Multimea numerelor reale Modulul unui numar real Reprezentarea pe axa a numerelor reale Ordonari

Pana anul acesta  am discutat despre multimea numerelor  naturale, multimea numerelor rationale, multimea numerelor intregi, iar acum prezentam multimea numerelor reale, dar si multimea numerelor irationale. Incepem prin a ne reaminti despre multimile care le-am invatat:

N=\left\{0,1, 2, 3,..., \right\}– multimea numerelor naturale

Z=\left\{...,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...\right\}-multimea numerelor intregi

Q=\left\{\frac{a}{b}|a,b\in Z, b\neq 0\right\}– multimea numerelor rationale

Prezentam multimea numerelor irationale

Numerele care au partea zecimala infinita si neperiodica se numesc numere irationale.

Daca p\in N^{*} si p nu este patrat perfect, atunci \sqrt{p} este numar rational.

Exemple de numere irationale:

\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{10}

Reuniunea dintre multimea numerelor rationale si multimea numerelor irationale formeaza multimea numerelor reale.

Multimea numerelor reale se noteaza cu R si cu R-Q multimea numerelor irationale.

De retinut sirul de incluziuni:

N\subset Z\subset Q\subset R

Definit

R_{+}=\left\{x|x>0\right\}– multimea numerelor reale pozitive

 

R_{-}=\left\{x|x<0\right\}– multimea numerelor reale negative

Reuniunea dintr multimea numerelor reale pozitive si multimea numerelor reale negative formeaza multimea numerelor reale.

R=R_{+}\cup R_{-}

Modulul unui numar real
|x|=x\;\; daca\;\; x\geq 0  \\-x\;\; daca x<0
Proprietati:

|x|\geq 0 oricare ari fi x\in R

|-x|=|x|, oricare ar di \in R.

Reprezentarea numerelor reale

Numim axa a numerelor reale o dreapta, cu un punct fixat numit origine, un sens puzitiv si o unitate de masura.

Oricarui numar real ii corespunde un unic punct pe axa numerelor si reciproc

Exercitii:

1) Se considera multimea:

A=\left\{\sqrt{36}; \sqrt{5\frac{1}{4}}; \sqrt{7\frac{1}{9}}; \sqrt{3\frac{1}{16}}; \sqrt{0,\left(4\right)}; \sqrt{4\frac{1}{4}}; \sqrt{3^{2}\cdot 2^{6}}\right\}
Calculati A\cap N; A\cap Z; A\cap Q; A\cap \left(R-Q\right)
Aducem multimea A la forma cea mai simpla, adica calculam pe unde se poate radicali, patratele perfecte
A=\left\{6; \sqrt{\frac{21}{4}}; \sqrt{\frac{64}{9}}; \sqrt{\frac{49}{16}}; \sqrt{\frac{4}{9}}; \sqrt{\frac{17}{4}}; 3\cdot2^{3}\right\}
Deci multimea
A=\left\{6; \frac{\sqrt{21}}{2}; \frac{8}{3}; \frac{7}{4}; \frac{2}{3};\frac{\sqrt{17}}{2} ;24\right\}
A\cap N=\left\{6; 24\right\}
iar in multimea A gasim numerele astfel:
A\cap N=\left\{\sqrt{36}; \sqrt{2^{2}\cdot 2^{6}}\right\}.
A\cap Z=\left\{6; 24\right\}
iar in multimea A gasim numerele sub forma

A\cap Z=\left\{\sqrt{36}; \sqrt{2^{2}\cdot 2^{6}}\right\}
A\cap Q=\left\{6, \frac{8}{3}; \frac{7}{4}; \frac{2}{3}; 24\right\}
iar in multimea A gasim numerele sub forma
A\cap Q=\left\{\sqrt{36}; \sqrt{7\frac{1}{9}}; \sqrt{3\frac{1}{16}}; \sqrt{0,\left(4\right)}; \sqrt{3^{2}\cdot 2^{6}}\right\}
A\cap \left(R-Q\right)=\left\{\sqrt{5\frac{1}{4}}; \sqrt{4\frac{1}{4}}\right\}
Deci foarte important sa stim cum se definesc multimile, care sunt elementele fiecarei multimi, dar sa stim si operatiile cu multimi.

