Linia mijlocie intr-un trapez

Dupa ce am discutat despre Linia mijlocie intr-un triunghi a venit vremea sa discuta si despre linia miljocie intr-un trapez. Dar mai intai sa definit notiunea de linie mijocie intr-un trapez.

Definitie: Segmentul care uneste mijloacele a doua laturi neparalele ale unui trapez se numeste linia mijlocie intr-un trapez.

Obsevati ca definitia de la linia mijlocie dintr-un triunghi se aseamana cu linia mijlocie intr-un trapez, diferenta o fac doar figurile geometrice si valoarea care o obtinem cand calculam linia mijlocie.
Care este linia mijlocie intr-un  trapez?
Teorema. Intr-un trapez linia mijlocie este paralela cu cele doua baze si masoara jumatate din suma celor doua baze.

Astfel stim ca ABCD trapez, EF linie mijlocie. Rezulta ca AB||EF||CD si ca EF=\frac{B+b}{2}=\frac{AB+CD}{2} unde AB este baza mare si CD- baza mica.

Teorema Intr-un trapez lungimea segmentului determinat de intersectiile liniei mijlocii cu diagonalele este egala cu jumatate din modului diferentei lungimilor bazei.
linia mijlocie intr-un trapez
ABCD trapez, EF linie mijlocie
AC\cap BD=\left\{O\right\}
Rezulta ca GH=\frac{|AB-CD|}{2}
Problema
1) In trapezul dreptunghic ABCD cu AB|| CD si AB>CD \left[AC\right]\equiv\left[BC\right], m\left(\prec B\right)=60^{0} se cunoaste lungimea segmentului care uneste mijloacele diagonalelor PQ= 8 cm. Aflati lungimile bazelor si perimetrul triunghiului ABC.
Ipoteza
ABCD trapez dreptunghic
AB|| CD, AB>CD
\left[AC\right]\equiv\left[BC\right], m\left(\prec B\right)=60^{0}
PQ=8 cm
Concluzie:
AB=?
CD=?
P_{\Delta ABC}=?
Demonstratie

Cum aplicam linia mijlocie intr-un triunghi Stim din ipoteza ca PQ= 8 cm

Conform teoremei de mai sus avem ca: PQ=\frac{AB-CD}{2}\Rightarrow AB-CD=16 cm\Rightarrow BE=16 cm, Deoarece stim ca AB=AE+EB\Rightarrow EB=AB-AE si cum AECD dreptunghi si AE=DC, astfel gasim si ca DC= 16 cm
Astfel am construit in triunghiul ABC inaltimea CE, stim ca unghiul B are 60^{0}, mai stim si ca unghiul E este de 90^{0}, si astfel gasim ca unghiul ECB este de 30^{0} si astfel aplicam teorema 30^{0}-60^{0}-90^{0}, astfel obtinem ca
EB=\frac{BC}{2}\Rightarrow 2\cdot EB=BC\Rightarrow BC=2\cdot 16 cm\Rightarrow BC=32 cm
In triunghiul ABC stim ca AC=BC, dar mai stim si ca m\left(\prec B\right)=60^{0}, deci obtinem ca triunghiul ABC este echilateral, adica AB=AC=BC=32 cm.
Deci stim baza mare, acum trebuie sa aflam baza mica,
Acum stim ca AB=AE+EB, de unde obtinem
16=AE+8\Rightarrow AE=32-16\Rightarrow AE=16 cm
Mai stim ca ADCE este dreptunghi si astfel AE=DC.
Deci DC=16cm si astfel am gasit si baza mica, adica 16 cm.
Acum aflam perimetrul triunghiului ABC, cu stim ca AB=AC=BC=32 cm obtinem
P_{\Delta ABC}=3\cdot l=3\cdot 32=96 cm.

Problema rezolvata linia mijlocie intr-un trapez

Linia mijlocie in triunghi

Linia mijlocie in triunghi joaca un rol important in rezolvarea problemelor.

Dupa cum bine stiti am invatat si in clasa a VI-a despre linia mijlocie intr-un triunghi. Astfel ne reamintim notiunea de linie mijlocie intr-un triunghi.

Definitie:  Se numeste linia mijlocie intr-un triunghi segmentul care uneste mijloacele a doua laturi ale unui triunghi.
Definim urmatoarele proprietati care ne ajuta sa rezolvam problemele:
Proprietati:
1. Linia mijlocie intr-un triunghi este paralela cu cea de-a treia latura.
2. Intr-un triunghi, lungimea liniei mijlocii este egala jumatate din lungimea celei de-a treia laturi.

