Operatii cu numere reale > Exercitii

Inainte de a efectua operatii cu numere reale trebuie sa stim care sunt numerele reale, notate R, este formata din reuniunea multimii numerelor rationale cu multimea numerelor irationale. In mod asemanator, R^{*}=R-\left\{0\right\}, adica avem sirul de incluziuni: N\subset Z\subset Q\subset R

Operatiile care putem sa le efectuam cu numerele reale sunt asemanatoare cu operatiile pe care le-am invatat pana acum, adica:

Adunarea numerelor reale

Scaderea numerelor reale

Inmultirea a doua numere reale

Impartirea a doua numere reale

Inversul unui numar real

Ridicarea la putere a numerelor reale

Dar si calculele cu radicali cat si regulile de calcul cu radicali.

In efectuarea operatiilor sus mentionate trebuie sa tinem cont de ordinea efectuarii operatiilor, adica:

-Mai intai efectuam operatiile de gradul III, adica ridicarea la putere a numerelor reale

-Apoi operatiile de gradul II, adica inmultirile si impartirile in ordinea in care apar

-Si nu in ultimul rand operatiile de gradul I, adunarile si scaderile in ordinea in care apar

Acum sa rezolvam cateva exercitii cu numere reale.

1. Efectuatii calculele:

a) (-7+5)\cdot\left(-16:4+12:3\right)

Ca sa rezolvam exercitiul de mai sus, mai intai efectuam operatia de adunare in prima paranteza dintre doua numere intregi folosind regulile de calcul, apoi efectuam impartirile in cea de-a doua paranteza, astfel obtinem:

(-2)\cdot\left(-4+4\right)=0

Dupa ce am efectuat impartirile am obtinut aceleasi numere, dar de semne contrare, de unde obtinem rezultatul 0.

b) 2\sqrt{24}\left(\frac{3}{\sqrt{6}}-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right)

Ca sa rezolvam exercitul de mai sus, mai intai scoatem factorii de sub radicali, dar si rationalizam, astfel obtinem:

2\sqrt{2^{2}\cdot 2\cdot 3}\left(\frac{3\sqrt{6}}{6}-\frac{\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}}\right)=2\cdot 2\sqrt{6}\left(\frac{\sqrt{6}}{2}-\frac{\sqrt{6}}{3}\right)=

Apoi ca sa putem efectua calculele, aducem la acelasi numitor in paranteza rotunda si efectuam calculele 4\sqrt{6}\left(\frac{3\sqrt{6}-2\sqrt{6}}{6}\right) .

De unde obtinem un numar produsul a doua numere in care putem sa efectuam o simplificare prin 6, deoarece stim ca \sqrt{6}\cdot \sqrt{6}=6 si astfel obtinem rezultatul 4.

=4\sqrt{6}\cdot\frac{\sqrt{6}}{6}=\frac{4\sqrt{6}\cdot \sqrt{6}}{6}=\frac{4\cdot 6}{6}^{(6}=\frac{4\cdot 1}{1}=4

c) \frac{5}{\sqrt{7}-\sqrt{2}}+\frac{2}{3+\sqrt{7}}

Ca sa rezolvam acest exercitiu, mai intai rationalizam numitorii, astfel devine :

\frac{5\left(\sqrt{7}+\sqrt{2}\right)}{\left(\sqrt{7}\right)^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}}+\frac{2\left(3-sqrt{7}\right)}{3^{2}-\left(\sqrt{7}\right)^{2}}

Apoi efectuam calculele:

\frac{5\sqrt{7}+5\sqrt{2}}{7-5}+\frac{2\cdot 3-2\cdot \sqrt{7}}{9-7}=\frac{5\sqrt{7}+5\sqrt{2}}{2}+\frac{6-2\sqrt{7}}{2}=

Cum avem acelasi numitor, putem efectua calculele:

\frac{5\sqrt{7}+5\sqrt{2}+6-2\sqrt{7}}{2}=\frac{3\sqrt{7}+5\sqrt{2}+6}{2}

d) \left(\sqrt{0,(2)}+\frac{\sqrt{8}}{3}\right):0,(5)-\left(\sqrt{4\frac{1}{2}}\right)^{-1}=

Ca sa rezolvam exercitiul de mai sus mai intai transformam fractiile zecimale periodice simple in fractii ordinare, dar introducem si intregii in fractii pe unde se poate:

\left(\sqrt{\frac{2}{9}}+\frac{2\sqrt{2}}{3}\right):\frac{5}{9}-\left(\sqrt{\frac{4\cdot 2+1}{2}}\right)^{-1}=

Deci avem: \left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{9}}+\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)\cdot\frac{9}{5}-\left(\sqrt{\frac{9}{2}}\right)^{-1}=

Observati ca am scos si factorii de sub radicali, iar in urmatorul pas extragem radicalii pe unde se poate  \left(\frac{\sqrt{2}}{3}+\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)\cdot\frac{9}{5}-\left(\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{2}}\right)^{-1}

Astfel obtinem: \left(\frac{\sqrt{2}+2\sqrt{2}}{3}\right)\cdot\frac{9}{5}-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{9}}=\frac{3\sqrt{2}}{3}\cdot\frac{9}{5}-\frac{\sqrt{2}}{3}=\sqrt{2}\cdot\frac{9}{5}-\frac{\sqrt{2}}{3}=^{3)}\frac{9\sqrt{2}}{5}-^{5)}\frac{\sqrt{2}}{3}=\frac{27\sqrt{2}}{15}-\frac{5\sqrt{2}}{15}=\frac{27\sqrt{2}-5\sqrt{2}}{15}=\frac{22\sqrt{2}}{15}

Operatii cu numere reale

Dupa ce am invatat sa efectuam operatii cu numere naturale, numere intregi si numere rationale a venit vremea sa discutam si despre operatii cu numere reale .

Astfel operatiile cu numere reale pastreaza toate proprietatile operatiilor cu numere rationale. In continuare o sa definim operatiile cu numere reale, dar si noile reguli pe care le aplicam atunci cand efectuam aceste operatii,  in special cand avem numere irationale.

1) Suma sau produsul dintre un numar rational nenul si unul irational este un numar irational.
a) Adunarea numerelor reale
Pentru a aduna mai multe numere reale de forma a\sqrt{b} cu b\geq 0, care au acelasi numar sub radical se procedeaza astfel:
-se aduna factorii din fata radicalului si se inmultesc cu radicalul
Exemplu:
a) 5\sqrt{7}+11\sqrt{7}+6\sqrt{7}+7\sqrt{7}=\sqrt{7}\left(5+11+6+7\right)=29\sqrt{7}.
Deci important la aceste calcule sa avem acelasi factor sub radical.

Produsul a doua numere reale
Produsul numerelor a\sqrt{b} si c\sqrt{d} b, d\geq 0 este un numar real a\cdot c\sqrt{c\cdot d}. De asemenea mai avem si urmatoarele cazuri particulare:

a) a\sqrt{b}\cdot\sqrt{c}=a\sqrt{b\cdot c}, b, d\geq 0
b) a\cdot b\sqrt{c}=ab\sqrt{c}, c\geq 0.
Exemplu
a) 3\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{3}=3\cdot 2\sqrt{2\cdot 3}=6\sqrt{6}
b) 2\cdot 3\sqrt{3}=6\sqrt{3}
c) -3\sqrt{3}\cdot\sqrt{39}=-3\sqrt{117}=-3\cdot 3\sqrt{13}=-9\sqrt{13}
La exercitiul ca am scos si factorii de sub radicali.

Impartirea numerelor reale
Impartirea a doua numere de forma a\sqrt{b} si c\sqrt{d} cu c\neq 0, b,d\geq 0 se efectueaza la fel ca si la impartirea numerelor rationale se inmulteste dempartitul cu inversul impartitorului.
a\sqrt{b}:c\sqrt{d}=a\sqrt{b}\cdot\frac{1}{c\sqrt{d}}=\frac{a\sqrt{b}}{c\sqrt{d}}
Sau mai putem scrie impartirea celor doua numere
a\sqrt{b}:c\sqrt{d}=\frac{a\sqrt{b}}{c\sqrt{d}}=\frac{a}{c}\cdot\sqrt{\frac{c}{d}}
Exemplu:

3\sqrt{5}:6\sqrt{10}=\frac{3}{6}\sqrt{\frac{5}{10}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}.

Ridicarea la putere intreaga a unui numar real
Ridicand un numar real de forma a\sqrt{b} a\neq 0, b>0 la putere intreaga obtinem
obtinem \left(a\sqrt{b}\right)^{n}=a^{n}\sqrt{b^{n}}
Exemplu:
\left(3\sqrt{5}\right)^{3}=3^{3}\sqrt{5}^{3}=27\cdot 5\sqrt{5}=135\sqrt{5}.