Scrierea si citirea numerelor naturale in sistemul de numeratie zecimal

Din clasa a IV-a va reamintiti scrierea si citirea numerelor naturale in sistemul de numeratie zecimal.
Scrierea numerelor folosita in clasele I-IV este o scriere care foloseste cifrele arabe, acestea sunt: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
Cand scriem un numar cifrele se pot repeta sau nu. Acest mod de scriere a unui numar natural se numeste scrierea in baza zece sau scrierea in sistem zecimal.
Un numar in baza zece de doua cifre se reprezinta prin scrierea \bar{ab}, unde ‘a’ si ‘b’ desemneaza cifre, nu tot timplul diferite, dar a\neq 0<br /> \\ \bar{ab}=10\cdot a+1\cdot b.
Exp:
13=1\cdot 10+3\cdot 1.
Un numar natural oarecare de trei cifre se reprezinta prin scrierea \bar{abc}=100\cdot a+10\cdot b+c\cdot 1, unde a,b,c cifre nu neaparat distincte a\neq 0.
Numerele naturale scrise in ordinea 0, 1, 2, 3, 4,...,9, 10, 11,... formeaza sirul numerelor naturale.
Pentru a intelege mai bine modul de rezolvare a exercitiilor care contin numere in baza zece o sa rezolvam cat mai multe:
Exercitii:
1) Determinati numarul natural de forma \bar{ab} scris in baza 10 pentru care:
 \bar{ab}=5a+3b\Rightarrow 10\cdot a+1\cdot b=5a+3b\Rightarrow 10a-5a=3b-bc 5a=2b,
deci a=2 si b=5, iar pentru a ne convinge ca am rezolvat corect facem proba:
\bar{25}=5\cdot 2+3\cdot 5\Rightarrow \bar{25}=10+15\Rightarrow \bar{25}=25.
Stim ca \bar{25}=2\cdot 10+1\cdot 5\Rightarrow \bar{25}=20+5\Rightarrow \bar{25}=25.
Stim asta din scrierea numerelor in baza 10 pe care am invatat-o mai sus.
2) Aflati cifra ‘a’ din sistemul zecimal care verifica egalitatea
\bar{aaa}+\bar{aa}+a=369
Solutie
\bar{aaa}+\bar{aa}+a=369
Calculand
\\\bar{aaa}=100\cdot a+10\cdot a+1\cdot a<br /> \\\bar{aa}=10\cdot a+1\cdot a
\bar{aaa}+\bar{aa}+a=369\Rightarrow<br /> 100a+10a+1\cdot a+10a+1\cdot a+a=369\Rightarrow<br /> 111a+12a=369\Rightarrow<br /> 123a=369\Rightarrow a=369:123\Rightarrow a=3
Iar daca inlocuim a in egalitate obtinem
333+33+3=366+3=369.
3) Aflati cifrele a,b,c (in baza 10) stiind ca: \bar{ab}+\bar{bc}+\bar{ca}=\bar{abc}
Solutie
Scriind toate numerele de mai sus din baza zece in sistemul zecimal obtinem:
10\cdot a+1\cdot b+10\cdot b+1\cdot c+10\cdot c+1\cdot a=100\cdot a+10\cdot b+1\cdot c<br /> \\10a+b+10b+c+10c+a=100a+10b+c<br /> \\11a+11b+11c=100a+10b+c<br /> \\11b+11c-10b-c=100a-11a<br /> \\b+10c=89a
Acum trebuie sa gasim numerele care verifica egalitatea.
Cum a\neq 0
luam a=1 obtinem
89\cdot 1=b+10c, pentru a ajunge la numarul  89\cdot 1 luam c=8 si obtinem 89\cdot 1=10\cdot 8 si deci b=9
Deci cel mai important este sa scriem numerele din baza zece corect.