Probleme care se rezolva cu ajutorul ecuatiilor in multimea numerelor intregi

Dupa ce am invatat sa rezolvam ecuatii si inecuatii in multimea numerelor intregi, dupa cum bine stiti vine vremea sa invatam sa rezolvam si probleme care se rezolva cu ajutorul ecuatiilor in multimea numerelor intregi.
De rezolvat probleme cu ajutorul ecuatiilor am mai invatat si in clasele mai mici diferenta este ca atunci am invatt sa rezolvam in multimea numerelor naturale sau rationale pozitive, iar acum si pentru numerele intregi.
Dar mai intai sa ne reamintim cu rezolvam ecuatiile si incuatiile in Z.
Rezolvati ecuatiile:
a) -2x+3=-9\rightarrow -2x+3-3=-9-3\Rightarrow -2x=(-9)+(-3)\Rightarrow -2x=-12\Rightarrow x=(-12):(-3)\Rightarrow x=4
Obserervati ca mai intai am scazut din ambii membri termenul liber 3, iar apoi am efectua impartirea numerelor intregi.
b) Notiunea noua care am mai invatat-o la numere intregi a fost modulul sau valoarea absoluta a unui numar intreg, asadar rezolvam si o ecuatie cand avem si modulul unei expresii.
2|2x+1|=8|:2\Rightarrow |2x+1|=8:2\Rightarrow |2x+1|=4
Observati ca in ambii membrii am impartit printr-un 2.
Dar de la  definitia modulului stim ca
|x|=x,\;\;\; daca\;\; x>0, astfel ecuatia devine
2x+1=4\Rightarrow 2x=4-1\Rightarrow 2x=3\Rightarrow x=\frac{3}{2}, si observam ca ecuatia nu are solutii in Z
Dar mai stim si ca
|x|=-x,\;\; daca\;\; x<0
Astfel ecuatia devine
-(2x+1)=4\Rightarrow -2x-1=4\Rightarrow -2x=4+1\Rightarrow -2x=5\Rightarrow x=\frac{5}{-2}\Rightarrow x=-\frac{5}{2}, la fel ca si mai sus ecuatia nu are solutii in Z.
2.Rezolvati inecuatiile in Z.
a) -5x+10\leq -12x+31
Observam ca nu avem o ecuatie de forma ax+b\leq c, deci trebuie sa o aducem la forma de mai sus, astfel avem
-5x+12x\leq 31-10\Rightarrow 7x\leq 21\Rightarrow x\leq 21:7\rightarrow x\leq 3, asadar solutiile inecuatiei sunt
x\in\left\{3, 2, 1, 0,-1, -2,.....,...\right\}
Dar avem si ineciatii de forma
|2x-1|\leq 5
Ca sa rezolvam inecuatia in care apare si modulul trebue sa tinem cont de regula
|x|\leq a\Rightarrow -a\leq x\leq a
Asadar inecuatia devine
-5\leq 2x-1\leq 5|+1\Rightarrow -5+1\leq 2x-1+1\leq 5+1\Rightarrow -4\leq 2x\leq 6|:2\Rightarrow -4:2\leq 2x:2\leq 6:2\Rightarrow -2\leq x\leq 3
Asadar solutia inecuatiei se afla intere numere -2 si 3, adica
x\in\left\{3, 2, 1, 0, -1, -2\right\}
Dar avem si inecuatii de forma
|2x-5|\geq 7
Regula pentru rezolvarea inecuatiilor de aceasta forma este:
|x|\leq a\Rightarrow x\leq a, dar si -a\leq x
Astfel avem:
2x-5\leq 7\Rightarrow 2x\leq 7+5\Rightarrow 2x\leq 12\Rightarrow x\leq 12:2\Rightarrow x\leq 6, deci solutia inecuatiei este:x\in\left\{6, 5, 4, 3, 2,.....,\right\}
Dar mai avem de rezolvat si inecuatia:
-7\leq 2x-5\Rightarrow 2x-5\geq -7\Rightarrow 2x\geq -7+5\Rightarrow 2x\geq -2\Rightarrow x\geq -2:2\Rightarrow x\geq -1
Adica solutia inecuatiei este x\in\left\{-1, 0, 1, 2, 3,....,...\right\}
Iar daca efectuam inetersectia celor doua inecuatii
\left\{6, 5, 4, 3, 2,.....,\right\}\cap \left\{-1, 0, 1, 2, 3,....,...\right\}=\left\{6, 5, 4, 3, 2, 1,0, -1\right\}
Adica x\in Z\ \left\{ 5, 4, 3, 2, 1,0, \right\}
Dar reintorcandu-ne la cea ce noi vrem sa discutam
Adica probleme care se rezolvam cu ajutorul ecuatiilor in Z.
dupa cum am zis probleme care se rezolva cu ajutorul ecuatiilor am mai rezolvat, dar acum ne reamintim etapele pe care trebuie sa le parcurgem pentru a rezolva problemele cu ajutorul ecuatiilor in Z:
– alegem necunoscuta, de cele mai multe ori alegem ca necunoscuta ceea ce ni se cere in problema
– scriem datele problemei in functie de necunoscuta aleasa
– punem problema in ecuatie
– rezolvam ecuatia
– verificam si interpretam rezultatul
Exemplu
1. Daca inmultim un numar cu 3, iar rezultatul il adunam cu 40, obtinem -260. Aflati numarul.
Solutie:
notam cu x numarul necunoscut
formam ecuatia
3\cdot x+40=-260
dupa ce am forma ecuatia rezolvam ecuatia:
3x=-260-40\Rightarrow 3x=-300\Rightarrow x=-300:2\Rightarrow x=-10
Deci numarul gasit este -100.
2.Tatal, mama si fiul au impreuna 96 de ani.Tata este cu 8 ani mai in varsta decat mama, iar fiul este cu 20 de ani mai tanar decat mama. aflati cati ani are fiecare.

