(1-2\sqrt{6}\right)^{2}}=<br /> \\2\left|2-\sqrt{3}\right|+3\left|3\sqrt{2}-5\right|+9\left|2\sqrt{6}-1\right|=<br /> \\2\left(2-\sqrt{3}\right)+3\left(5-3\sqrt{2}\right)+9\left(2\sqrt{6}-1\right)=<br /> 4-2\sqrt{3}+15-9\sqrt{2}+18\sqrt{6}-9=10-2\sqrt{3}-9\sqrt{2}+18\sqrt{6}

Ca sa rezolvam exercitiile ca si la exercitiul b) trebuie sa folosim formulele de calcul prescurtat ca sa scriem numarul de sub radical ca un numar la patrat. Observam cum sa-l scriem de exemplu la primul radical 7-\sqrt{48}, trebuie sa ne gandim ca suma la patrat a celor doua numere trebuie sa obtinem, iar produsul celor doua numere trebuie sa fie \sqrt{48}, cum stim ca folosim formula de calcul prescurtat (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, dar la noi 2 este introdus sub radical, iar daca scoatem factorul de sub radicalul \sqrt{48}=2\sqrt{12}, deci produsul dintre a si b este a\cdot b=\sqrt{12}, iar singura posibilitate este ca a=\sqrt{3}, b=\sqrt{4}=2.

Sau putem folosi formulaele
<br /> \sqrt{a+\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^{2}-b}}{2}}+\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^{2}-b}}{2}}<br /> \\\sqrt{a-\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^{2}-b}}{2}}-\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^{2}-b}}{2}}<br />

Formulele de mai sus se numesc formulele radicalilor compusi, si ne ajuta sa scriem radicali chiar daca necesita mai mult calcul.