Exercitii
1) Calculati
a) \sqrt{3}\left(4+\sqrt{6}\right)-\left(\sqrt{12}-\sqrt{18}\right)+\left(\sqrt{27}+2\sqrt{6}\right):\sqrt{3}-\left(\sqrt{8}+3\right)  =4\sqrt{3}+3\sqrt{2}-2\sqrt{3}+3\sqrt{2}+\sqrt{27}:\sqrt{3}+2\sqrt{6}:\sqrt{3}-2\sqrt{2}-3=  4\sqrt{3}+3\sqrt{2}-2\sqrt{3}+3\sqrt{2}+\sqrt{\frac{27}{3}}+2\sqrt{\frac{6}{3}}-2\sqrt{2}-3=  \left(4-2\right)\cdot\sqrt{3}+\left(3+3\right)\cdot\sqrt{2}+\sqrt{9}+2\sqrt{2}-2\sqrt{2}-3=  2\sqrt{3}+3-3=2\sqrt{3}+6\sqrt{2}.

Observam ca la exercitiul de mai sus am inmultit radical din 3 cu fiecare termen al parantezei (distributivitatea inmultirii fata de adunare) la cea de-a doua paranteza am scos factorii de sub radical, iar semnul din fata parantezei a schimbat toate semnele.

La cea de-a treia paranteza am folosit impartirea radicalilor, impartirea numerelor reale, dar si distributivitatea .Adica am impartit fiecare termen al parantezei la numarul respectiv iar la ultima paranteza am scos factorul de sub radical si am schimbat semnul termenilor. Dupa ce am terminat aceasta etapa am luat termenii asemenea si am lucrat cu acestia, adica numerele care au avut pe radical din 3 am efectuat calculele asa cum am invatat mai sus la fel si la radical din doi si asfel am obtinut rezultatul.

b) 15\sqrt{7}+3\left\{-4\sqrt{3}+5\left[2\sqrt{7}+3\left(3\sqrt{3}-7\right)\right]\right\}=  15\sqrt{7}+3\left[-4\sqrt{3}+5\left(2\sqrt{7}+9\sqrt{3}-21\right)\right]=15\sqrt{7}+3\left(-4\sqrt{3}+10\sqrt{7}+45\sqrt{3}-105\right)=  15\sqrt{7}+3\left(41\sqrt{3}+10\sqrt{7}-105\right)=  15\sqrt{7}+123\sqrt{3}+30\sqrt{7}-315=123\sqrt{3}+45\sqrt{7}-315
La exercitul b) trebuia sa efectuam calculele din prima paranteza, paranteza rotunda, cum nu am avut ce sa efectuam am desfintat paranteza rotunda folosind distributivitatea inmultirii fata de adunare. La fel si la paranteza dreapta, dar si la acolada, iar la fiecare etapa a si disparut cate o paranteza. Poate vi se pare prea mare rezultatul care l-am obtinut, dar cum nu avem radicali de acelasi fel nu avem cum sa-i adunam si deci raman asa.

Important la adunarea si scaderea radicalilor daca nu sunt de acelasi fel nu putem sa-i adunam, trebuie sa aiba acelasi termen sub radical.

Operatii cu numere reale. Formule de calcul prescurtat

Inca din generala ati invatat sa efectuati operatii cu numere reale, dar sa si folositi formulele de calcul prescurtat. Incercam sa rezolvam exercitii astfel incat sa ne reamintim cum sa folosim numerele reale si formulele de calcul prescurtat.

1) Calculati:
a) <br /> \left(\frac{2}{5\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{12}}+\frac{3}{\sqrt{75}}\right):\left(2\sqrt{3}\right)^{-1}=\\</p> <p>\left(\frac{2\sqrt{3}}{15}-\frac{\sqrt{12}}{12}+\frac{3\sqrt{75}}{75}\right): \frac{1}{2\sqrt{3}}=\\<br /> \left(\frac{2\sqrt{3}}{15}-\frac{2\sqrt{3}}{12}+\frac{3\sqrt{75}}{75}\right)\cdot 2\sqrt{3}=\\<br /> \left(\frac{2\sqrt{3}}{15}-\frac{\sqrt{3}}{6}+\frac{5\sqrt{3}}{25}\right)\cdot 2\sqrt{3}=\\<br /> \left(\frac{2\sqrt{3}}{15}-\frac{\sqrt{3}}{6}+\frac{\sqrt{3}}{5}\right)\cdot 2\sqrt{3}=\\<br /> \left(\frac{2\cdot 2\sqrt{3}-5\cdot\sqrt{3}+6\cdot\sqrt{3}}{30}\right)\cdot 2\sqrt{3}=\\<br /> \left(\frac{4\sqrt{3}-5\sqrt{3}+6\sqrt{3}}{30}\right)\cdot 2\sqrt{3}=<br /> \left(\frac{5\sqrt{3}}{30}\right)\cdot 2\sqrt{3}=<br /> \frac{5\cdot 3}{15}=1.</p> <p>