Solutie:

Notam cu

– x varsta tatalui

– y varsta mamei

– y varsta fiului

Astfel avem ecuatia x+y+z=96 Tatal, mama si fiul au impreuna 96 de ani.

x=8+y Tatal este cu 8 ani mai in vatsta

z=y-20

astfel boservati ca in cazul de fata avem trei ecuatii cu trei necunoscute, daca inlocuim in prima ecuatie obtinem

8+y+y+y-20=96\Rightarrow 3y-12=96\Rightarrow 3y=96+12\Rightarrow 3y=108\Rightarrow y=108:3\Rightarrow y=36

Deci am obtinut ca mama are 36 ani, iar tata

x=8+y\Rightarrow x=8+36\Rightarrow x=44, adica tata are 44 ani, iar fiul z=y-20\Rightarrow z=36-20\Rightarrow z=16

Asadar este foarte important sa cunoastem etapele pe care trebuie sa le parcurgem pentru a rezolva probleme, dar si sa stim sa rezolvam ecuatii in multimea numerelor intregi.

 

Calculul algebric Adunarea si scaderea numerelor reale

Adunarea si scaderea numerelor reale reprezentate prin litere

Stim inca de la operatii cu numere reale ca 2\sqrt{3}+3\sqrt{3}=\left(2+3\right)\cdot\sqrt{3}=5\sqrt{3}.
In general 3x+7x=x\left(3+7\right)=x\cdot 10=10x, unde x este un numar real. Numerele 3x si 7x se numesc termenii sumei, iar 3 si 7 poarta numele de coeficienti lui x.In suma 5x+2y, numerele reale 5 si 2 se numesc coeficienti, iar x si y reprezinta partea literala.

Astfel discutam despre :

Adunarea si scaderea numerelor reale  reprezentate prin litere

O suma algebrica este o suma in care unele numere reale sunt reprezentate prin litere.
Termenii asemenea ai unei sume algebrice sunt acei termeni in care apar aceleasi litere ridicate la aceleasi puteri.
Exemplu:
Efectuati:
a)2x+3x-7x+12x=x\left(2+3-7+12\right)=x\cdot 10=10x, am dat factor comun pe x iar apoi am efectuat suma respectiv diferenta numerelor.
b) \left(2x+3y\right)-\left(4x+5y\right)-\left(10-4y\right)
Mai intai desfintam parantezele si astfel obtinem:
2x+3y-4x-5y-10+4y=x\left(2-4\right)+y\left(-5+4\right)-10=-2\cdot x-1\cdot y-10=-2x-y-10

c) \left(4\sqrt{2}-2\sqrt{2}\right)x+\left(6\sqrt{2}-3\sqrt{2}\right)x-\left(8\sqrt{2}-\sqrt{2}\right)+3\sqrt{2}x=    2\sqrt{2}x+3\sqrt{2}x-7\sqrt{2}x+3\sqrt{2}x=\sqrt{2}x\left(2+3-7+6\right)=4\sqrt{2}x

In primul rand la exercitiul de mai sus am efectuat mai intai operatiile din paranteza, iar apoi am dat factor comun pe x\sqrt{2} pentru a efectua calculele.