Matematic scriem

cum folosim linia mijlocie intr-un triunghi
cum folosim linia mijlocie intr-un triunghi

\Delta ABC  \\ M\in AM, \left[AM\right]\equiv\left[MB\right]  \\ N\in AC, \left[AN\right]\equiv\left[NC\right]\Rightarrow \\MN||BC  \\ MN=\frac{1}{2}\cdot BC
Problema
1) In triunghiul dreptunghic ABC m\left(\prec a\right)=90^{0} si m\left(\prec C\right)=30^{0} se duce mediana AM, M\in \left(BC\right). Stiind ca BD\perp AM, D\in \left(AC\right) si CE\perp AM, E\in \left(AM\right) aratati ca:
ME=\frac{1}{3}AE si 4ME=BC
Demonstratie:

demonstrarea unor egalitati cu ajutorul liniei mijlocii
Stim inca din clasa a VI-a teorema Medianei (Intr-un triunghi dreptunghic mediana dusa din varful unghiului drept masoara jumatate din ipotenuza), deci in cazul nostru AM=\frac{1}{2}\cdot BC, dar in triunghiul ABC putem sa aplicam Teorema 30^{0}-60^{0}-90^{0}, deci AB=\frac{1}{2}\cdot BC

Deci din Teorema Medianei obtinem ca AM=BM, si cum in triunghiul ABM unghiul B este de 60^{0} obtinem ca triunghiul ABM este echilateral.

Notam cu \left\{O\right\}=BD\cap AM

Stim ca BO este inaltime in triunghiul echilateral ABC, rezulta deci cu proprietatea de la triunghiul echilateral ca BO este si mediana (intr-un triunghi echilateral medianele, mediatoarele, bisectoarele si inaltimile coincid) deci obtinem ca OA=OM.

Stim ca triunghiul MEC este dreptunghic in E, observam ca unghiul EMC este de 60 de grade si astfel obtinem ca unghiul ECM este de 30^{0} si astfel putem aplica  Teorema 30^{0}-60^{0}-90^{0}, deci ME=\frac{1}{2}\cdot MC

Observam ca triunghiul

\Delta BMO\equiv\Delta MEC

\left[BM\right]\equiv\left[MC\right]    \\ \prec BMO\equiv\prec CME    \\ \prec OBM\equiv \prec ECM

Rezulta deci cu cazul U.L.U ca triunghiurile sunt congruente deci obtinem ca

OM=ME si astfel ME=\frac{1}{2}\cdot AM

Stim ca

ME=\frac{1}{2}MC\Rightarrow 2ME=MC    \\ ME=\frac{1}{2}AM

Daca adunam cele doua relatii obtinem:

2ME=\frac{1}{2}\left(MC+AM\right)\Rightarrow 2ME=\frac{1}{2}\left(2ME+AM\right)\Rightarrow    4ME=2ME+AM\Rightarrow 4ME-2ME=AM\Rightarrow 2ME=AM\Rightarrow 2ME=AE-ME\Rightarrow 3ME=AE\Rightarrow ME=\frac{AE}{3}
Observatie: Am scris AE=AM+ME de aici am obtinut AM=AE-ME

Acum sa aratam ca BC=4ME
Stim ca BC=BM+MC
Dar mai stim si ca BM=MC=AM
Deci scriem BC=AM+AM, obtinem BC=2AM (*)
Stim din figura ca AM=AE-ME (**)
Din ce am demonstrat mai sus stim ca ME=\frac{AE}{3}\Rightarrow AE=3ME
Daca inlocuim in (**) obtinem:
AM=3ME-ME\Rightarrow AM=2ME
Acum daca inlocuim in (*) obtinem BC=2AM=2\cdot 2ME=4ME ceea ce trebuia sa demonstram.

Pozitiile relative ale unei drepte fata de un plan

Dupa ce am invatat unghiul a doua drepte in plan, astazi o sa invatam despre pozitiile relative ale unei drepte fata de un plan, astfel:
– o dreapta poate avea un singur punct comun in comun cu un plan, deci dreapta intersecteaza planul sau inteapa planul

O dreapta poate avea un singur punct in comun cu un plan
– o dreapta poate avea in comun cu un plan doua puncte, in acest caz dreapta este inclusa in plan sau continuta in plan
Matematic scriem
A, B\in \alpha \Rightarrow d\subset \alpha
O dreapta poate avea in comun cu un plan doua puncte
– o dreapta poate sa nu aiba nici un punct in comun cu un plan, in acest caza dreapta este paralele cu planul
dreapta nu are nici un punct cu un plan
Matematic scriem
<br /> d\cap\alpha=\Phi<br /> \\d||\alpha</p> <p>
Enuntam o teorema care ne ajuta la rezolvarea problemelor
Teorema. O dreapta paralela cu o dreapta dintr-un plan este paralela cu planul sau continuta in plan.
Rezolvam cateva probleme care ne ajuta sa intelegem mai bine notiunile prezentate mai sus.
1) In cubul ABCDA`B`C`D` precizati pozitia dreptei:
a) B`C` fata de planul (A`BC)
b) AA` fata de planul (ABB`)
c) BD fata de planul (BCD)

probleme rezolvate cub
a) Dreapta B`C`|| cu BC
<br /> BC\subset (ABC) \Rightarrow B`C`|| (ABC)<br />
Obsevam ca dreapta B`C` este paralela cu dreapta BC care este inclusa in planul (ABC), deci dreapta B`C` este paralela cu planul (ABC), conform teoremei enuntate mai sus si din faptul ca dreapta noastra nu are nici un punct in comun cu planul (ABC).
b) AA` fata de planul (ABB`)

