Functii pare si functii impare Functii fara paritate Functii periodice

Dupa ce am invatat in clasa a VIII-a cum sa reprezentam graficul unei functii, acum o sa invatam sa calculam paritatea functiilor dar si periodicitatea functiilor.
Deci astazi o sa discutam despre :

Functii pare si functii impare

Functii fara paritate si Functii periodice

Incepem cu functiile pare

O multime A\subset R se numeste simetrica fata de originea axei reale daca oricare ari fi x\in A, atunci -x\in A.
Exemplu:
Multimile \left(-2,2\right) si \left(-2, 1\right]\cup\left[1,2\right) suntt simetrice fata de origine.
Fie A\subset R o multime simetrica fata de origine si o functie f: A\rightarrow R
-Functia f se numeste functie para daca f\left(-x\right)=f\left(x\right) pentru orice x\in A
-Functia f se numeste functie impara daca f\left(-x\right)=-f\left(x\right), pentru orice x\in A.
Observatie
– Daca o functie f:A\rightarrow R este para, atunci axa OY este axa de simetrie pentru graficul lui f.
– Daca o functie f:A\rightarrow R este impara, atunci originea O a sistemului de coordonate este centru de simetrie pentru graficul lui f.

Functii periodice

O functie f:D\rightarrow R, D\subset R se numeste periodica, daca exista T\neq 0, astfel incat x+T\in D si f\left(x+T\right)=f\left(x\right) oricare ar fi x\in D.

Observatie
Cea mai mica perioada pozitiva (daca acesta exista se numeste )perioada principala.
Exercitii
1) Studiati care din urmatoarele functii sunt pare, care sunt impare si care sunt fara paritate
a) f:R\rightarrow R^{*}, f\left(x\right)=\frac{1}{x}
Ca sa stidiem paritatea functiilor calculam
f\left(-x\right)=\frac{1}{-x}=-\frac{1}{x}=-f\left(x\right), deci functia f este impara.
b) f:R-\left\{\pm 3\right\}\rightarrow R, f\left(x\right)=\frac{x^{2}+1}{x^{2}-9}.
Pentru a afla paritatea functiei calculam
f\left(-x\right)=\frac{\left(-x\right)^{2}+1}{\left(-x\right)^{2}-3}=\frac{x^{2}+1}{x^{2}-9}=f\left(x\right)
Astfel obtinem f\left(-x\right)=f\left(x\right) si astfel functia f este para.
c) f:R-\left\{\pm 1\right\}\rightarrow R, f\left(x\right)=\frac{x}{x^{4}-1}
Calculam
f\left(-x\right)=\frac{-x}{\left(-x\right)^{4}-1}=\frac{-x}{x^{4}-1}=-f\left(x\right), deci impara.
d) f:R^{*}\rightarrow R,f\left(x\right)=\frac{x+2}{x}
Calculam
f\left(-x\right)=\frac{-x+2}{-x}=\frac{-x}{-x}+\frac{2}{-x}=\frac{1}{1}+\frac{-2}{x}=\frac{x-2}{x}, deci functia f nu este nici para nici impara.
2) Consideram functia f:R\rightarrow R,  f\left(x\right)=  \\1,\;\;\; daca\;\; x\in Q  \\-1\;\;\; daca\;\; x\in R-Q
si numerele a=\sqrt{5++2\sqrt{6}} si b=\sqrt{5-2\sqrt{6}}. Calculati:
a) f\left(a+b\right)
b) f\left(ab\right)
Calculam a si b ca sa vedem daca sunt rationale sau irationale
a=\sqrt{5+2\sqrt{6}}=\sqrt{\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)^{2}}=\sqrt{2}+\sqrt{3}
b=\sqrt{5-2\sqrt{6}}=\sqrt{\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)^{2}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}
a) f\left(a+b\right)=f\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)=f\left(2\sqrt{3}\right)=-1, deoarece x\in R-Q.
b) f\left(a\cdot b\right)=f\left(\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)\cdot\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)\right)=  f\left(\sqrt{3}^{2}-\sqrt{2}^{2}\right)=f\left(3-2\right)=f\left(1\right)=1, deoarece 1\in Q.

