Dreapta perpendiculara pe un plan. Problema rezolvata

Fie ABC un ∆ echilateral cu latura de 3 cm. În punctul A se construiește perpendiculara pe planul ∆ pe care se considera punctul D astfel incat AD=4 cm. Aflati perimetrul ∆DBC.

Cum triunghiul ABC este echilateral stim ca AB=AC=BC (triunghiul echilateral are toate laturile egale)

Stim ca DA\perp (ABC) astfel avem si ca DA\perp AB, adica m\left(\widehat{DAB}\right)=90^{0}. Si cu teorema lui Pitagora obtinem ca :

DB^{2}=DA^{2}+AB^{2}\Rightarrow DB^{2}=4^{2}+3^{2}\Rightarrow DB^{2}=16+9\Rightarrow DB=\sqrt{25}\Rightarrow DB=5 cm

Dar DA\perp AC de unde obtinem si ca m\left(\widehat{DAC}\right)=90^{0}. Adica cu teorema lui Pitagora in triunghiul  dreptunghic DAC obtinem:

DC^{2}=DA^{2}+AC^{2}\Rightarrow DC^{2}=4^{2}+3^{2}\Rightarrow DC^{2}=16+9\Rightarrow DC=\sqrt{25}\Rightarrow DC=5 cm

Asadar,  perimetrul triunghiului DBC este

P_{\Delta DBC}=DB+DC+BC=5+5+3=13 cm

dreapta-perpendiculara-pe-un-plan

Problema rezolvata cu trapezul isoscel

Sa vedem inca o problema rezolvata cu trapezul isoscel ,trimisa de un cititor MatePedia.

Fie ABCD trapez  si \left[AD\right]\equiv\left[DC\right]\equiv\left[CB\right]. Daca AB=2a cm si m\left(\prec B\right)=60^{0} se cere:

a) Demonstrati ca (AC este bisectorea unghiului  \prec A

b) Calculati perimetrul \Delta COB, O fiind mijlocul lui AB

c) Calculati linia mijlocie a trapezului ABCD

Demonstratie:

Cum aflam perimetrul unui trapez
Observam ca :
\left[AD\right]\equiv\left[DC\right]\equiv\left[CB\right]
si astfel obtinem ca trapezul este isoscel, deci unghiurile alaturate bazei sunt congruente, astfel gasim si ca m\left(\prec A\right)=60^{0}
Acum construim perpendicularele CE si DF pe dreapta AB.
Astfel daca aplicam Teorema 30^{0}-60^{0}=90^{0}, astfel obtinem:
AF=\frac{1}{2}\cdot AD si
BE=\frac{1}{2}\cdot BC
Notam AD=DC=BC=x
AB=AF+FE+EB\Rightarrow 2a=\frac{x}{2}+x+\frac{x}{2}\Rightarrow 2a=2x\Rightarrow x=a
EF=DC=x, deoarece EFDC este dreptunghi
Din ipoteza observam ca triunghiul este isoscel de baza AC, deci unghiurile alaturate bazei sunt congruente, adica \prec DAC\equiv\prec DCA.
Dar cum am construit cele doua perpendiculare observam ca DCEF este dreptunghi si deci astfel m\left(\prec FDC\right)=m\left(\prec DCE\right)=m\left(\prec CEF\right)=m\left(\prec EFD\right)=90^{0}
DEci gasim ca
m\left(\prec ADC\right)=m\left(\prec ADF\right)+m\left(\prec FDC\right)\Rightarrow  m\left(\prec ADC\right)=30^{0}+90^{0}\Rightarrow m\left(\prec ADC\right)=120^{0}
Si cum unghiurile alaturate bazei sunt congruente rezulta ca m\left(\prec DAC\right)=m\left(\prec DCA\right)=30^{0}.
Acum :
m\left(\prec DAB\right)=m\left(\prec DAC\right)+m\left(\prec CAB\right)\Rightarrow 60^{0}=30^{0}+m\left(\prec CAB\right)\Rightarrow m\left(\prec CAB\right)=30^{0}
astfel gasim ca \prec DAC\equiv\prec CAB
Cum semidreapta AC imparte unghiul in doua unghiuri congruente rezulta ca AC este bisectoarea unghiului A.
b) Cum O este mijlocul lui AB obtinem AO=OB=a
Stim de mai sus ca BC=a, deci triunghiul COB este isoscel cu m\left(\prec CBO\right)=60^{0} si astfel triunghiul CBO echilateral astfel
P_{\Delta CBO}=3\cdot a=3a cm.
Perimetrul unui triunghi

 

 

 

 

 

 
c) Linia mijlocie a trapezului, fie M mijlocul lui AD si N mijlocul lui BC, astfel obtinem
MN=\frac{AB+BC}{2}=\frac{2a+a}{2}=\frac{3a}{2}
Linia mijlocie intr-un trapez

Linia mijlocie intr-un trapez

Dupa ce am discutat despre Linia mijlocie intr-un triunghi a venit vremea sa discuta si despre linia miljocie intr-un trapez. Dar mai intai sa definit notiunea de linie mijocie intr-un trapez.

