Subiecte posibile Evaluarea Nationala Matematica

Subiectul I.

1.  Rezultatul calcului \left(\frac{1}{3}\right)^{2}:\left(0,25-\frac{1}{6}\right)-\frac{1}{3} este…..

2. Dintre numerele \frac{1}{\sqrt{3}} si \frac{1}{2} mai mare este…….

3. Dupa o ieftinire cu 20%, un costum de 1200 de lei va costa ….

4. Un dreptunghi are latimea egala cu un sfert din lungime si perimetrul de 20 cm. Aria dreptunghiului este de….

5. Un tetraedru regulat are muchia de 2 cm. Aria sa totala este de……

6. Sinusul unghiului format de o diagonala a unui cub cu una dintre fetele sale este… .

Solutie:

1. Pentru a afla rezultatul calculului mai intai efectuam operatiile:

\left(\frac{1}{3}\right)^{2}:\left(0,25-\frac{1}{6}\right)-\frac{1}{3}=\frac{1^{2}}{3^{2}}:\left(\frac{25}{100}^{(25}-\frac{1}{6}\right)-\frac{1}{3}=\frac{1}{9}:\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{6}\right)-\frac{1}{3}=\frac{1}{9}:\left(\frac{3\cdot 1-2\cdot 1}{12}\right)-\frac{1}{3}=\frac{1}{9}:\left(\frac{3-2}{12}\right)-\frac{1}{3}=\frac{1}{9}:\frac{1}{12}-\frac{1}{3}=\frac{1}{9}\cdot\frac{12}{1}-\frac{1}{3}=\frac{12}{9}^{(3}-\frac{1}{3}=\frac{4}{3}-\frac{1}{3}=\frac{4-1}{3}=\frac{3}{3}^{(3}=1

Observati ca la exercitiul de mai sus mai intai am efectuat ridicarea la putere a fractiei cu un numar natural, adica am folosit regulile de calcul cu puteri, apoi in parateza rotunda am transformat fractia zecimala in fractie ordinara  si am simplificat unde s-a putut. Apoi in paranteza rotunda am efectuat calculele, adica am adus la acelasi numitor, iar cu  rezultatul obtinut din paranteza rotunda am efectuat impartirea, adica am inmultit prima fractie cu inversul celei de-a doua, am efectuat inmultire, eventual am simplificat, iar apoi am efectuat calculele intre cele doua fractii ordinare, iar rezultatul obtinut este 1.

2.  Acum sa vedem cum comparam cele doua numere, observati ca avem doua fractii ordinare, dar la prima apare si radicalul, astfel prima fractie o putem scrie:

\frac{1}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{1}{3}}

Iar cea de-a doua:

\frac{1}{2}=\frac{1}{\sqrt{4}}=\sqrt{\frac{1}{4}}

Astfel avem numerele

\sqrt{\frac{1}{3}} si \sqrt{\frac{1}{4}}

Dar observam ca numarul

\frac{1}{3}>\frac{1}{4}

Deci

\frac{1}{\sqrt{3}}>\frac{1}{2}

Sau mai putem sa comparam si astfel

\frac{1}{\sqrt{3}}

Iar cel de-al doilea numar il scriem:

\frac{1}{2}=\frac{1}{\sqrt{4}}

Astfel observam ca

\sqrt{3}<\sqrt{4}

Iar

\frac{1}{\sqrt{3}}>\frac{1}{\sqrt{4}} (acest lucru rezulta din compararea fractiilor ordinare).

3. Stim ca ieftinirea este de 20%, astfel calculam:

\frac{20}{100}\cdot 1200=\frac{24000}{100}^{(100}=\frac{240}{1}=240

Deci costumul s-a ieftinit cu 240 lei, astfel costumul va cost:

1200-240=960\;\;lei

Deci costumul va costa 960 lei

4. Scriem notiunile prezentate sub forma algebrica, astfel avem ca:

l=\frac{1}{4}\cdot L (latimea este egala cu un sfert din lungime) sau mai putem sa scriem si sub forma de fractie zecimala, astfel avem:

l=0,25\cdot L

Dar mai stim si ca perimetrul este de 20 cm

Stim ca perimetrul unui dreptunghi este:

