Primitive si integrala nedefinita a unei functii

Dupa ce am invatat sa derivam dar si ce rol joaca derivata am trecut de clasa a XI a si a venit vremea sa stim sa gasim primitive dar si sa calculam integrala/integralele nedefinita/ nedefinite a unei functii/ unor functii.

Cei care nu ati inteles notiunea de derivata va va fi foarte greu sa intelegeti notiunea de primitiva, deoarece ele se afla in stransa legatura.

Astfel incepem prin a da definitia primitivei.

Definitie: Fie I\subset R un interval si f:I\rightarrow R, F:I\rightarrow R. Functia F se numeste primitiva a lui f daca:

– F este derivabila

F^{'}\left(x\right)=f\left(x\right), \forall x\in I.

Spunem ca o functie f admite primitive pe intervalul I daca exista o primitiva a functiei f.

Exemplu:

Fie functia f:R\rightarrow R, f\left(x\right)=x^{3}.Functia F:R\rightarrow R, F\left(x\right)=\frac{x^{4}}{4} este o primitiva a functiei f, deoarece F este derivabila  si F^{'}=f

Teorema: Fie I un interval si functia f:I\rightarrow R care admite primitive. Daca F_{1}, F_{2}:I\rightarrow R sunt doua primitive ale functie f, atunci exista c\in R astfel incat F_{1}\left(x\right)=F_{2}\left(x\right)+c,\forall x\in I.

Defintie: Fie I un interval si o functie f:I\rightarrow R care admite primitive.  Multimea tuturor primitivelor functiei f se noteaza \int f\left(x\right) dx si se citeste integrala nedefinita a functiei f.

Asadar \int f\left(x\right) dx=\left\{F:I\rightarrow R| F\;\; este\;\; primitiva\;\; a \;\; functie \;\; f\right\}

Observatii !

Exista functii care nu admit primitive.

Orice functie continua pe un interval admite primitive pe acel interval.

Toate functiile elementare (polinomiale, radicali, exponentiale, logaritmice, trigonometrice) sunt continue pe un interval din domeniul lor de defintie, deci admit primitive.

Reciproca enuntului de mai sus nu este adevarata. Adica exista functii  care admit primitive dar nu sunt continue.

Aplicatii:

1. Calculati urmatorarele integrale:

a)\int \frac{x^{3}-x^{2}-x-2}{x^{2}} dx, x>0

Ca sa calculam integrala de mai sus, mai intai rescriem functia:

\int\left(\frac{x^{3}}{x^{2}}-\frac{x^{2}}{x^{2}}+\frac{x}{x^{2}}-\frac{2}{x^{2}}\right)dx

Adica \int\frac{x^{3}}{x^{2}}dx-\int \frac{x^{2}}{x^{2}}dx-\int\frac{x}{x^{2}}dx-\int \frac{2}{x^{2}}dx

Observam ca putem sa efectuam la fiecare fractie anumite simplificari si integrala devine:

\int x dx-\int 1 dx-\int\frac{1}{x}dx-2\cdot \int\frac{1}{x^{2}}dx=

Acum ca sa calculam integralele obtinute folosim formula:

\int x^{n} dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C

Dar si formula \int\frac{1}{x}dx=\ln |x|+C, unde C este o constanta

\frac{x^{2}}{2}-x-\ln x-2\cdot\int x^{-2}dx=    \frac{x^{2}}{2}-x-\ln x-2\cdot\frac{x^{-2+1}}{-2+1}=\frac{x^{2}}{2}-x-\ln x-2\cdot\frac{x^{-1}}{-1}=\frac{x^{2}}{2}-x-\ln x+2\cdot\frac{1}{x}+C=\frac{x^{2}}{2}-x-\ln x+\frac{2}{x}+C