Definitie: Segmentul care uneste mijloacele a doua laturi neparalele ale unui trapez se numeste linia mijlocie intr-un trapez.

Obsevati ca definitia de la linia mijlocie dintr-un triunghi se aseamana cu linia mijlocie intr-un trapez, diferenta o fac doar figurile geometrice si valoarea care o obtinem cand calculam linia mijlocie.
Care este linia mijlocie intr-un  trapez?
Teorema. Intr-un trapez linia mijlocie este paralela cu cele doua baze si masoara jumatate din suma celor doua baze.

Astfel stim ca ABCD trapez, EF linie mijlocie. Rezulta ca AB||EF||CD si ca EF=\frac{B+b}{2}=\frac{AB+CD}{2} unde AB este baza mare si CD- baza mica.

Teorema Intr-un trapez lungimea segmentului determinat de intersectiile liniei mijlocii cu diagonalele este egala cu jumatate din modului diferentei lungimilor bazei.
linia mijlocie intr-un trapez
ABCD trapez, EF linie mijlocie
AC\cap BD=\left\{O\right\}
Rezulta ca GH=\frac{|AB-CD|}{2}
Problema
1) In trapezul dreptunghic ABCD cu AB|| CD si AB>CD \left[AC\right]\equiv\left[BC\right], m\left(\prec B\right)=60^{0} se cunoaste lungimea segmentului care uneste mijloacele diagonalelor PQ= 8 cm. Aflati lungimile bazelor si perimetrul triunghiului ABC.
Ipoteza
ABCD trapez dreptunghic
AB|| CD, AB>CD
\left[AC\right]\equiv\left[BC\right], m\left(\prec B\right)=60^{0}
PQ=8 cm
Concluzie:
AB=?
CD=?
P_{\Delta ABC}=?
Demonstratie

Cum aplicam linia mijlocie intr-un triunghi Stim din ipoteza ca PQ= 8 cm

Conform teoremei de mai sus avem ca: PQ=\frac{AB-CD}{2}\Rightarrow AB-CD=16 cm\Rightarrow BE=16 cm, Deoarece stim ca AB=AE+EB\Rightarrow EB=AB-AE si cum AECD dreptunghi si AE=DC, astfel gasim si ca DC= 16 cm
Astfel am construit in triunghiul ABC inaltimea CE, stim ca unghiul B are 60^{0}, mai stim si ca unghiul E este de 90^{0}, si astfel gasim ca unghiul ECB este de 30^{0} si astfel aplicam teorema 30^{0}-60^{0}-90^{0}, astfel obtinem ca
EB=\frac{BC}{2}\Rightarrow 2\cdot EB=BC\Rightarrow BC=2\cdot 16 cm\Rightarrow BC=32 cm
In triunghiul ABC stim ca AC=BC, dar mai stim si ca m\left(\prec B\right)=60^{0}, deci obtinem ca triunghiul ABC este echilateral, adica AB=AC=BC=32 cm.
Deci stim baza mare, acum trebuie sa aflam baza mica,
Acum stim ca AB=AE+EB, de unde obtinem
16=AE+8\Rightarrow AE=32-16\Rightarrow AE=16 cm
Mai stim ca ADCE este dreptunghi si astfel AE=DC.
Deci DC=16cm si astfel am gasit si baza mica, adica 16 cm.
Acum aflam perimetrul triunghiului ABC, cu stim ca AB=AC=BC=32 cm obtinem
P_{\Delta ABC}=3\cdot l=3\cdot 32=96 cm.

