Probleme rezolvate cu teorema fundamentala a asemanarii

Astazi a venit vremea sa prezentam probleme care se rezolva cu teorema fundamentala a asemanarii dar si cu linia mijlocie intr-un trapez.

Sa incepem cu un exemplu de problema.

In triunghiul ABC se iau laturile AB=16 cm , BC =18 cm si AC=20 cm . Se duce dreapta DE paralela cu BC astfel incat triunghiul ADE si trapezul BDEC sa aiba acelasi perimetru . Aflati lungimea segmentului DE.

Ipoteza:

\Delta ABC

AB=16 cm, BC=18 cm, AC=20 cm

DE||BC

P_{\Delta ADE}=P_{BDEC}

Concluzie:

DE=?

Demonstratie:

cum aplicam teorema fundamentala a asemanaii

Stim ca  DE||BC, deci putem aplica Teorema fundamentala a asemanarii \Delta ADE\sim\Delta ABC

Adica \frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}

\Rightarrow\frac{AD}{16}=\frac{AE}{20}=\frac{DE}{18}=k

Adica obtinem \frac{AD}{16}=k\Rightarrow AD=16k

\frac{AE}{20}=k\Rightarrow AE=20k

\frac{DE}{18}=k\Rightarrow DE=18k

Dar mai stim si ca: P_{\Delta ADE}=P_{BDEC}\Rightarrow AD+DE+AE=BD+DE+EC+BC\Rightarrow AD+AE=BD+DE+EC+BC-DE\Rightarrow AD+AE=BD+EC+BC\Rightarrow AD+AE=BD+EC+18

Si cu notiunile de mai sus obtinem: 16k+20k=BD+EC+18(1)

Dar stim ca AB=AD+DB\Rightarrow 16=16k+BD\Rightarrow BD=16-16k

Dar si AC=AE+EC\Rightarrow 20=20k+EC\Rightarrow 20-20k=EC

Si daca inlocuim in (1), obtinem: 16k+20k=16-16k+20-20k+18\Rightarrow 36k=54-36k\Rightarrow 36k+36k=54\Rightarrow 72k=54\Rightarrow k=\frac{54}{72}^{(9}=\frac{6}{8}^{(2}=\frac{3}{4}

Si astfel am obtinut: k=\frac{3}{4} si astfel obtinem:\frac{AD}{16}=k\Rightarrow AD=16k\Rightarrow AD=16\cdot\frac{3}{4}^{(4}=4\cdot\frac{3}{1}=12

\frac{AE}{20}=k\Rightarrow AE=20k\Rightarrow AE=20\cdot\frac{3}{4}^{(4}=5\cot\frac{3}{1}=15

\frac{DE}{18}=k\Rightarrow DE=18k\Rightarrow DE=18\cdot\frac{3}{4}^{(2}=9\cdot\frac{3}{2}=\frac{9\cdot 3}{2}=\frac{27}{2}=13,5

Deci am obtinut DE=13, 5

Sa mai vedem o problema.

2. Trapezul isoscel ABCD, AB||CD, are [AD]\equiv[DC]\equiv[BC] si m\left(\widehat{B}\right)=60^{0}. Daca lungimea liniei mijlocii a trapezului este egala cu 21 cm, atunci calculati perimetrul trapezului ABCD.

Demonstratie:

Stim ca linia mijlocie a trapezului este de 21 cm, deci cu teorema referitoare la linia mijlocie intr-un trapez obtinem:

l.m=\frac{B+b}{2}\Rightarrow 21=\frac{AB+DC}{2}\Rightarrow AB+DC=21\cdot 2\Rightarrow AB+DC=42 cm

Observam ca AD=BC, deci trapezul ABCD este isoscel, deci obtinem si ca m\left(\widehat{A}\right)=60^{0}

linia mijlocie intr-un trapez

Pentru a afla perimetrul trapezului construim perpendicularele di D pe AB si din C pe AB, astfel avem: DE\perp AB

Si CF\perp AB si obtinem:

cum aflam perimetrul unui trapez

 

Astfel in triunghiul ADE avem m\left(\widehat{A}\right)=60^{0}, m\left(\widehat{E}\right)=90^{0} si astfel obtinem m\left(\widehat{D}\right)=180^{0}-m\left(\widehat{A}\right)- m\left(\widehat{E}\right)\Rightarrow m\left(\widehat{D}\right)=180^{0}-60^{0}-90^{0}=30^{0}