Momentan atat dar mai revenim in curand si cu alte explicatii despre functii pare si functii impare

Multimea numerelor reale Modulul unui numar real Reprezentarea pe axa a numerelor reale Ordonari

Pana anul acesta  am discutat despre multimea numerelor  naturale, multimea numerelor rationale, multimea numerelor intregi, iar acum prezentam multimea numerelor reale, dar si multimea numerelor irationale. Incepem prin a ne reaminti despre multimile care le-am invatat:

N=\left\{0,1, 2, 3,..., \right\}– multimea numerelor naturale

Z=\left\{...,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...\right\}-multimea numerelor intregi

Q=\left\{\frac{a}{b}|a,b\in Z, b\neq 0\right\}– multimea numerelor rationale

Prezentam multimea numerelor irationale

Numerele care au partea zecimala infinita si neperiodica se numesc numere irationale.

Daca p\in N^{*} si p nu este patrat perfect, atunci \sqrt{p} este numar rational.

Exemple de numere irationale:

\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{10}

Reuniunea dintre multimea numerelor rationale si multimea numerelor irationale formeaza multimea numerelor reale.

Multimea numerelor reale se noteaza cu R si cu R-Q multimea numerelor irationale.

De retinut sirul de incluziuni:

N\subset Z\subset Q\subset R

Definit

R_{+}=\left\{x|x>0\right\}– multimea numerelor reale pozitive

 

R_{-}=\left\{x|x<0\right\}– multimea numerelor reale negative

Reuniunea dintr multimea numerelor reale pozitive si multimea numerelor reale negative formeaza multimea numerelor reale.

R=R_{+}\cup R_{-}

Modulul unui numar real
|x|=x\;\; daca\;\; x\geq 0  \\-x\;\; daca x<0
Proprietati:

|x|\geq 0 oricare ari fi x\in R

|-x|=|x|, oricare ar di \in R.

Reprezentarea numerelor reale

Numim axa a numerelor reale o dreapta, cu un punct fixat numit origine, un sens puzitiv si o unitate de masura.

Oricarui numar real ii corespunde un unic punct pe axa numerelor si reciproc

Exercitii:

1) Se considera multimea:

A=\left\{\sqrt{36}; \sqrt{5\frac{1}{4}}; \sqrt{7\frac{1}{9}}; \sqrt{3\frac{1}{16}}; \sqrt{0,\left(4\right)}; \sqrt{4\frac{1}{4}}; \sqrt{3^{2}\cdot 2^{6}}\right\}
Calculati A\cap N; A\cap Z; A\cap Q; A\cap \left(R-Q\right)
Aducem multimea A la forma cea mai simpla, adica calculam pe unde se poate radicali, patratele perfecte
A=\left\{6; \sqrt{\frac{21}{4}}; \sqrt{\frac{64}{9}}; \sqrt{\frac{49}{16}}; \sqrt{\frac{4}{9}}; \sqrt{\frac{17}{4}}; 3\cdot2^{3}\right\}
Deci multimea
A=\left\{6; \frac{\sqrt{21}}{2}; \frac{8}{3}; \frac{7}{4}; \frac{2}{3};\frac{\sqrt{17}}{2} ;24\right\}
A\cap N=\left\{6; 24\right\}
iar in multimea A gasim numerele astfel:
A\cap N=\left\{\sqrt{36}; \sqrt{2^{2}\cdot 2^{6}}\right\}.
A\cap Z=\left\{6; 24\right\}
iar in multimea A gasim numerele sub forma

A\cap Z=\left\{\sqrt{36}; \sqrt{2^{2}\cdot 2^{6}}\right\}
A\cap Q=\left\{6, \frac{8}{3}; \frac{7}{4}; \frac{2}{3}; 24\right\}
iar in multimea A gasim numerele sub forma
A\cap Q=\left\{\sqrt{36}; \sqrt{7\frac{1}{9}}; \sqrt{3\frac{1}{16}}; \sqrt{0,\left(4\right)}; \sqrt{3^{2}\cdot 2^{6}}\right\}
A\cap \left(R-Q\right)=\left\{\sqrt{5\frac{1}{4}}; \sqrt{4\frac{1}{4}}\right\}
Deci foarte important sa stim cum se definesc multimile, care sunt elementele fiecarei multimi, dar sa stim si operatiile cu multimi.