d) \left(\frac{6}{\sqrt{2}}x-\frac{9}{\sqrt{3}}x\right)+\left(\frac{3}{\sqrt{18}}x+\frac{10}{\sqrt{75}}x\right)-\left(\frac{24}{2\sqrt{48}}x-\frac{12}{\sqrt{108}}x\right)=

\left(\frac{6\sqrt{2}}{2}^{(2}\cdot x-\frac{9\sqrt{3}}{3}^{(3}\cdot x\right)+\left(\frac{3\sqrt{18}}{18}x+\frac{10\sqrt{75}}{75}x\right)-\left(\frac{24\sqrt{48}}{2\cdot 48}x-\frac{12\sqrt{108}}{108}x\right)=

\left(3\sqrt{2}x-3\sqrt{3}x\right)+\left(\frac{3\cdot 3\sqrt{2}}{18}x+\frac{10\cdot 5\sqrt{3}}{75}x\right)-\left(\frac{24\cdot 4\sqrt{3}}{96}x-\frac{12\cdot 6\sqrt{3}}{108}x\right)=

3\sqrt{2}x-3\sqrt{3}x+\left(\frac{9\sqrt{2}}{18}^{(9}\cdot x+\frac{50\sqrt{3}}{75}^{(25}\cdot x\right)-\left(\frac{96\sqrt{3}}{96}^{(96}x-\frac{72\sqrt{3}}{108}x\right)=

3\sqrt{2}x-3\sqrt{3}x+\frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{2\sqrt{3}}{3}x-\sqrt{3}x+\frac{2\sqrt{3}}{3}x=

\left(3\sqrt{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2}x\right)+\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}x-\sqrt{3}x+\frac{2\sqrt{3}}{3}x-3\sqrt{3}x\right)=    \sqrt{2}x\left(3+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{3}x\left(\frac{2}{3}-1+\frac{2}{3}-3\right)=    \sqrt{2}x\left(\frac{2\cdot 3+1\cdot 1}{2}\right)+\sqrt{3}x\left(\frac{2+2}{3}-4\right)=\sqrt{2}x\frac{7}{2}+\sqrt{3}x\left(\frac{4}{3}-4\right)=\frac{7\sqrt{2}}{2}x+\sqrt{3}x\cdot\left(\frac{4-3\cdot 4}{3}\right)=\frac{7\sqrt{2}}{2}x+\sqrt{3}x\cdot\left(\frac{-8}{3}=\right)\frac{7\sqrt{2}}{2}x-\frac{8\sqrt{3}}{3}x.

Ca sa rezolvam exercitiul de mai sus, mai intai am rationalizat numitorii fiecarei fractii, dupa rationalizare am simplificat fiecare fractie unde s-a putut, dar am si scos si  factori de sub radical unde s-a putut. Apoi am efectuat calculele, adica am folosit adunarea si scaderea numerelor reale reprezentate prin litere.

e) 0,\left(3\right)x+1\frac{1}{3}x-\left[1,\left(3\right)x-\frac{2}{3}x\right]=

\frac{3}{9}^{(3}x+\frac{1\cdot 3+1}{3}x-\left(\frac{13-1}{9}x-\frac{2}{3}x\right)=

\frac{1}{3}x+\frac{4}{3}x-\left(\frac{12}{9}^{(3}x-\frac{2}{3}x\right)=

\frac{x}{3}+\frac{4x}{3}-\left(\frac{4}{3}x-\frac{2}{3}x\right)=

\frac{x}{3}+\frac{4x}{3}-\frac{4x}{3}+\frac{2x}{3}=\frac{1}{3}\left(x+4x-4x+2x\right)=\frac{1}{3}\cdot 3x=\frac{3x}{3}=x.

Ca sa rezolvam exercitiul de mai sus mai intai am transformat fractiile zecimale periodice mixte in fractii ordinarea, apoi am simplificat fiecare fractie ordinara obtinuta, apoi am efectuat adunarea si scaderea numerelor reale reprezentate prin litere.

2) Determinati valorile lui x, astfel incat numarul A sa fie natural, unde :

A=\sqrt{\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}}x+\sqrt{\left(3-\sqrt{3}\right)^{2}}x-\sqrt{\left(4-2\sqrt{3}\right)^{2}x}=    \left(2-\sqrt{3}\right)\cdot x+\left(3-\sqrt{3}\right)\cdot x-\left(4-2\sqrt{3}\right)\cdot x=    2x-\sqrt{3}x+3x-\sqrt{3}x-4x+2\sqrt{3}x=x\left(2-\sqrt{3}+3-\sqrt{3}-4+2\sqrt{3}\right)=x\left(1-2\sqrt{3}+2\sqrt{3}\right)=x\cdot 1=x

A\in N\Rightarrow x\in N, unde N-este multimea numerelor naturale.

