Functii pare si functii impare Functii fara paritate Functii periodice

Dupa ce am invatat in clasa a VIII-a cum sa reprezentam graficul unei functii, acum o sa invatam sa calculam paritatea functiilor dar si periodicitatea functiilor.
Deci astazi o sa discutam despre :

Functii pare si functii impare

Functii fara paritate si Functii periodice

Incepem cu functiile pare

O multime A\subset R se numeste simetrica fata de originea axei reale daca oricare ari fi x\in A, atunci -x\in A.
Exemplu:
Multimile \left(-2,2\right) si \left(-2, 1\right]\cup\left[1,2\right) suntt simetrice fata de origine.
Fie A\subset R o multime simetrica fata de origine si o functie f: A\rightarrow R
-Functia f se numeste functie para daca f\left(-x\right)=f\left(x\right) pentru orice x\in A
-Functia f se numeste functie impara daca f\left(-x\right)=-f\left(x\right), pentru orice x\in A.
Observatie
– Daca o functie f:A\rightarrow R este para, atunci axa OY este axa de simetrie pentru graficul lui f.
– Daca o functie f:A\rightarrow R este impara, atunci originea O a sistemului de coordonate este centru de simetrie pentru graficul lui f.

Functii periodice

O functie f:D\rightarrow R, D\subset R se numeste periodica, daca exista T\neq 0, astfel incat x+T\in D si f\left(x+T\right)=f\left(x\right) oricare ar fi x\in D.

Observatie
Cea mai mica perioada pozitiva (daca acesta exista se numeste )perioada principala.
Exercitii
1) Studiati care din urmatoarele functii sunt pare, care sunt impare si care sunt fara paritate
a) f:R\rightarrow R^{*}, f\left(x\right)=\frac{1}{x}
Ca sa stidiem paritatea functiilor calculam
f\left(-x\right)=\frac{1}{-x}=-\frac{1}{x}=-f\left(x\right), deci functia f este impara.
b) f:R-\left\{\pm 3\right\}\rightarrow R, f\left(x\right)=\frac{x^{2}+1}{x^{2}-9}.
Pentru a afla paritatea functiei calculam
f\left(-x\right)=\frac{\left(-x\right)^{2}+1}{\left(-x\right)^{2}-3}=\frac{x^{2}+1}{x^{2}-9}=f\left(x\right)
Astfel obtinem f\left(-x\right)=f\left(x\right) si astfel functia f este para.
c) f:R-\left\{\pm 1\right\}\rightarrow R, f\left(x\right)=\frac{x}{x^{4}-1}
Calculam
f\left(-x\right)=\frac{-x}{\left(-x\right)^{4}-1}=\frac{-x}{x^{4}-1}=-f\left(x\right), deci impara.
d) f:R^{*}\rightarrow R,f\left(x\right)=\frac{x+2}{x}
Calculam
f\left(-x\right)=\frac{-x+2}{-x}=\frac{-x}{-x}+\frac{2}{-x}=\frac{1}{1}+\frac{-2}{x}=\frac{x-2}{x}, deci functia f nu este nici para nici impara.
2) Consideram functia f:R\rightarrow R,  f\left(x\right)=  \\1,\;\;\; daca\;\; x\in Q  \\-1\;\;\; daca\;\; x\in R-Q
si numerele a=\sqrt{5++2\sqrt{6}} si b=\sqrt{5-2\sqrt{6}}. Calculati:
a) f\left(a+b\right)
b) f\left(ab\right)
Calculam a si b ca sa vedem daca sunt rationale sau irationale
a=\sqrt{5+2\sqrt{6}}=\sqrt{\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)^{2}}=\sqrt{2}+\sqrt{3}
b=\sqrt{5-2\sqrt{6}}=\sqrt{\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)^{2}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}
a) f\left(a+b\right)=f\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)=f\left(2\sqrt{3}\right)=-1, deoarece x\in R-Q.
b) f\left(a\cdot b\right)=f\left(\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)\cdot\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)\right)=  f\left(\sqrt{3}^{2}-\sqrt{2}^{2}\right)=f\left(3-2\right)=f\left(1\right)=1, deoarece 1\in Q.