Operatii cu intervale

Dupa ce am definit intervalele, acum o sa efectuam operatii cu intervale de numere reale. Cum efectuam exercitiile in care apar intervale? Intervalele fiind definite ca multimi, pastreaza toate proprietatile multimilor, adica reuniunea de la multimi se pastreaza si la intervale, dar acum o sa scriem sub forma de interval, acelasi lucru se intampla si pentru intersectie, luam partea comuna a celor doua sau trei intervale, exemplificam mai jos intersectia a doua intervale.

Rezolvam exercitii in care apar intervalele si care sunt folositoare si pentru Evaluarea Nationala

1) Efectuati:
a)  [-3,5)\cap (3,8]=(3,5)
Exercitii operatii cu intervale
Deoarece la fel ca si la multimi luam doar partea comuna a intervalelor (doar elementele comune), foarte important trebuie sa stim cum sunt definite intervalele marginite si intervalele nemarginite.

Iar daca vrem sa calculam reuniunea a doua intervale, de exemplu la exercitiul de mai sus
 [-3,5)\cup (3,8]=[-3, 8]

luam toate elementele din cele doua intervale, adica extremitatile.

b)  \left[-2, 5\right)\cap Z^{*}=\left\{-2, -1, 1, 2, 3, 4\right\}
Stim ca multimea numerelor intregi fara 0 (, Z^{*}) cuprinde elemente \left\{- \infty,...-3, -2, -1, 1, 2, 3,...,+ \infty\right\}, deci intersectia dintre intervalul nostru si multimea numerelor intregi este multimea de mai sus, deoarece nu mai are elementul 0 nu mai putem scrie intersectia ca interval.

2) Determinati A\cup B, A\cap B , daca:
  A=\left\{x|\left|2x-1\right|\leq 11\right\}
  B=\left\{x|\left|2x+1\right|<7\right\}
Ca sa aflam reuniunea, intersectia si diferenta dintre cele doua multimi mai intai trebuie sa vedem ce elemente are fiecare din ele, astfel pentru multimea A, luam modulul si-l calculam
 \left|2x-1\right|\leq 11

Adica  -11\leq 2x-1\leq 11 (+1)\Rightarrow -11+1\leq 2x-1+1 \leq 11+1\Rightarrow-10\leq 2x\leq 12|:2\\ \Rightarrow-10:2\leq 2x:2\leq 10:2\Rightarrow -5\leq x\leq 5, x\in\left[-5, 5\right]
Ca sa aflam intervalul dupa ce am scris modulul am folosit definitia modulului adica \left\{x\in R|\left|x\right|\leq a\right\}=[-a,a], iar pentru a ajunge numai la x prima data am scazut pe 1 din toata inegalitatea, iar apoi am impartit prin 2, de unde am obtinut pe x. Pentru multimea B
 \left|2x+1\right|<7\Rightarrow -7<2x+16 |:2\Rightarrow -4<x<3, x\in (-4, 3) Deoarece stim de la definitia modulului ca \left|x\right|=x, x>0
Astfel

 A\cap B=[-5,5]\cap (-4,3)= (-4,3)
  A\cup B=[-5,5]