Ddreapta paralela cu un plan, probleme rezolvate
AA`||BB` Cum  BB`\subset (ABB`) rezulta ca dreapta este inclusa in planul (ABB`), conform teoremei de mai sus, dreapta poate sa fie paralela cu planul sau continuta in el .
 BB`|| (ABB`)
c) BD fata de planul (BCD)
Dreapta este inclusa in plan probleme rezolvate
 BD\subset (BCD) Dreapta are doua puncte in comun cu planul BCD, punctele B, D sunt comune cu planul BCD, si conform definitiei o dreapta care are doua puncte in comun cu un plan este inclusa in plan, deci BD inclusa in planul BCD.

2) In tetraedrul ABCD se noteaza cu M mijlocul muchiei AD si cu N mijlocul muchiei AC. Stabiliti pozitia dreptei MN fata de planul (BCD)

probleme rezolvate pozitia unei drepte intr-un tetraedru
ABCD tetraedru
M mijlocul lui AD, AM=MD
N mijlocul lui AC, AN=NC
Cl: Pozitia dreptei MN fata de planul BCD
Dem:
cum m este mijlocul lui AD si N mijlocul lui Ac, rezulta ca MN este linie mijlocie (linia mijlocie intr–un triunghi este segmentul care uneste mijlocul a doua laturi neparalele, iar teorema care am invatat-o in clasa a VI-a ne spunea ca linia mijlocie intr-un triughi este paralela cu cea de-a treia latura si jumatate din acesta ) in triunghiul ACD, deci paralela cu CD, cum CD este inclusa in planul BCD, rezulta ca dreapta MN este paralela cu planul BCD

D E LINIE MIJLOCIE IN TRIUNGHIUL ISOSCEL

Recapitulare clasa a VII-a Proprietatile triunghiului

Un rol important in clasa a VII-a o sa-l joace proprietatile triunghiului. Poate ati auzit ca ca anul acesta o sa invatati Teorema lui Pitagora, Teorema inaltimii, Teorema catetei. Ca sa putem intelege aceste trei teoreme trebuie sa stim proprietatile triunghiului. Incepem prin a ne reaminti cum se rezolva problemele si teoria pe care o folosim o sa o enuntam.
1) In triunghiul ABC isoscel de baza BC, D mijlocul laturii AC, E mijlocul laturii AB , iar DE=12 cm si perimetrul triunghiului ABC este egal cu 88 cm.
Calculati masura laturilor congruente ale triunghiului isoscel ABC.
Ip:
<br /> \Delta ABC isoscel AB=AC
BC baza
 D\in AC a.i AD=DC
E\in AB a.i AE=EB
 DE=12 cm
P_{\Delta ABC}=88 cm
Cz:
<br /> AB=?; AC=?<br />
Dem:D E LINIE MIJLOCIE IN TRIUNGHIUL ISOSCEL
<br /> P_{\Delta ABC}=88 cm
 AB+AC+BC=88 cm
\\DE– linie mijlocie, atunci
 DE=\frac{1}{2}\cdot BC \Rightarrow 12 cm =\frac{1}{2}BC \Rightarrow BC=24 cm.
 AB+AC+24=88 cm \Rightarrow AB+AC=88-24\Rightarrow AB+AC=64 cm<br />
Cum <br /> AB=AC\Rightarrow AB=AC=\frac{1}{2}\cdot 64\Rightarrow AB=AC=32 cm<br />
Important la problemele de geometrie sunt datele problemei pe care trebuie sa le inteledem deoarece o sa ne ajute la rezolvarea problemei.
De asemenea si figura este foarte important sa fie realizata corect.
In cazul nostru de fata stim ca D este mijlocul lui AC, iar E mijlocul lui AB.
Astfel daca ne reamintim din clasa a VI-a definitia liniei mijlocii(segmentul care uneste mijloacele a doua laturi ale uni triunghi se numeste linie mijlocie) si teorema care am invatat-o ( Orice linie mijlocie a unui triunghi:
– este paralela cu latura care nu are nici un punct in comun cu ea
– are lungimea egala cu jumatate din lungimea laturii paralela cu ea ). Ce aici obtine lungimea laturii BC=24 cm.
Cum stim ca perimetrul oricarei figuri geometrice este egal cu suma tuturor laturilor, obtinem  AB+AC=64 cm.
Stim de cand am invatat proprietatile triunghiului isoscel ca AB=AC (triunghiul isoscel are doua laturi egale) si atunci 64:2=32, deci AB=AC=32 cm.