Marimi invers proportionale

Marimile direct proportionale, dar si marimile invers proportionale joaca un rol important in in viata de zi cu zi. Despre marimi direct proportionale am mai vorbit, pentu cei care nu isi mai amintesc click aici.

Astfel acum definim notiunea de marimi invers proportionale:

Definitie: doua marimi se numesc invers proportionale, daca atunci cand una creste (scade) de un numar de ori, atunci cealalta se micsoreaza (creste) de acelasi numar de ori.

Exemplu:
Numarul de muncitori si numarul de zile in care finalizeaza lucrarea.
astfel avem:
Numaru muncitori                                      Numar zile
8                                                                      6
16                                                                    3
4                                                                    12

Din tabelul de mai sus avem ca
\frac{8}{16}=\frac{3}{6}; \frac{16}{4}=\frac{12}{3}; \frac{8}{4}=\frac{12}{6}
cu ajutorul exemplului de mai sus obtinem:

Proprietatile marimilor invers proportionale:

Raportul a doua valori din prima marime este egala cu inversul raportului valorilor corespunzatoare din cealalta marime.

Produsul valorilor corespunzatoare din cele doua marimi este constant.

Definitie: Fiind date doua multimi

A=\left\{a_{1}, a_{2},...,a_{n}\right\} si B=\left\{b_{1}, b_{2},...,b_{n}\right\}, spunem ca intele elementele acestor multimi exista o dependenta invers proportionala (adica sunt invers proportionale), daca \frac{a_{1}}{\frac{1}{b_{1}}}=\frac{a_{2}}{\frac{1}{b_{2}}}=...=\frac{a_{n}}{\frac{1}{b_{n}}} sau a_{1}\cdot b_{1}=a_{2}\cdot b_{2}=...=a_{n}\cdot b_{n}.

Aplicatii:

1. Aflati numerele rationale pozitive a, b, c invers proportionale cu 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3} daca

10ab-10ac-bc=1,76

Solutie: Numerele \left\{a, b, c\right\} invers proportionale cu \left\{1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}\right\}, daca \frac{a}{\frac{1}{1}}=\frac{b}{\frac{1}{\frac{1}{2}}}=\frac{c}{\frac{1}{\frac{1}{3}}}=k

Ca sa ne fie mai usor le-am egalat cu k, si obtinem:

\frac{a}{\frac{1}{1}}=k\Rightarrow a=1\cdot k=k

Astfel obtinem si \frac{b}{\frac{1}{\frac{1}{2}}}=k\Rightarrow b=\frac{1}{\frac{1}{2}}\cdot k=2\cdot k

Dar si \frac{c}{\frac{1}{\frac{1}{3}}}=k\Rightarrow c=\frac{1}{\frac{1}{3}}\cdot k=3\cdot k

Mai stim si ca 10\cdot k\cdot 2k+10\cdot k\cdot 3k-2k\cdot 3k=1,76\Rightarrow 20k^{2}+30k^{2}-6k^{2}=1,76\Rightarrow 44k^{2}=1,76\Rightarrow k^{2}=1,76:44\Rightarrow k^{2}=0,04\Rightarrow k^{2}=\left(0,2\right)^{2}\Rightarrow k=0,2. Astfel obtinem : a=0,2

Acum aflam b=2\cdot k=2\cdot 0,2=0,4

Si c=3\cdot k=3\cdot 0,2=0,6

Asadar este foarte important sa intelegem notiunea de marime invers proportionala, cat si marimi direct proportionale, notiuni care sunt folositoare si in rezolvarea problemelor dein viata de zi cu zi.