 

b) \int\frac{x^{2}}{x^{2}-1}dx, x<-1

Ca sa calculam integrala de mai sus scadem la numarator cifra 1 si adunam la fel cifra 1., astfel integrala devine \int\frac{x^{2}-1+1}{x^{2}-1}dx=\int\left(\frac{x^{2}-1}{x^{2}-1}+\frac{1}{x^{2}-1}\right)dx=\int\frac{x^{2}-1}{x^{2}-1}dx+\int\frac{1}{x^{2}-1}dx=\int 1dx+\int\frac{1}{x^{2}-1}dx

Iar ca sa calculam integrala nedefinta folosim formulele uzulae:

\int dx=x+C

Dar si \int\frac{dx}{x^{2}-a^{2}}=\frac{1}{2\cdot a}\ln|\frac{x-a}{x+a}|+C astfel integrala devine:

x+\frac{1}{2\cdot 1}\ln|\frac{x-1}{x+1}|+C=x+\frac{1}{2}\ln|\frac{x-1}{x+1}|+C

unde a=1.

\int\frac{1}{4x^{2}-9} dx, x>\frac{3}{2}

Ca sa calculam integrala nedefintia de mai sus

 

Mai intai rescriem numitorul 4x^{2}-9=2^{2}x^{2}-3^{2}=\left(2x\right)^{2}-3^{2}

Astfel integrala devine:

\int\frac{1}{\left(2x\right)^{2}-3^{2}} dx

Dar si  folosim un din formulele uzuale, adica stim ca \int\frac{1}{x^{2}-a^{2}}=\frac{1}{2\cdot a}\ln|\frac{x-a}{x+a}|

unde in cazul de mai sus x=2x si a=3

Astfel obtinem:

\int\frac{1}{\left(2x\right)^{2}-3^{2}} dx=\frac{1}{2\cdot 3}\ln|\frac{2x-3}{2x+3}|=\frac{1}{6}\ln|\frac{2x-3}{2x+3}|+C

Asadar important la primitive si integrala nedefintia a unei functii sa invatam integralele uzuale, dar si cum sa le calculam cu ajutorul anumitor artificii.

 

Subiecte Bacalaureat rezolvate la Analiza matematica

1. Se considera functia f:R^{*}\rightarrow R, f\left(x\right)=x^{3}+\frac{3}{x}

a) Sa se calculeze f^{'}\left(x\right),x\in R^{*}

b) Sa se calculeze \lim\limits_{x\to 1}{\frac{f\left(x\right)-f\left(1\right)}{x-1}}

c)  Sa se determine intervalele de monotonie ale functiei f.

Solutie

Calculam mai inati

a) f^{'}\left(x\right)=\left(x^{3}+\frac{3}{x}\right)^{'}=\left(x^{3}\right)^{'}+\left(\frac{3}{x}\right)^{'}=3x^{2}+\frac{3^{'}\cdot x-3\cdot x^{'} }{x^{2}}=3x^{2}+\frac{0-3\cdot 1}{x^{2}}=3x^{2}-\frac{3}{x^{2}}

b) Ca sa calculam limita de la b) trebuie sa stim ca de fapt acea limita este definitia derivatei functiei in punctul x=1, cum am calculat derivata stim ca

\lim\limits_{x\to 1}{\frac{f\left(x\right)-f\left(1\right)}{x-1}}=f^{'}\left(1\right)

Deci

f^{'}\left(1\right)=3\cdot 1^{2}-\frac{3}{1^{2}}=3-3=0

c) Acum ca sa aflam intervalele de monotonie rezolvam ecuatia:

f^{'}\left(x\right)=0\Rightarrow 3x^{2}-\frac{3}{x^{2}}=0\Rightarrow \frac{3x^{2}\cdot x^{2}-1\cdot 3}{x^{2}}=0\Rightarrow \frac{3x^{4}-3}{x^{2}}=0

Cum numitorul  este diferit de 0 (acest lucru se observa si din domeniul de definitie), este tot timpul pozitiv, ne ocupam de

numarator. astfel

3x^{4}-3=0\Rightarrow 3x^{4}=3\Rightarrow x^{4}=1

Iar solutiile reale sunt x=\pm 1

Acum intocmim tabelul de variatie:

çum aflam intervalele de monotonie ale functiilor

Astfel din tabelul de variatie al functiei rezulta ca

– f este crescatoare pe \left(-\infty, -1\right)\cup\left(1,+\infty\right) si

– f este descrescatoare pe \left(-1,0\right)\cup\left(0,1\right)

2) Se considera functia f:\left[0,1\right]\rightarrow R,f\left(x\right)=x\cdot\sqrt{2-x^{2}}

a) Sa se calculezevolumul corpului obtinut prin rotatie, in jurul axei Ox, a graficului functie f.

b) Sa se calculeze \int^{1}_{0}f\left(x\right)dx

c) Sa se calculeze \lim\limits_{x\to 0}{\frac{\int^{x}_{0}f\left(t\right)dt}{x^{2}}}

Solutie:

Calculam

V=\pi\int^{1}_{0}f^{2}\left(x\right) dx=\pi\int^{1}_{0}\left(x\sqrt{2-x^{2}}\right)^{2}=
\pi\int^{1}_{0}x^{2}\left(2-x^{2}\right)dx=\pi\int^{1}_{0}\left(2x^{2}-x^{4}\right) dx=
\pi\int^{1}_{0}2x^{2}dx-\pi\int^{1}_{0}x^{4}dx=\pi\cdot 2\int^{1}_{0}x^{2}-\pi\cdot \frac{x^{5}}{5}|^{1}_{0}=
2\cdot \pi\cdot\frac{x^{3}}{3}|^{1}_{0}-\left(\frac{1^{5}}{5}-\frac{0^{5}}{5}\right)=
\pi\left(2\cdot\left(\frac{1^{3}}{3}-\frac{0^{3}}{3}-\frac{1}{5}\right)\right)=
\pi\left(2\cdot\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)=
\pi\left(\frac{2}{3}-\frac{1}{5}\right)=\pi\cdot \frac{5\cdot 2-3\cdot 1}{15}=\pi\cdot \frac{10-3}{15}=\pi\ cdot\frac{7}{15}=\frac{7\pi}{15}

b) Calculam acum integrala

\int^{1}_{0}d\left(x\right)dx=\int^{1}_{0}x\sqrt{2-x^{2}}dx=

Ca sa rezolvam integrama de mai sus folosim metoda schimbarii de variabila astfel notam

2-x^{2}=t\Rightarrow -x^{2}=t-2\Rightarrow x^{2}=2-t\Rightarrow \left(x^{2}\right)^{2}dx=\left(2-t\right)^{'}dx\Rightarrow 2xdx=-1\cdot dt\Rightarrow xdx=-\frac{1}{2}dt

Acum ne ocupam de captele intervalului, astfel

Pentru

x=0\Rightarrow 2-0^{2}=t\Rightarrow t=2

Pentru

x=1\Rightarrow 2-1^{2}=t\Rightarrow 2-1=t\Rightarrow 1=t

Astfel integrala devine:

\int^{1}_{0}x\sqrt{2-x^{2}}dx=\int^{1}_{2}\sqrt{t}\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)dt=
\int^{1}_{2}t^{\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\right)}dt=
-\frac{1}{2}\int^{1}_{2}t^{\frac{1}{2}}dt=
-\frac{1}{2}\frac{t^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}|^{1}_{2}=
-\frac{1}{2}\cdot\frac{t^{\frac{1+2\cdot 1}{1}}}{\frac{1+2\cdot 1}{2}}|^{1}_{2}=-\frac{1}{2}\frac{t^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}|^{1}_{2}=
=-\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}^{(2}\cdot t^{\frac{3}{2}}|^{1}_{2}=
-\frac{1}{3}\cdot \sqrt{t^{3}}^{1}_{2}=-\frac{1}{3}\left(\sqrt{1^{3}}-\sqrt{2^{3}}\right)=
-\frac{1}{3}\left(1-2\sqrt{2}\right)=\frac{2\sqrt{2}-1}{3}

c) Acum sa calculam

\lim\limits_{x\to 0}{\frac{\int^{x}_{0}f\left(t\right) dt}{x^{2}}}

Calculam mai intai integrala

\int|^{x}_{0}f\left(t\right)dt=\int^{x}_{0}t\sqrt{2-t^{2}}dt

Astfel la fel ca mai sus rezolvam integrala prin metoda schimbarii de variabila, astfel