 

Exercitii cu radicali Exercitii cu numere reale

Dupa ce am discutat despre numere reale, adica Radacina patrata a unui numar  natural patrat perfect, Modulul unui numar real, Reprezentarea pe axa a numerelor reale, Produsul radicalilor, Catul radicalilor, Introducerea factorilor sub radicali, Scoaterea factorilor de sub radicali, Operatii cu numere reale, Rationalizarea numitorilor unei fractii, Formule de calcul prescurtat si nu in ultimul rand Media geometrica adoua numere reale nenegative astazi o sa ne reaminitm cum se efectueaza aceste exercitii, adica o recapitulare a intregului capitol al Numerelo reale. Astfel prezentam Exercitii cu radicali

 

1. Rezultatul calculului \frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{3}{2\sqrt{3}}-\frac{5}{4\sqrt{3}} este …

Ca sa aflam rezultatul acestui calcul mi intai rationalizam numitorii dupa cum am invatat si astfel obtinem:

\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{3\sqrt{3}}{2\cdot 3}-\frac{5\sqrt{3}}{4\cdot 3}=\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{5\sqrt{3}}{12}=\frac{4\sqrt{3}+6\sqrt{3}-5\sqrt{3}}{12}=\frac{5\sqrt{3}}{12}

2) Calculand \sqrt{27}\left(\frac{4}{\sqrt{3}}-\frac{5\sqrt{3}}{3}\right) se obtine….

Solutie:

3\sqrt{3}\left(\frac{4\sqrt{3}}{3}-\frac{5\sqrt{3}}{3}\right)=3\sqrt{3}\left(\frac{4\sqrt{3}-5\sqrt{3}}{3}\right)=3\sqrt{3}\left(\frac{-sqrt{3}}{3}\right)=\sqrt{3}\cdot\left(-\sqrt{3}\right)=-3

Ca sa rezolvam exercitiul de mai sus, mai intai am scos factorii de sub radicali, iar apoi am rationalizat, am efectuat calculele si astfel am gasit rezultatul final, nu inainte de a simplifica pe unde am putut.

3. Rezultatul calculului \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{1+\sqrt{2}} este egal cu …
Solutie

Ca sa afla rezultatul calculului mai intai rationalizam numitorii, cu regula care am invatat-o la lectua Rationalizarea numitorilor

a sa afla rezultatul calculului mai intai rationalizam numitorii, cu regula care am invatat-o la lectua Rationalizarea numitorilor

\frac{\sqrt{3}-\sqrt{4}}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-\left(\sqrt{4}\right)^{2}}+\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\left(\sqrt{2}\right)^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}+\frac{1-\sqrt{2}}{1^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}}=

\frac{\sqrt{3}-2}{3-4}+\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2-3}+\frac{1-\sqrt{2}}{1-2}=\frac{\sqrt{3}-2}{-1}+\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{-1}+\frac{1-\sqrt{2}}{-1}=1

4. Daca x=\sqrt{\left(2-\sqrt{5}\right)^{2}}+|\sqrt{5}-3|=|2-\sqrt{5}|+|\sqrt{5}-3|=\sqrt{5}-2+3-\sqrt{5}=-2+3=1

Ca sa rezolvam exercitiul de mai sus trebuie sa tinem cont de anumite reguli, adica:

stim \sqrt{a^{2}}=|a|=a,\;\;\;daca\;\;\; a>0 si -a\;\;\;daca \;\;\;a<0 astfel in cazul nostru stim ca \sqrt{5}\approx 2, 236 deci mai mare decat 2 si astfel obtinem:

 

\sqrt{\left(2-\sqrt{5}\right)^{2}}=|2-\sqrt{5}|=-\left(2-\sqrt{5}\right)=-2+\sqrt{5}=\sqrt{5}-2

asemanator facem si pentru |\sqrt{5}-3|.

5. Daca x=\sqrt{\left(1-\sqrt{2}\right)^{2}}, y=\sqrt{\left(\sqrt{2}-3\right)^{2}} si z=2\sqrt{6}\left(\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}}-\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right), atunci x+y-z este….