Momentan atat dar mai revenim in curand si cu alte explicatii despre functii pare si functii impare

Multimea numerelor reale Modulul unui numar real Reprezentarea pe axa a numerelor reale Ordonari

Pana anul acesta  am discutat despre multimea numerelor  naturale, multimea numerelor rationale, multimea numerelor intregi, iar acum prezentam multimea numerelor reale, dar si multimea numerelor irationale. Incepem prin a ne reaminti despre multimile care le-am invatat:

N=\left\{0,1, 2, 3,..., \right\}– multimea numerelor naturale

Z=\left\{...,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...\right\}-multimea numerelor intregi

Q=\left\{\frac{a}{b}|a,b\in Z, b\neq 0\right\}– multimea numerelor rationale

Prezentam multimea numerelor irationale

Numerele care au partea zecimala infinita si neperiodica se numesc numere irationale.

Daca p\in N^{*} si p nu este patrat perfect, atunci \sqrt{p} este numar rational.

Exemple de numere irationale:

\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{10}

Reuniunea dintre multimea numerelor rationale si multimea numerelor irationale formeaza multimea numerelor reale.

Multimea numerelor reale se noteaza cu R si cu R-Q multimea numerelor irationale.

De retinut sirul de incluziuni:

N\subset Z\subset Q\subset R

Definit

R_{+}=\left\{x|x>0\right\}– multimea numerelor reale pozitive

 

R_{-}=\left\{x|x<0\right\}– multimea numerelor reale negative

Reuniunea dintr multimea numerelor reale pozitive si multimea numerelor reale negative formeaza multimea numerelor reale.

R=R_{+}\cup R_{-}

Modulul unui numar real
|x|=x\;\; daca\;\; x\geq 0  \\-x\;\; daca x<0
Proprietati:

|x|\geq 0 oricare ari fi x\in R

|-x|=|x|, oricare ar di \in R.

Reprezentarea numerelor reale

Numim axa a numerelor reale o dreapta, cu un punct fixat numit origine, un sens puzitiv si o unitate de masura.

Oricarui numar real ii corespunde un unic punct pe axa numerelor si reciproc

Exercitii:

1) Se considera multimea:

A=\left\{\sqrt{36}; \sqrt{5\frac{1}{4}}; \sqrt{7\frac{1}{9}}; \sqrt{3\frac{1}{16}}; \sqrt{0,\left(4\right)}; \sqrt{4\frac{1}{4}}; \sqrt{3^{2}\cdot 2^{6}}\right\}
Calculati A\cap N; A\cap Z; A\cap Q; A\cap \left(R-Q\right)
Aducem multimea A la forma cea mai simpla, adica calculam pe unde se poate radicali, patratele perfecte
A=\left\{6; \sqrt{\frac{21}{4}}; \sqrt{\frac{64}{9}}; \sqrt{\frac{49}{16}}; \sqrt{\frac{4}{9}}; \sqrt{\frac{17}{4}}; 3\cdot2^{3}\right\}
Deci multimea
A=\left\{6; \frac{\sqrt{21}}{2}; \frac{8}{3}; \frac{7}{4}; \frac{2}{3};\frac{\sqrt{17}}{2} ;24\right\}
A\cap N=\left\{6; 24\right\}
iar in multimea A gasim numerele astfel:
A\cap N=\left\{\sqrt{36}; \sqrt{2^{2}\cdot 2^{6}}\right\}.
A\cap Z=\left\{6; 24\right\}
iar in multimea A gasim numerele sub forma

A\cap Z=\left\{\sqrt{36}; \sqrt{2^{2}\cdot 2^{6}}\right\}
A\cap Q=\left\{6, \frac{8}{3}; \frac{7}{4}; \frac{2}{3}; 24\right\}
iar in multimea A gasim numerele sub forma
A\cap Q=\left\{\sqrt{36}; \sqrt{7\frac{1}{9}}; \sqrt{3\frac{1}{16}}; \sqrt{0,\left(4\right)}; \sqrt{3^{2}\cdot 2^{6}}\right\}
A\cap \left(R-Q\right)=\left\{\sqrt{5\frac{1}{4}}; \sqrt{4\frac{1}{4}}\right\}
Deci foarte important sa stim cum se definesc multimile, care sunt elementele fiecarei multimi, dar sa stim si operatiile cu multimi.