Numere reale, Multimi de numere

Acum ca am trecut de Evaluarea initiala o sa invatam, de fapt o sa aprofundam, notiunea de numere reale.
Stim inca din clasa a VII-a ca N\subset Z\subset Q\subset R. Unde
N= multimea numerelor reale
Z= multimea numerelor intregi
Q= multimea numerelor rationale
R= multimea numerelor reale
Ca sa intelegem fiecare multime si ce elemente contine trebuie sa stim cum definim fiecare multime:
<br /> N=\left\{0; 1; 2; 3; ...; n...\right\}
Obs: N^{*} este multimea numerelor naturale fara zero si o definim ca:
N^{*}=\left\{1; 2; 3; 4; ...n;...\right\}.
Obsrevam ca  N^{*}\subset N.
Multimea numerelor intregi (Z) se defineste astfel:
Z=\left\{...;-n; ...; -2; -1; 0; 1; 2;...;n\right\}
La fel ca si la multimea numerelor naturale definim multimea numerelor intregi fara zero
Z^{*}=\left\{...; -n;...; -2; -1; 1; 2;...; n;...\right\}.
Astfel Z^{*}\subset Z, dar stim si ca  N\subset Z.
Multimea numerelor rationale (Q) se defineste astfel:
Q=\left\{\frac{a}{b}| a\in Z, b\in Z^{*}\right\}
Deoarece daca b=0, atunci fractia nu ar mai avea sens.
La fel cum exista N^{*}, Z^{*} asa exista si  Q^{*}=Q-{0} numita multimea numerelor rationale fara zero.
Multimea numerelor irationale ( R-Q ) este multimea numerelor care se scrie de obicei sub forma de radical.
Multimea numerelor reale(R) este reuniunea multimii numerelor rationale cu multimea numerelor irationale.
Exercitii:
1) Fie multimea  A=\left\{\frac{8}{-4}; \sqrt{0,(4)}; \frac{-15}{-3}; -\sqrt{12}; \sqrt{0,(2)}; \sqrt{4}; 3; \sqrt{5\frac{4}{9}}\right\}
Determinati multimile
 A\cap N; A\cap Z; A\cap Q; A\cap\left(R-Q\right); A-Z; A-Q; A-R
Astfel:
<br /> \\A\cap N=\left\{\frac{-15}{-3}; \sqrt{4}; 3\right\}
\\ A\cap Z=\left\{\frac{8}{-4}; \frac{-15}{-3}; +\sqrt{4}; 3\right\}
\\A\cap Q=\left\{\frac{8}{-4}; \frac{-15}{-3}; +\sqrt{4}; 3; \sqrt{0,(4)}; \sqrt{5\frac{4}{9}}\right\}
\\ A\cap\left(R-Q\right)= \left\{-\sqrt{12}; \sqrt{0,(2)}\right\}
\\A-Z=\left\{-\sqrt{12}; \sqrt{0,(4)}; \sqrt{0,(2)}; \sqrt{5\frac{4}{9}}\right\}
\\A-Q=\left\{\sqrt{12}; \sqrt{0,(2)}\right\}
\\ A-R=\oslash.
Ca sa vedem mai usor fiecare numar in ce multime se afla, incercam ca pe fiecare numar in parte sa-l lucram, adica sa-l aducem la forma cea mai simpla. De exemplu in exercitiul nostru:
\frac{8}{-4}=-2 daca simplificam prin 4
\sqrt{0,(4)}=\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}}=\frac{2}{9}, prima data transformam fractia zecimala periodica simpla in fractie ordianara si apoi folosim regulile de calcul ale radicalilor.
\sqrt{12}=2\sqrt{3}, am scos factorul (2) de sub radical
\sqrt{5\frac{4}{9}}=\sqrt{\frac{49}{9}}=\frac{7}{3}, introducem intregul in fractie, iar apoi extragem radicalul, dupa ce folosim regulile de calcul cu puteri.
Deci ca sa rezolvam acest tip de exercitiu pe langa faptul ca trebuie sa stim fiecare multime, cum o definim, trebuie sa stim si regulile de calcul cu radicali (scoaterea factorilor de sub radical, introducerea factorilor sub radical), introducerea intregilor in fractii, simplificarea unei fractii printr-un numar.