P_{dreptunghi}=2L+2l=2\left(L+l\right)

dar stim ca perimetrul este de 20 cm, astfel obtinem:

2\left(L+l\right)=20|:2\Rightarrow L+l=10

Dar stim ca latimea este un sfert din lungime si daca inlocuim mai sus obtinem:

L+0,25L=10\Rightarrow 1,25L=10\Rightarrow L=10:1,25\Rightarrow L=1000:125\Rightarrow L=8

Deci lungimea este de 8 cm, iar latimea

l=0,25\cdot 8=2

Deci latimea este de 2 cm, astfel aria dreptunghiului este

A_{dreptunghi}=L\cdot l=8\cdot 2=16\;\; cm^{2}

5. Cum aflam aria tetraedrului regumat?

Pai in cel mai bun caz trebuie sa stim formula pe care am invatat-o la clasa,adica

A_{totala}=l^{2}\sqrt{3}=2^{2}\sqrt{3}=4\sqrt{3}=4\sqrt{3}\;\; cm^{2}

Dar daca nu stim formula putem sa o deducel foarte usor, astfel stim ca tetraedrul regulat are toate fetele triunghiuri echilaterale. Noi stim ca aria totala a unei piramide regulate este egala cu

A_{totala}=A_{l}+A_{b}

Iar in cazul nostru stim ca aria unui triunghi echilateral este:

A_{\Delta ABC}=\frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}

Mai stim si ca tetraedrul regulat are 3 fete laterale, adica trei triunghiuri echilaterale, iar aria bazei tot un triunghi echilateral, astfel avem ca

=3\cdot \frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}+\frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{3l^{2}\sqrt{3}+l^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{4l^{2}\sqrt{3}}{4}=l^{2}\sqrt{3}

Deci aria totala a unui tetraedru regulat este formata din 4 triunghiuri echilaterale.

6. Acum sa vede cu aflam sinusul unghiului format de o diagonala a unui cub si una dintre fetele sale

Astfel consideram ca avem cubul ABCDA’B’C’D’

sinusul unghiului formata de o dreapta cu un plan

 

 

 

\sin\widehat{ AC^{'},\left(BCB'C'\right)}=    \sin\widehat{AC^{'},\left(AC\right)}=\sin\widehat{AC^{'},AC}=\sin\widehat{C^{'}AC}=\frac{CC^{'}}{AC^{'}}=\frac{l}{l\sqrt{3}}^{(l}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}.

 

 

 

 

Media geometrica a doua numere reale nenegative

Dupa cum bine stiti pana acum am discutat despre media aritmetica a doua sau mai multe numere naturale, media aritmetica a doua sau mai multe numere rationale, media aritmetica a doua sau mai multe numere intregi, dar si media aritmetica ponderata, astazi o sa discutam despre Media geometrica  a doua numere reale nenegative. Incepem prin a defini media geometrica:

Definitie: Media geometrica sau media proportionala a doua numere nenegative este egala cu radacina patrata din produsul lor: daca

a\geq 0, b\geq 0. atunci m_{g}=\sqrt{a\cdot b}. Daca 0\leq a\leq b atunci a\leq m_{g}\leq b.

Exemplu

1) Calculati media geometrica a numerelor

a) a=0,03 si b=0,27

Solutie

Ca sa calculam media geometrica a celor doua numere calculam:

m_{g}=\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{0,03\cdot 0,27}=\sqrt{\frac{3}{100}\cdot\frac{27}{100}}=\sqrt{\frac{3\cdot 27}{100\cdot 100}}=\sqrt{\frac{\left(3^{2}\right)^{2}}{\left(10^{2}\right)^{2}}}=\frac{9}{100}.

dupa ce am aplicat formula pentru media geometrica a celor doua numere, am transformat fractiile zecimale in fractii ordinare, iar apoi am folosit regulile de calcul cu radicali, adica am extras factorii de sub radicali si astfel am gasit rezultatul de mai sus.