Multimea numerelor rationale pozitive, transformarea fractiilor zecimale in fractii ordinare si transformarea fractiilor ordinare in fractii zecimale

Dupa multimea numerelor naturale care ati invatat-o in clasa a V-a astazi o sa invatam multimea numerelor rationale pozitive, dar si adunarea numerelor rationale pozitive.
Definim multimea numerelor rationale pozitive astfel:
Q_{+}=\left\{\frac{a}{b}|a,b\in N\;\; si\;\; b\neq 0\right\}
Deci Q_{+}= multimea numerelor rationale pozitive, dar daca va aduceti aminte am discutat si in clasa a V-a despre aceste numere.
Multimea numerelor rationale pozitive cuprinde:
-fractiile zecimale
-fractiile ordinare
Numerele rationale se reprezinta cu ajutorul fractiilor ordinare dar si cu ajutorul fractiilor zecimale finite sau fractiile zecimale infinite periodice.
Despre fractiile zecimale am invatat in clasa a V-a atunci cand transformam o fractie zecimala in fractie ordinara dar si invers, o fractie ordinara in fractie zecimala.

Astfel:
-fractiile zecimale finite sunt:0,1; 0,7; 5,8
-fractiile zecimle infinite periodice simple sunt: 0,(1); 0,(7); 3,(4)
-fractiile zecimale infinite periodice mixte sunt: 0,1(3); 7,3(5); 2,01(47)
Ca sa transformam o fractie periodica in fractie zecimala aplicam algoritmul de impartire a numaratorului la numitor.
Daca trebuie sa trasformam o fractie zecimala in fractie ordinara procedam astfel:
1) \overline{a_{0},a_{1}a_{2}...a_{n}}=\frac{\overline{a_{0},a_{1}a_{2}...a_{n}}}{10^{n}}
2) \overline{a_{0},\left(a_{1}a_{2}...a_{n}\right)}=a_{0}+\frac{\overline{a_{1}a_{2}...a_{n}}}{\underbrace{99...9}_{n cifre}}
3) \overline{a_{0},a_{1}a_{2}...a_{k}\left(a_{k+1}, a_{k+2}...a_{k+n}\right)}=a_{0}+\frac{\overline{a_{1}a_{2}...a_{k}a_{k+1}a_{k+2}...a_{k+n}}-\overline{a_{1}a_{2}...a_{k} } }{\underbrace{99...9}_{n cifre}\underbrace{00...0}_{n cifre}}
Prezentam mai multe exemple care sa ne reaminteasca cum transformam fractiile zecimale in fractii ordinare
Transformati fractiile zecimale in fractii ordinare ireductibile:
a) 5,\left(2\right)=5\frac{2}{9}=\frac{5\cdot 9+2}{9}=\frac{47}{9}
Am transformat fractia zecimala periodica simpla de mai sus in fractie ordinara asa cum spune si teoria de mai sus.
Sau mai usor 5,\left(2\right)=\frac{52-5}{9}=\frac{47}{9}, deci am scris fractia zecimala asa cum este si am scazut cifa din fata perioadei si am scris atatia de 9 cate cifre avem in perioada.
b) 3,\left(23\right)=\frac{323-3}{99}=\frac{320}{99}
Sau
3,\left(23\right)=3+\frac{23}{99}=\frac{3\cdot 99+23}{99}=\frac{297+23}{99}=\frac{320}{99}
Mai usoara pare a doua varianta pentru ca avem mai putin de calcul.
Ambele fractii de mai sus sunt fractii periodice simple ireductibile.

c) 0,1\left(32\right)=\frac{132-1}{990}=\frac{131}{990}
Fractia de mai sus este o fractie periodica mixta.
d) 21,3 \left(7\right)=\frac{2137-213}{90}=\frac{1924}{90}=\frac{962}{45}
Sau
21,3 \left(7\right)=21+\frac{37-3}{90}=21+\frac{33}{90}=\frac{21\cdot 90+34}{90}=\frac{1890+34}{90}=\frac{1924}{90}=\frac{962}{45} .
Fractia de mai sus este o fractie periodica mixta.
Am transformat-o in fractie ordinara prin aplicarea celei de-a treia reguli, iar rezultatul pe care l-am obtinut l-am simplificat prin 2 (adica am impartit si numitorul si numaratorul prin 2, aplicand criteriile de divizibilitate).