Ca sa rezolvam exercitiul de mai sus am rationalizat numitorii, am scos factorii de sub radicali (stim ca \sqrt{a^{2}}=|a|, \sqrt{a^{2}\cdot b}=|a|\sqrt{b}), iar apoi am simplificat pe unde s-a putut, pentru a ne simplifica calculele, am adus la acelasi numitor, am efectuat calculele iar apoi am facut produsul celor doua rezultate, stim ca a^{-1}=\frac{1}{a} si de aici obtinem \left(2\sqrt{3}\right)^{-1}=\frac{1}{2\sqrt{3}},iar de la impartirea a doua numere rationale stim ca este egal cu produsul dintre primul si inversul celui de-al doilea, de unde obtinem rezultatul.

b) <br /> \sqrt{7-4\sqrt{3}}+\sqrt{4-2\sqrt{3}}+\sqrt{3-2\sqrt{2}}=\sqrt{\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}}+\sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}}+\sqrt{\left(1-\sqrt{2}\right)^{2}}=\\<br /> \left|2-\sqrt{3}\right|+\left|1-\sqrt{3}\right|+\left|1-\sqrt{2}\right|=2-\sqrt{3}+\sqrt{3}-1+\sqrt{2}-1=\sqrt{2}.<br />

Dupa cum stiti din clasa a VIII-a trebuie sa sa gasim o forma astfel incat sa putem sa scriem numerele de sub radical la patrat pentru ca stim ca  \sqrt{a}=\left|a\right|, astfel folosim formulele de calcul prescurtat, pentru a putea scoate factorii de sub radicali, iar apoi folosim definitia modulului, iar apoi restul este un simplu calcul.
c)</p> <p>2\sqrt{7-\sqrt{48}}+3\sqrt{43-30\sqrt{2}}+9\sqrt{25-4\sqrt{6}}=<br /> 2\sqrt{\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}}+3\sqrt{\left(5-3\sqrt{2}\right)^{2}}+9\sqrt{\left(1-2\sqrt{6}\right)^{2}}=<br /> \\2\left|2-\sqrt{3}\right|+3\left|3\sqrt{2}-5\right|+9\left|2\sqrt{6}-1\right|=<br /> \\2\left(2-\sqrt{3}\right)+3\left(5-3\sqrt{2}\right)+9\left(2\sqrt{6}-1\right)=<br /> 4-2\sqrt{3}+15-9\sqrt{2}+18\sqrt{6}-9=10-2\sqrt{3}-9\sqrt{2}+18\sqrt{6}

Ca sa rezolvam exercitiile ca si la exercitiul b) trebuie sa folosim formulele de calcul prescurtat ca sa scriem numarul de sub radical ca un numar la patrat. Observam cum sa-l scriem de exemplu la primul radical 7-\sqrt{48}, trebuie sa ne gandim ca suma la patrat a celor doua numere trebuie sa obtinem, iar produsul celor doua numere trebuie sa fie \sqrt{48}, cum stim ca folosim formula de calcul prescurtat (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, dar la noi 2 este introdus sub radical, iar daca scoatem factorul de sub radicalul \sqrt{48}=2\sqrt{12}, deci produsul dintre a si b este a\cdot b=\sqrt{12}, iar singura posibilitate este ca a=\sqrt{3}, b=\sqrt{4}=2.

Sau putem folosi formulaele
<br /> \sqrt{a+\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^{2}-b}}{2}}+\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^{2}-b}}{2}}<br /> \\\sqrt{a-\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^{2}-b}}{2}}-\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^{2}-b}}{2}}<br />

Formulele de mai sus se numesc formulele radicalilor compusi, si ne ajuta sa scriem radicali chiar daca necesita mai mult calcul.