Solutie:

Calculam mai intai

x=|1-\sqrt{2}|=-\left(1-\sqrt{2}\right)=\sqrt{2}-1, iar apoi

y=|\sqrt{2}-3|=-\left(\sqrt{2}-3\right)=3-\sqrt{2}, deoarece observam ca \sqrt{2}<3, \sqrt{2}\approx 2,141

iar

z= 2\sqrt{6}\left(\frac{\sqrt{3}\cdot 4\sqrt{3}-\sqrt{2}\cdot 3\sqrt{2}}{\sqrt{6}}\right)=2\sqrt{6}\cdot \frac{4\sqrt{9}-3\sqrt{4}}{\sqrt{6}}=2\sqrt{6}\cdot\frac{4\cdot 3-3\cdot 2}{\sqrt{6}}=2\sqrt{6}\cdot\frac{12-6}{\sqrt{6}}=2\sqrt{6}\cdot\frac{6}{\sqrt{6}}=2\cdot 6=12

Observam ca la exercitiul de mai sus mai intai in paranteza am adus la acelasi numitor comun (puteam sa si rationalizam, de obiecei alegem metoda care ni se pare mai usoara), am efectuat calculele din paranteza , iar apoi am efectuat produsul dintre numarul din fata parantezei si rezultatul din paranteza, nu inainte de a simplifica.

Acum calculam x+y-z=\sqrt{2}-1+3-\sqrt{2}-12=2-12=-10

6. Calculand \frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}+\frac{6}{\sqrt{3}}-\frac{5}{\sqrt{5}}, se obtine…

Solutie

\frac{2\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)}{\left(\sqrt{5}\right)^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}+\frac{6\sqrt{3}}{3}-\frac{5\sqrt{5}}{5}=    \frac{2\sqrt{5}+2\sqrt{3}}{5-3}+2\sqrt{3}-\sqrt{5}=\frac{2\sqrt{5}+2\sqrt{3}}{2}+2\sqrt{3}-\sqrt{5}=\frac{2\sqrt{5}+2\sqrt{3}+4\sqrt{3}-2\sqrt{5}}{2}=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}.

Observati  ca acum am rationalizat pare mai usor de calculat si gasim cam greu numitorul comun, iar apoi am efectuat calculele cu numere reale, adica am folosit regulile de calcul cu radicali si astfel am gasit rezultatul.

7. Daca a=\sqrt{\left(\sqrt{3}-3\right)^{2}} si b=\sqrt{\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}} atunci media aritmetica a lor este egal cu….

Solutie:

Mai intai calculam a=|\sqrt{3}-3|=-\left(\sqrt{3}-3\right)=3-\sqrt{3}, iar

b=|2+\sqrt{3}|=2+\sqrt{3}, astfel media aritmetica a celor doua numere este:

m_{a}=\frac{a+b}{2}=\frac{3-\sqrt{3}+2+\sqrt{3}}{2}=\frac{3+2}{2}=\frac{5}{2}.

8. Calculand

\left(\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}}-\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}\right)^{12}+\sqrt{\left(1-\sqrt{5}\right)^{2}}-|2-\sqrt{5}| se obtine…

Solutie:

\left(\frac{\sqrt{3}\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)}{3}-\frac{\sqrt{3}\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)}{\left(\sqrt{5}\right)^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}}\right)^{12}+|1-\sqrt{5}|-\left[-\left(2-\sqrt{5}\right)\right]=

\left(\frac{\sqrt{15}-\sqrt{6}}{3}-\frac{\sqrt{15}-\sqrt{6}}{5-2}\right)^{12}+\sqrt{5}-1-\left(-2+\sqrt{5}\right)=

\left(\frac{\sqrt{15}-\sqrt{6}}{3}-\frac{\sqrt{15}-\sqrt{6}}{3}\right)^{12}+\sqrt{5}-1+2-\sqrt{5}=\left(\frac{\sqrt{15}-\sqrt{6}-\sqrt{15}+\sqrt{6}}{3}\right)^{12}+1

Ca sa rezolvam exercitiul de mai sus  observam ca am rationalizat fractiile, iar apoi am efectuat calculele si astfel am observat ca ni s-au redus toti termenii, iar modulele le-am rezolvat cum am facut mai sus .Astfel am obtinut rezultatul 1.

9. Calculand \sqrt{4-\sqrt{7}}\cdot\sqrt{4+\sqrt{7}}-\sqrt{2-\sqrt{3}}\cdot\sqrt{2+\sqrt{3}} se obtine….

Solutie

\sqrt{\left(4-\sqrt{7}\right)\cdot\left(4+\sqrt{7}\right)}

-\sqrt{\left(2-\sqrt{3}\right)\cdot\left(2+\sqrt{3}\right)}=

\sqrt{4^{2}-\sqrt{7}^{2}}-\sqrt{2^{2}-\sqrt{3}^{2}}=    \sqrt{16-7}-\sqrt{4-3}=\sqrt{9}-\sqrt{1}=3-1=2

Ca sa rezolvam exercitiul de mai sus am folosit produsul radicalilor, dar si formulele de calcul prescurtat, adica formula a^{2}-b^{2}=\left(a-b\right)\cdot\left(a+ \right) precum si radacina patrata a unui numar natural.