Inmultirea numerelor rationale

Despre inmultirea numerelor rationale am mai invatat, dar in cazul in care numerele erau rationale pozitive, astfel prin inmultirea a doua numere rationale obtinem tot un numar rational
Proprietatile inmultirii numerelor rationale:
-Asociativitatea a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c
-Comutativitatea a\cdot b=b\cdot a
-Elementul neutru este 1
-Este distributiva fata de adunare si scadere a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c,\\a\cdot(b-c)=a\cdot b-a\cdot c
Rezovam exercitii ca sa ne reamintim cum folosim numerele rationale
1) Calculati:
a)<br /> \left(-\frac{3}{10}+\frac{4}{15}\right)\cdot 2\frac{1}{2}=<br /> \left(\frac{3\cdot(-3)+2\cdot 4}{30}\right)\cdot\frac{2\cdot 2+1}{2}=
\left(\frac{-9+8}{30}\right)\cdot\frac{5}{2}=\left(\frac{-1}{30}\right)\cdot\frac{5}{2}=\frac{-5}{60}=-\frac{1}{12}<br />
In exercitiul de mai sus am folosit prima data adunarea numerelor rationale, am adus la acelasi numitor (am gasit numitorul comun), amplificat cele doua fractii, am efectuat calculele,folosind regulile de calcul cu numere intregi, iar apoi al efectuat inmultirea celor doua fractii, dupa care am simplificat prin 5
b) <br /> \left(-\frac{1}{10}+\frac{2}{15}\right)\cdot \left(-7\frac{1}{2}\right)+\left(-4\right)\cdot\left(-\frac{7}{20}+\frac{4}{15}\right)=\left(\frac{3\cdot(-1)+2\cdot 2}{30}\right)\cdot\left(\frac{-15}{2}\right)+\left(-4\right)\cdot \left(\frac{3\cdot(-7)+4\cdot 4}{60}\right)\\=\frac{-3+4}{30}\cdot\left(\frac{-15}{2}\right)+\left(-4\right)\cdot \left(\frac{-21+16}{60}\right)=</p> <p>\frac{1}{30}\cdot\left(\frac{-15}{2}\right)+\left(-4\right)\cdot\left(\frac{-5}{60}\right)</p> <p>=\\\frac{-1}{4}+\left(-4\right)\cdot\left(\frac{-5}{60}\right)</p> <p>=\frac{-1}{4}+\frac{4}{12}=\frac{-1}{4}+\frac{1}{3}=\frac{-1\cdot 3+4\cdot 1}{12}=\frac{-3+4}{24}=\frac{1}{12}=\frac{1}{12}.</p> <p>
Ca sa rezolvam exercitiul de mai sus am efectuat prima data parantezele asa cum am invatat in clasele mai mici ca trebuie sa rezolvam parantezele prima data, dar puteam sa folusim si distributivitatea inmultirii fata de adunare, am introdus intregii in fractie in aceiasi etapa, iar apoi am efectuat produsul dintre fractia obtinuta si cealalta in care am introdus intregul, iar apoi am adus din nou la acelasi numitor cele doua fractii obtinute si le-am calculat, pe unde am putut am simplificat pentru a ne simplifica calculele.
c) <br /> \left(-1\frac{1}{8}\right)\cdot\left(-0,(24)\right)\cdot\left(-\frac{11}{3}\right)-\left(-0,(5)\right)\cdot\left(-\frac{6}{7}\right)\cdot\left(-\frac{14}{5}\right)=\\<br /> \left(\frac{-9}{8}\right)\cdot\left(-\frac{24}{99}\right)\cdot\left(-\frac{11}{3}\right)-\left(-\frac{5}{9}\right)\cdot\left(-\frac{6}{7}\right)\cdot\left(-\frac{14}{15}\right)\\=</p> <p>\left(-\frac{9}{8}\right)\cdot\left(-\frac{8}{33}\right)\cdot\left(-\frac{11}{3}\right)-\left(-\frac{5}{3}\right)\cdot\left(-\frac{2}{1}\right)\cdot\left(-\frac{2}{15}\right)\\=</p> <p>\left(-\frac{3}{1}\right)\cdot\left(-\frac{1}{11}\right)\cdot\left(-\frac{11}{3}\right)-\left(-\frac{20}{45}\right)=</p> <p>\frac{-1}{1}+\frac{4}{9}=-1+\frac{4}{9}=\frac{9\cdot (-1)+4}{9}=\frac{-9+4}{9}=\frac{-5}{9}=-\frac{5}{9}</p> <p>