 

2-t^{2}=y\Rightarrow -2t dt=dy\Rightarrow tdt=\frac{-dy}{2}
Acum calculam capetele intervalului

t=0\Rightarrow 2-0^{2}=y\Rightarrow 2=y

Iar pentru

t=x\Rightarrow 2-x^{2}=y

Acum trecem la integrala

\int|^{x}_{0}f\left(t\right)dt=\int^{x}_{0}t\sqrt{2-t^{2}}dt=\int^{2-x^{2}}_{2}\sqrt{y}\left(\frac{-dy}{2}\right)=
-\frac{1}{2}\int^{2-x^{2}}_{2}y^{\frac{1}{2}}dt=-\frac{1}{2} \frac{y^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}|^{2-x^{2}}_{2}=
-\frac{1}{2}\frac{y^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}|^{2-x^{2}}_{2}=-\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\sqrt{y^{3}}|^{2-x^{2}}_{2}=
-\frac{1}{3}\left(\sqrt{\left(2-x^{2}\right)^{3}}-\sqrt{2^{3}}\right)=
-\frac{1}{3}\left(2-x^{2}\right)\sqrt{2-x^{2}}+\frac{1}{3}\cdot 2\sqrt{2}

Astfel acum daca revenim la limita obtinem ca

\lim\limits_{x\to 0}{\frac{-\frac{1}{3}\left(2-x^{2}\right)\sqrt{2-x^{2}}+\frac{1}{3}\cdot 2\sqrt{2}}{x^{2}}}=
-\frac{1}{3}\lim\limits_{x\to 0}{\frac{\left(2-x^{2}\right)\sqrt{2-x^{2}}- 2\sqrt{2}}{x^{2}}}=
Observam ca suntem in cazul de nedeterminare \frac{0}{0} si daca aplicam regulile lui L’Hospital obtinem

-\frac{1}{3}\lim\limits_{x\to 0}{\frac{-2x\cdot\sqrt{2-x^{2}}+\left(2-x^{2}\right)\cdot\frac{1}{2\sqrt{2-x^{2}}}\cdot\left(-2x\right)}{2x}}=
-\frac{1}{3}\lim\limits_{x\to 0}{\frac{-2x\left(\sqrt{2-x^{2}}+\frac{2-x^{2}}{2\sqrt{2-x^{2}}}\right)}{2x}}
-\frac{1}{3}\lim\limits_{x\to 0}{\frac{-1\left(\sqrt{2-x^{2}}+\frac{2-x^{2}}{2\sqrt{2-x^{2}}}\right)}{1}}=
\frac{1}{3}\lim\limits_{x\to 0}{\frac{2\sqrt{2-x^{2}}\cdot\sqrt{2-x^{2}}+2-x^{2}}{2\sqrt{2-x^{2}}}}

=\frac{1}{3}\lim\limits_{x\to 0}{\frac{2\left(2-x^{2}\right)+2-x^{2}}{2\sqrt{2-x^{2}}}}=
\frac{1}{3}\lim\limits_{x\to 0}{\frac{4-2x^{2}+2-x^{2}}{2\sqrt{2-x^{2}}}}=
\frac{1}{3}\lim\limits_{x\to 0}{\frac{6-3x^{2}}{2\sqrt{2-x^{2}}}}=
\frac{1}{3}\cdot\frac{6-3\cdot 0^{2}}{2\sqrt{2-0^{2}}}=\frac{1}{3}\cdot\frac{6}{2\sqrt{2}}=\frac{6}{6\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}