Deci e important ca la exercitii cu radicali sa invatam toate notiunile care tin de acest capitol.

 

 

 

Multimea numerelor reale Modulul unui numar real Reprezentarea pe axa a numerelor reale Ordonari

Pana anul acesta  am discutat despre multimea numerelor  naturale, multimea numerelor rationale, multimea numerelor intregi, iar acum prezentam multimea numerelor reale, dar si multimea numerelor irationale. Incepem prin a ne reaminti despre multimile care le-am invatat:

N=\left\{0,1, 2, 3,..., \right\}– multimea numerelor naturale

Z=\left\{...,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...\right\}-multimea numerelor intregi

Q=\left\{\frac{a}{b}|a,b\in Z, b\neq 0\right\}– multimea numerelor rationale

Prezentam multimea numerelor irationale

Numerele care au partea zecimala infinita si neperiodica se numesc numere irationale.

Daca p\in N^{*} si p nu este patrat perfect, atunci \sqrt{p} este numar rational.

Exemple de numere irationale:

\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{10}

Reuniunea dintre multimea numerelor rationale si multimea numerelor irationale formeaza multimea numerelor reale.

Multimea numerelor reale se noteaza cu R si cu R-Q multimea numerelor irationale.

De retinut sirul de incluziuni:

N\subset Z\subset Q\subset R

Definit

R_{+}=\left\{x|x>0\right\}– multimea numerelor reale pozitive

 

R_{-}=\left\{x|x<0\right\}– multimea numerelor reale negative

Reuniunea dintr multimea numerelor reale pozitive si multimea numerelor reale negative formeaza multimea numerelor reale.

R=R_{+}\cup R_{-}

Modulul unui numar real
|x|=x\;\; daca\;\; x\geq 0  \\-x\;\; daca x<0
Proprietati:

|x|\geq 0 oricare ari fi x\in R

|-x|=|x|, oricare ar di \in R.

Reprezentarea numerelor reale

Numim axa a numerelor reale o dreapta, cu un punct fixat numit origine, un sens puzitiv si o unitate de masura.

Oricarui numar real ii corespunde un unic punct pe axa numerelor si reciproc

Exercitii:

1) Se considera multimea:

A=\left\{\sqrt{36}; \sqrt{5\frac{1}{4}}; \sqrt{7\frac{1}{9}}; \sqrt{3\frac{1}{16}}; \sqrt{0,\left(4\right)}; \sqrt{4\frac{1}{4}}; \sqrt{3^{2}\cdot 2^{6}}\right\}
Calculati A\cap N; A\cap Z; A\cap Q; A\cap \left(R-Q\right)
Aducem multimea A la forma cea mai simpla, adica calculam pe unde se poate radicali, patratele perfecte
A=\left\{6; \sqrt{\frac{21}{4}}; \sqrt{\frac{64}{9}}; \sqrt{\frac{49}{16}}; \sqrt{\frac{4}{9}}; \sqrt{\frac{17}{4}}; 3\cdot2^{3}\right\}
Deci multimea
A=\left\{6; \frac{\sqrt{21}}{2}; \frac{8}{3}; \frac{7}{4}; \frac{2}{3};\frac{\sqrt{17}}{2} ;24\right\}
A\cap N=\left\{6; 24\right\}
iar in multimea A gasim numerele astfel:
A\cap N=\left\{\sqrt{36}; \sqrt{2^{2}\cdot 2^{6}}\right\}.
A\cap Z=\left\{6; 24\right\}
iar in multimea A gasim numerele sub forma

A\cap Z=\left\{\sqrt{36}; \sqrt{2^{2}\cdot 2^{6}}\right\}
A\cap Q=\left\{6, \frac{8}{3}; \frac{7}{4}; \frac{2}{3}; 24\right\}
iar in multimea A gasim numerele sub forma
A\cap Q=\left\{\sqrt{36}; \sqrt{7\frac{1}{9}}; \sqrt{3\frac{1}{16}}; \sqrt{0,\left(4\right)}; \sqrt{3^{2}\cdot 2^{6}}\right\}
A\cap \left(R-Q\right)=\left\{\sqrt{5\frac{1}{4}}; \sqrt{4\frac{1}{4}}\right\}
Deci foarte important sa stim cum se definesc multimile, care sunt elementele fiecarei multimi, dar sa stim si operatiile cu multimi.