Numere reale, Multimi de numere

Acum ca am trecut de Evaluarea initiala o sa invatam, de fapt o sa aprofundam, notiunea de numere reale.
Stim inca din clasa a VII-a ca N\subset Z\subset Q\subset R. Unde
N= multimea numerelor reale
Z= multimea numerelor intregi
Q= multimea numerelor rationale
R= multimea numerelor reale
Ca sa intelegem fiecare multime si ce elemente contine trebuie sa stim cum definim fiecare multime:
<br /> N=\left\{0; 1; 2; 3; ...; n...\right\}
Obs: N^{*} este multimea numerelor naturale fara zero si o definim ca:
N^{*}=\left\{1; 2; 3; 4; ...n;...\right\}.
Obsrevam ca  N^{*}\subset N.
Multimea numerelor intregi (Z) se defineste astfel:
Z=\left\{...;-n; ...; -2; -1; 0; 1; 2;...;n\right\}
La fel ca si la multimea numerelor naturale definim multimea numerelor intregi fara zero
Z^{*}=\left\{...; -n;...; -2; -1; 1; 2;...; n;...\right\}.
Astfel Z^{*}\subset Z, dar stim si ca  N\subset Z.
Multimea numerelor rationale (Q) se defineste astfel:
Q=\left\{\frac{a}{b}| a\in Z, b\in Z^{*}\right\}
Deoarece daca b=0, atunci fractia nu ar mai avea sens.
La fel cum exista N^{*}, Z^{*} asa exista si  Q^{*}=Q-{0} numita multimea numerelor rationale fara zero.
Multimea numerelor irationale ( R-Q ) este multimea numerelor care se scrie de obicei sub forma de radical.
Multimea numerelor reale(R) este reuniunea multimii numerelor rationale cu multimea numerelor irationale.
Exercitii:
1) Fie multimea  A=\left\{\frac{8}{-4}; \sqrt{0,(4)}; \frac{-15}{-3}; -\sqrt{12}; \sqrt{0,(2)}; \sqrt{4}; 3; \sqrt{5\frac{4}{9}}\right\}
Determinati multimile
 A\cap N; A\cap Z; A\cap Q; A\cap\left(R-Q\right); A-Z; A-Q; A-R
Astfel:
<br /> \\A\cap N=\left\{\frac{-15}{-3}; \sqrt{4}; 3\right\}
\\ A\cap Z=\left\{\frac{8}{-4}; \frac{-15}{-3}; +\sqrt{4}; 3\right\}
\\A\cap Q=\left\{\frac{8}{-4}; \frac{-15}{-3}; +\sqrt{4}; 3; \sqrt{0,(4)}; \sqrt{5\frac{4}{9}}\right\}
\\ A\cap\left(R-Q\right)= \left\{-\sqrt{12}; \sqrt{0,(2)}\right\}
\\A-Z=\left\{-\sqrt{12}; \sqrt{0,(4)}; \sqrt{0,(2)}; \sqrt{5\frac{4}{9}}\right\}
\\A-Q=\left\{\sqrt{12}; \sqrt{0,(2)}\right\}
\\ A-R=\oslash.
Ca sa vedem mai usor fiecare numar in ce multime se afla, incercam ca pe fiecare numar in parte sa-l lucram, adica sa-l aducem la forma cea mai simpla. De exemplu in exercitiul nostru:
\frac{8}{-4}=-2 daca simplificam prin 4
\sqrt{0,(4)}=\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}}=\frac{2}{9}, prima data transformam fractia zecimala periodica simpla in fractie ordianara si apoi folosim regulile de calcul ale radicalilor.
\sqrt{12}=2\sqrt{3}, am scos factorul (2) de sub radical
\sqrt{5\frac{4}{9}}=\sqrt{\frac{49}{9}}=\frac{7}{3}, introducem intregul in fractie, iar apoi extragem radicalul, dupa ce folosim regulile de calcul cu puteri.
Deci ca sa rezolvam acest tip de exercitiu pe langa faptul ca trebuie sa stim fiecare multime, cum o definim, trebuie sa stim si regulile de calcul cu radicali (scoaterea factorilor de sub radical, introducerea factorilor sub radical), introducerea intregilor in fractii, simplificarea unei fractii printr-un numar.