2) Calculati media aritmetica si media geometrica a numerelor:

a=2,\left(6\right)+\sqrt{0,69\left(4\right)}+1,5 si b=90\cdot\left[0,1\left(6\right)+0,\left(3\right)\right]

Ca sa calculam media aritmetica si media geometrica a numerelor, calculam mai intai numerele, astfel incepem cu

a=\frac{26-2}{9}+\sqrt{\frac{694-69}{900}}+\frac{15}{10}=\frac{24}{9}+\sqrt{\frac{625}{900}}+\frac{3}{2}=    \frac{8}{3}+\frac{\sqrt{625}}{\sqrt{900}}+\frac{3}{2}=\frac{8}{3}+\frac{25}{30}+\frac{3}{2}=\frac{8}{3}+\frac{5}{6}+\frac{3}{2}=\frac{2\cdot 8+1\cdot 5+3\cdot 3}{6}=\frac{16+5+9}{6}=\frac{30}{6}=5.

Ca sa calculam numarul „a” am transformat fractiile zecimale in fractii ordinare, am simplificat pe unde s-a putut si am extras radicalul de la cel de-l doilea termen, iar apoi am adus la acelasi numitor si astfel am obtinut rezultatul de mai sus.

Acum calculam

b=90\cdot\left(\frac{16-1}{90}+\frac{3}{9}\right)=90\cdot\left(\frac{15}{90}+\frac{1}{3}\right)=

90\cdot\left(\frac{1}{6}+\frac{1}{3}\right)=90\cdot\left(\frac{1\cdot 1+2\cdot 1}{6}\right)=

90\cdot \frac{1+2}{6}=90\frac{3}{6}=90\cdot \frac{1}{2}=45.

Adica am efectuat calculele din paranteza (am adus la acelasi numitor,am simplificat) si apoi am efectuat produsul dinte numarul din fata parantezei si rezultatul obtinut din paranteza.

Dupa ce am aflat a si b calculam mai intai media aritmetica si media geometrica

m_{a}=\frac{a+b}{2}=\frac{5+45}{2}=\frac{50}{2}=25.

Acum calculam media geometrica

m_{g}=\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{5\cdot 45}=\sqrt{225}=15.

3) Aflati perimetrul unui dreptunghi care are dimensiunile egale cu m_{a} si m_{g} a numerelor:

a=\left[5,(6)-3\frac{3}{4}+0,75\right]\cdot1\frac{1}{2}

si

b=\left(\frac{1}{12}\right)^{-1}+\sqrt{116,64}:2,7

Calculam mai intai

a=\left(\frac{56-5}{9}-\frac{3\cdot 4+3}{4}+\frac{75}{100}\right)\cdot\frac{1\cdot 2+1}{2}=    \left(\frac{51}{9}-\frac{15}{4}+\frac{3}{4}\right)\cdot\frac{3}{2}=    \left(\frac{17}{3}-\frac{15+3}{4}\right)\cdot\frac{3}{2}=    \left(\frac{17}{3}-\frac{12}{4}\right)\cdot\frac{3}{2}=\left(\frac{17}{3}-3\right)\cdot\frac{3}{2}=    \left(\frac{1\cdot 17-3\cdot 3}{3}\right)\cdot\frac{3}{2}=\frac{17-9}{3}\cdot\frac{3}{2}=\frac{8}{3}\cdot\frac{3}{2}=\frac{4}{1}\cdot\frac{1}{1}=4

Acum calculam b, astfel

b=\frac{12}{1}+\sqrt{\frac{11664}{100}}:\frac{27}{10}=12+\frac{\sqrt{11664}}{\sqrt{100}}\cdot\frac{10}{27}=12+\frac{108}{10}\cdot\frac{10}{27}=12+\frac{54}{5}\cdot\frac{10}{27}=12+\frac{2}{1}\cdot\frac{2}{1}=12+4=16

Calculam mai intai media aritmetica a celor doua numere care le-am gasit

m_{a}=\frac{4+16}{2}=\frac{20}{2}=10

iar media geometrica

m_{g}=\sqrt{4\cdot 16}=\sqrt{64}=8

Cum stim  dimensiunile dreptunghiului, adica l=8 si L=10 calculam perimetrul sau

P=2\left(L+l\right)=2\left(10+8\right)=2\cdot 18=36 cm

Deci important la media geometrica si media aritmetica  a doua sau mai multe numere sa stim notiunile teoretice.