Operatii cu numere reale. Formule de calcul prescurtat

Inca din generala ati invatat sa efectuati operatii cu numere reale, dar sa si folositi formulele de calcul prescurtat. Incercam sa rezolvam exercitii astfel incat sa ne reamintim cum sa folosim numerele reale si formulele de calcul prescurtat.

1) Calculati:
a) <br /> \left(\frac{2}{5\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{12}}+\frac{3}{\sqrt{75}}\right):\left(2\sqrt{3}\right)^{-1}=\\</p> <p>\left(\frac{2\sqrt{3}}{15}-\frac{\sqrt{12}}{12}+\frac{3\sqrt{75}}{75}\right): \frac{1}{2\sqrt{3}}=\\<br /> \left(\frac{2\sqrt{3}}{15}-\frac{2\sqrt{3}}{12}+\frac{3\sqrt{75}}{75}\right)\cdot 2\sqrt{3}=\\<br /> \left(\frac{2\sqrt{3}}{15}-\frac{\sqrt{3}}{6}+\frac{5\sqrt{3}}{25}\right)\cdot 2\sqrt{3}=\\<br /> \left(\frac{2\sqrt{3}}{15}-\frac{\sqrt{3}}{6}+\frac{\sqrt{3}}{5}\right)\cdot 2\sqrt{3}=\\<br /> \left(\frac{2\cdot 2\sqrt{3}-5\cdot\sqrt{3}+6\cdot\sqrt{3}}{30}\right)\cdot 2\sqrt{3}=\\<br /> \left(\frac{4\sqrt{3}-5\sqrt{3}+6\sqrt{3}}{30}\right)\cdot 2\sqrt{3}=<br /> \left(\frac{5\sqrt{3}}{30}\right)\cdot 2\sqrt{3}=<br /> \frac{5\cdot 3}{15}=1.</p> <p>

Ca sa rezolvam exercitiul de mai sus am rationalizat numitorii, am scos factorii de sub radicali (stim ca \sqrt{a^{2}}=|a|, \sqrt{a^{2}\cdot b}=|a|\sqrt{b}), iar apoi am simplificat pe unde s-a putut, pentru a ne simplifica calculele, am adus la acelasi numitor, am efectuat calculele iar apoi am facut produsul celor doua rezultate, stim ca a^{-1}=\frac{1}{a} si de aici obtinem \left(2\sqrt{3}\right)^{-1}=\frac{1}{2\sqrt{3}},iar de la impartirea a doua numere rationale stim ca este egal cu produsul dintre primul si inversul celui de-al doilea, de unde obtinem rezultatul.

b) <br /> \sqrt{7-4\sqrt{3}}+\sqrt{4-2\sqrt{3}}+\sqrt{3-2\sqrt{2}}=\sqrt{\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}}+\sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}}+\sqrt{\left(1-\sqrt{2}\right)^{2}}=\\<br /> \left|2-\sqrt{3}\right|+\left|1-\sqrt{3}\right|+\left|1-\sqrt{2}\right|=2-\sqrt{3}+\sqrt{3}-1+\sqrt{2}-1=\sqrt{2}.<br />

Dupa cum stiti din clasa a VIII-a trebuie sa sa gasim o forma astfel incat sa putem sa scriem numerele de sub radical la patrat pentru ca stim ca  \sqrt{a}=\left|a\right|, astfel folosim formulele de calcul prescurtat, pentru a putea scoate factorii de sub radicali, iar apoi folosim definitia modulului, iar apoi restul este un simplu calcul.
c)</p> <p>2\sqrt{7-\sqrt{48}}+3\sqrt{43-30\sqrt{2}}+9\sqrt{25-4\sqrt{6}}=<br /> 2\sqrt{\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}}+3\sqrt{\left(5-3\sqrt{2}\right)^{2}}+9\sqrt{\left(1-2\sqrt{6}\right)^{2}}=<br /> \\2\left|2-\sqrt{3}\right|+3\left|3\sqrt{2}-5\right|+9\left|2\sqrt{6}-1\right|=<br /> \\2\left(2-\sqrt{3}\right)+3\left(5-3\sqrt{2}\right)+9\left(2\sqrt{6}-1\right)=<br /> 4-2\sqrt{3}+15-9\sqrt{2}+18\sqrt{6}-9=10-2\sqrt{3}-9\sqrt{2}+18\sqrt{6}

Ca sa rezolvam exercitiile ca si la exercitiul b) trebuie sa folosim formulele de calcul prescurtat ca sa scriem numarul de sub radical ca un numar la patrat. Observam cum sa-l scriem de exemplu la primul radical 7-\sqrt{48}, trebuie sa ne gandim ca suma la patrat a celor doua numere trebuie sa obtinem, iar produsul celor doua numere trebuie sa fie \sqrt{48}, cum stim ca folosim formula de calcul prescurtat (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, dar la noi 2 este introdus sub radical, iar daca scoatem factorul de sub radicalul \sqrt{48}=2\sqrt{12}, deci produsul dintre a si b este a\cdot b=\sqrt{12}, iar singura posibilitate este ca a=\sqrt{3}, b=\sqrt{4}=2.