Numerele rationale Multimea numerelor rationale

Inca din clasa a V-a, si a VI-a ati invatat despre numerele rationale, doar pozitive, acum o sa invatam si despre multimea numerelor rationale negative, dar si multimea numerelor rationale. Ne reamintim ca in clasa a VI-a am invatat sa aducem doua fractii la acelasi numitor si astfel sa calculam mai usor fara sa le mai transformam in fractii zecimale. Astfel o sa ne reamintim cum se calculeaza doua sau maai multe fraactii cu numitorii diferiti:
Exemplu:
a) \frac{1}{2}+\frac{3}{4}=\frac{2\cdot 1+1\cdot 3}{4}=\frac{5}{4}
Astfel am gasit numitorul comun, care dupa cum bine va reamintiti se gaseste cel mai mic multiplu comun(c.m.m.m.c), adica se descompun numerele in produs de factori primi si se ia

Stiti ca numerele rationale le putem scrie sub forma unor fractii. Adica  \frac{a}{b}, iar daca ne aducem aminte din clasa a V-a \frac{a}{b}=a:b. Ne reamintim cum transformam o fractie ordinara in una zecimala si invers.
Din fractie ordinara in fractie zecimala imparteam numarul a la b, in ccazul de mai sus.
Exemplu
1) Transformati fractia ordinara in fractie zecimala
<br /> \frac{3}{4}=0,75
Adica am impartit numarul 3 la 4.
Multimea numerelor rationale pozitive o notam cu Q_{+}=\left\{ x | \exists a\in N^{*}, b\in N^{*}\;\;\; a.i \;\;\; x=\frac{a}{b} \right\} , unde  N^{*} dupa cum stiti este multimea numerelor naturale fara 0. Numerele a,b trebuie sa fie din multimea numerelor naturale fara zero.
Multimea numerelor rationale o notam cu Q= \left\{ x| \exists a \in Z, b\in Z^{*}\;\;\; a.i \;\;\; x=\frac{a}{b}\right\} , unde Z este multimea numerelor intregi, dupa cum bine stiti, adica contine si numerele pozitive dar si pe cele negative. Z=\left\{ -n,...,-3;-2;-1;0;1;2;3;...;n\right\} , iar Z^{*} reprezinta multimea numerelor intregi fara zero.
Dat fiind faptul ca am ne-am reamintit pana acum toate multimile pe care le-am invatat prezentam exercitii care ne ajuta sa intelegem mai bine notiunile pe care le-am prezentat:
1) Fie multimea
<br /> A=\left\{-\frac{2}{5};\frac{1}{2}; -\frac{2}{3}; -0,6; 0,(3); -7; \frac{1}{0,(3)}; \frac{1}{0,25}; -\frac{16}{8}; \frac{12}{2}; (-2)^{4}\right\}<br />
Calculati
<br /> \\ a) A\cap N
\\ b) A\cap Z
\\ c) A\cap Q\
Astfel
<br /> \\A\cap N =\left\{\frac{1}{0,(3)}; \frac{1}{0,25}; \frac{12}{2}; (-2)^{4}\right\}
\\A\cap Z =\left\{-7; \frac{1}{0,(3)}; \frac{1}{0,25}; -\frac{16}{8}; \frac{12}{2}; (-2)^{4}\right\}<br /> \\A\cap Q=\left\{ -\frac{2}{5}; \frac{1}{2}; 0,(3);-0,6;-7; -\frac{2}{3};\frac{1}{0,25}; \frac{1}{0,(3)}; -\frac{16}{8}; \frac{12}{2}; (-2)^{4} \right\} .
Obsevam ca multimea numrelor rationale contine si numerele intregi, si numerele naturale, dar si numerele rationale pozitive si negative.