Deci in triunghiul ADE aplicam Teorema 30^{0}-60^{0}-90^{0}, astfel obtinem AE=\frac{AD}{2}\Rightarrow 2\cdot AE=AD\Rightarrow DC=2AE

La fel si in triunghiul BCF avem m\left(\widehat{B}\right)=60^{0}, m\left(\widehat{F}\right)=90^{0} si astfel obtinem

m\left(\widehat{C}\right)=180^{0}-m\left(\widehat{B}\right)- m\left(\widehat{F}\right)\Rightarrow m\left(\widehat{C}\right)=180^{0}-60^{0}-90^{0}=30^{0}

Deci in triunghiul BCF aplicam Teorema 30^{0}-60^{0}-90^{0}, astfel obtinem BF=\frac{BC}{2}\Rightarrow 2\cdot BF=BC\Rightarrow DC=2BF

Stim ca AB=AE+EF+EB\Rightarrow AB=\frac{AD}{2}+EF+\frac{BC}{2}

Dar stim ca AD=DC=BC=x

Observam si ca: DCFE este dreptunghi, deci DC=EF

Si astfel obtinem: AB=\frac{x}{2}+x+\frac{x}{2}=\frac{2x}{2}+x=x+x=2x

Deci obtinem ca AB=2x

Stim de mai sus ca AB+DC=42\Rightarrow 2x+x=42\Rightarrow 3x=42\Rightarrow x=42:3\Rightarrow x=14

Deci obtinem AB=2\cdot x=2\cdot 14=28

Dar stim si ca AD=DC=BC=14\;\; cm

Astfel perimetrul trapezului este P_{ABCD}=AB+BC+CD+AD=28+14+14+14=28+14\cdot 3=28+42=70\;\; cm

Si astfel am obtinut ca perimetrul trapezului este de 70 cm.

cum aplicam teorema 30-60-90

Cum aflam linia mijlocie intr-un trapez dreptunghic

Sa vedem cum putem afla linia mijlocie intr-un trapez, trapez dreptunghic !

In trapezul dreptunghic ABCD,AB perpendicular pe CD, m\left(\widehat{B}\right)=m\left(\widehat{C}\right)=90^{0} se stie ca DB este bisectoarea unghiului D si DB=12\sqrt{3} cm. Daca m\left(\widehat{A}\right)= 120^{0} sa se afle lungimea liniei mijlocii.

Demonstratie:

Stim ca \prec{A}=120^{0}, dar si \prec{B}\equiv\prec{C}=90^{0}

Deci m\left(\widehat{ADC}\right)=360^{0}-120^{0}-180^{0}=240^{0}-180^{0}=60^{0}

Cum DB este bisectoarea unghiului D gasim ca

m\left(\widehat{ADB}\right)=m\left(\widehat{BDC}\right)=\frac{60^{0}}{2}=30^{0}

Cum triunghiul BCD este dreptunghic putem aplica:

Teorema 30^{0}-60^{0}-90^{0}

Astfel BC=\frac{BD}{2}=\frac{12\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}\;\; cm

Acum construim perpendiculara din A pe CD, astfel obtinem ABCT dreptunghi, deci AT=6\sqrt{3}

Acum cu Teorema lui Pitagora in triunghiul BDC obtinem:

BD^{2}=BC^{2}+CD^{2}\Rightarrow CD^{2}=\left(12\sqrt{3}\right)^{2}-\left(6\sqrt{3}\right)^{2}\Rightarrow CD=\sqrt{432-108}=\sqrt{324}=18\;\; cm

Daca in triunghiul ATD aplicam tangenta de 60 de grade obtinem:

\tan ADT=\frac{AT}{TD}\Rightarrow \tan 60^{0}=\frac{6\sqrt{3}}{TD}\Rightarrow \sqrt{3}=\frac{6\sqrt{3}}{TD}\Rightarrow TD=\frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=6 cm Cum stim TD, putem afla CT=18-6=12 cm.

Dar ABCT dreptunghi si astfel gasim si ca AB=CT=12 cm.

Observam ca in triunghiul ADB m\left(\widehat{BAD}\right)=120^{0}, dar si ca m\left(\widehat{ADB}\right)=30^{0}, deci m\left(\widehat{ABD}\right)=30^{0} si astfel gasim ca triunghiul ABD isoscel, adica AB=AD=CT=12 cm.