Sau putem folosi formulaele
<br /> \sqrt{a+\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^{2}-b}}{2}}+\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^{2}-b}}{2}}<br /> \\\sqrt{a-\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^{2}-b}}{2}}-\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^{2}-b}}{2}}<br />

Formulele de mai sus se numesc formulele radicalilor compusi, si ne ajuta sa scriem radicali chiar daca necesita mai mult calcul.

Valoarea absoluta a unui numar rational, modulul unui numar rational, ordonarea numerelor rationale

Astazi o sa invatam despre valoarea absoluta a unui numar rational sau modulul unui numar rational si cum sa ordonam numerele rationale.
Astfel valarea absoluta a unui numar rational (modulul cum il stim) se noteaza astfel |x| si se defineste:
<br /> |x|=<br /> \\x,\;\; daca \;\; x>0<br /> \\0,\;\; daca \;\; x=0<br /> \\-x\;\; daca \;\; x<0<br />
Proprietatile numarului rational
<br /> |x|=0, daca si numai daca x=0
|x|\geq 0, pentru oricare  x\in Q
|x|=|-x|, pentru oricare  x\in Q
|xy|=|x|\cdot |y| , oricare  x, y\in Q

Ordonarea numerelor rationale
Dintre doua numere rationale diferite mai mare, este cel care este situat pe axa numereor la dreapta celuilalt.
a<b
Exp:
Ordonati crescator numerele
<br /> \\a=\frac{12}{5}<br /> \\b=\frac{12}{7}<br />
Reprezentam pe axa numerelor
Ordonarea numerelor rationale in exemple
sau le ordonam cum am invatat in clasa a VI-a daca numerele sunt pozitive, adica ne uitam la numitorul fractiilor daca avem acelasi numarator, iar daca impartim acelasi numarator la numitori diferiti si unul dintre numitori este mai mare si celalalt mai mic, atunci cel mai mare numar este cel care are numitorul mai mic (pentru ca il impartim la un numar mai mic).
Dintre doua numere rationale negative este mai mare cel care are modulul mai mic.
Exercitii
1) Scrieti in ordine crescatoare numerele:
<br /> -2,5; -7,3; 0; -1,5; +3,4; -2,8; +4,5; -5,3; -5,(8); +3,8(3); -8; -3\frac{1}{2}; 2\frac{1}{4}; 4; -\frac{3}{5}; \frac{6}{5}<br />
Ca sa ordonam numerele lucram fractiile:
<br /> \\-3\frac{1}{2}=-\frac{3\cdot 2+1}{2}=-\frac{7}{2}=-3,5<br />
transformat in fractie zecimala
<br /> \\2\frac{1}{4}=\frac{2\cdot 4+1}{4}=\frac{9}{4}=2,25<br /> \\-\frac{3}{5}=-0,6<br /> \\\frac{6}{5}=1,2<br />
am transformat fractiile ordinare in fractii zecimale.
Incepem prin a ordona crescator numerele:
<br /> -8< -7,3< -5,(8)< -5,8< -3\frac{1}{2}< -2,8< -2,5< -1,5< -\frac{3}{5}< 0< \frac{6}{5}< 2\frac{1}{4}< 3,4< 3,8(3)< 4< 4,5<br />
Daca le asezam pe axa numerelor rationale obsevam ca numerele rationale negative mai mari se duc spre ‘minus infinit’, iar cele pozitive se duc spre ‘plus infinit’. Si aplicam si faptul ca dintre doua numere rationale negative mai mare este cel care are valoarea absoluta (modulul) a numarului mai mica.
2) Aratati ca
<br /> \frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+...+\frac{1}{2011\cdot 2012}<1<br />
Incercam sa-l scriem fiecare fractie astfel incat sa ni se reduca anumiti termeni:
<br /> \frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+...+\frac{1}{2011\cdot 2012}=<br /> \\\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2011}-\frac{1}{2012}=<br /> \\\frac{1}{1}-\frac{1}{2012}=<br /> \\\frac{2012-1}{2012}=\frac{2011}{2012}<1<br />
fractia \frac{2011}{2012}=0,9.... deci mai mica decat 1
Fractie subunitara.