Astfel construim perpendiculara din A pe BD, fie AO\perp BD, astfel in triunghiul ABO dreptunghic in O aplicam Teorema 30^{0}-60^{0}-90^{0}

AO=\frac{AB}{2}=\frac{12}{2}=6 cm

Cum stim bazele trapezului putem afla linia mijlocie a trapezului.

 

cum aflam linia mijlocie intrun trapez

MN=\frac{AB+CD}{2}=\frac{12+6}{2}=\frac{18}{2}=9\;\; cm

Linia mijlocie intr-un trapez

Dupa ce am discutat despre Linia mijlocie intr-un triunghi a venit vremea sa discuta si despre linia miljocie intr-un trapez. Dar mai intai sa definit notiunea de linie mijocie intr-un trapez.

Definitie: Segmentul care uneste mijloacele a doua laturi neparalele ale unui trapez se numeste linia mijlocie intr-un trapez.

Obsevati ca definitia de la linia mijlocie dintr-un triunghi se aseamana cu linia mijlocie intr-un trapez, diferenta o fac doar figurile geometrice si valoarea care o obtinem cand calculam linia mijlocie.
Care este linia mijlocie intr-un  trapez?
Teorema. Intr-un trapez linia mijlocie este paralela cu cele doua baze si masoara jumatate din suma celor doua baze.

Astfel stim ca ABCD trapez, EF linie mijlocie. Rezulta ca AB||EF||CD si ca EF=\frac{B+b}{2}=\frac{AB+CD}{2} unde AB este baza mare si CD- baza mica.

Teorema Intr-un trapez lungimea segmentului determinat de intersectiile liniei mijlocii cu diagonalele este egala cu jumatate din modului diferentei lungimilor bazei.
linia mijlocie intr-un trapez
ABCD trapez, EF linie mijlocie
AC\cap BD=\left\{O\right\}
Rezulta ca GH=\frac{|AB-CD|}{2}
Problema
1) In trapezul dreptunghic ABCD cu AB|| CD si AB>CD \left[AC\right]\equiv\left[BC\right], m\left(\prec B\right)=60^{0} se cunoaste lungimea segmentului care uneste mijloacele diagonalelor PQ= 8 cm. Aflati lungimile bazelor si perimetrul triunghiului ABC.
Ipoteza
ABCD trapez dreptunghic
AB|| CD, AB>CD
\left[AC\right]\equiv\left[BC\right], m\left(\prec B\right)=60^{0}
PQ=8 cm
Concluzie:
AB=?
CD=?
P_{\Delta ABC}=?
Demonstratie

Cum aplicam linia mijlocie intr-un triunghi Stim din ipoteza ca PQ= 8 cm

Conform teoremei de mai sus avem ca: PQ=\frac{AB-CD}{2}\Rightarrow AB-CD=16 cm\Rightarrow BE=16 cm, Deoarece stim ca AB=AE+EB\Rightarrow EB=AB-AE si cum AECD dreptunghi si AE=DC, astfel gasim si ca DC= 16 cm
Astfel am construit in triunghiul ABC inaltimea CE, stim ca unghiul B are 60^{0}, mai stim si ca unghiul E este de 90^{0}, si astfel gasim ca unghiul ECB este de 30^{0} si astfel aplicam teorema 30^{0}-60^{0}-90^{0}, astfel obtinem ca
EB=\frac{BC}{2}\Rightarrow 2\cdot EB=BC\Rightarrow BC=2\cdot 16 cm\Rightarrow BC=32 cm
In triunghiul ABC stim ca AC=BC, dar mai stim si ca m\left(\prec B\right)=60^{0}, deci obtinem ca triunghiul ABC este echilateral, adica AB=AC=BC=32 cm.
Deci stim baza mare, acum trebuie sa aflam baza mica,
Acum stim ca AB=AE+EB, de unde obtinem
16=AE+8\Rightarrow AE=32-16\Rightarrow AE=16 cm
Mai stim ca ADCE este dreptunghi si astfel AE=DC.
Deci DC=16cm si astfel am gasit si baza mica, adica 16 cm.
Acum aflam perimetrul triunghiului ABC, cu stim ca AB=AC=BC=32 cm obtinem
P_{\Delta ABC}=3\cdot l=3\cdot 32=96 cm.

Problema rezolvata linia mijlocie intr-un trapez