Problema rezolvata linia mijlocie intr-un trapez

Recapitulare geometrie evaluarea initiala clasa a VIII-a

In clasa a VII-a  profesorul vostru a insistat foarte mult sa invatati Teorema lui Pitagora, Teorema inaltimii, Teorema catetei. Poate v-ati intrebat de ce! Pentru ca o sa va ajute foarte mult in clasa a VIII-a si la Evaluarea Nationala.
Ca sa putem sa le folosim trebuie sa ne reamintim enunturile, dar si cum ne ajuta sa rezolvam problemele pentru geometrie evaluarea initiala.
1) In triunghiul dreptunghic ABC  m(\prec A)=90^{0}, AD\bot BC , D\in (BC) si AM mediana <br /> M\in (BC), AB<BC, AB=16 cm.
a) Calculati aria si perimetrul triunghiului ABC
b) Inaltimea dusa din varful unghiului drept
Ip:
\Delta ABC<br /> m(\prec A)=90^{0}, AD\bot BC , D\in (BC)
AM mediana
<br /> M\in (BC), AB<BC, AB=16 cm, m(\prec DAM)=30^{0}.
Cz:
A_{\Delta ABC}=?<br /> P_{\Delta ABC}=?

Dem:
b
<br /> \\m(\prec DAM)=30^{0}<br /> \\AD\bot BC \Rightarrow m(\prec ADM)=90^{0}<br /> \\ m(\prec ADM)+m(\prec DAM)+m(\prec AMD)=180^{0} \Rightarrow<br /> \\90^{0}+30^{0}+m(\prec AMD)=180^{0}\Rightarrow<br /> \\120^{0}+m(\prec AMD)=180^{0} \Rightarrow<br /> \\m(\prec AMD)=180^{0}-120^{0}\Rightarrow<br /> \\ m(\prec AMD)=60^{0}=m(\prec BMA)<br />
<br /> \\ m(\prec BMC)=180^{0}<br /> \\m(\prec BMC)=m(\prec BMA)+m(\prec AMC)\Rightarrow<br /> \\ 180^{0}=60^{0}+ m(\prec AMC)\Rightarrow<br /> \\ m(\prec AMC)=120^{0}<br /> .
Cum AM mediana constatam ca triunghiul AMC  isoscel, avand un unghi de
<br /> 120^{0}celelalte doua alaturate bazei o sa aiba  60^{0}:2=30^{0}. Rezulta ca  m(\prec ACB)=30^{0}. Stiind ca AB=16 cm. Putem sa aplicam fie Teorema  30^{0}-60^{0}-90^{0}, fie functiile trigonometrice. Daca aplicam Teorema  30^{0}-60^{0}-90^{0} obtinem BC=32 cm.
Acum, aplicand Teorema lui Pitagora in triunghiul ABC, obtinem AC.
<br /> \\BC^{2}=AB^{2}+AC^{2} \Rightarrow<br /> \\1024=256+AC^{2}\Rightarrow<br /> \\ 1024-256=AC^{2}\Rightarrow<br /> \\768=AC^{2}\Rightarrow<br /> \\AC=\sqrt{768}<br />
Daca scoatem factorii de sub radical obtinem AC=16\sqrt{3}
Astfel
<br /> P_{\Delta ABC}=AB+AC+BC<br /> \\=16+32+16\sqrt{3}=<br /> \\= 48+16\sqrt{3}=<br /> \\16(3+\sqrt{3}).
Aria triunghiului, aplicam formula bine cunoscuta pentru triunghiul dreptunghic
<br /> A_{\Delta ABC}=\frac{c_{1}\cdot c_{2}}{2}=<br /> \\\frac{16\cdot 16\sqrt{3}}{2}=<br /> \\\frac{256\sqrt{3}}{2}<br /> \\ 128\sqrt{3} cm^{2}.
b) inaltimea in triunghiul ABC o calculam cu formula(atentie numai in cazul in care triunghiul este dreptunghic, acelasi lucru si daca vrem sa aplicam functiile trigonometrice, triunghiul unde aplicam trebuie sa fie dreptunghic)
<br /> AD=\frac{c_{1}\cdot c_{2}}{ipotenuza}=<br /> \\\frac{16\cdot 16\sqrt{3}}{32}=<br /> \\\frac{256\sqrt{3}}{32}=<br /> \\8\sqrt{3}

D E LINIE MIJLOCIE IN TRIUNGHIUL ISOSCEL

Recapitulare clasa a VII-a Proprietatile triunghiului

Un rol important in clasa a VII-a o sa-l joace proprietatile triunghiului. Poate ati auzit ca ca anul acesta o sa invatati Teorema lui Pitagora, Teorema inaltimii, Teorema catetei. Ca sa putem intelege aceste trei teoreme trebuie sa stim proprietatile triunghiului. Incepem prin a ne reaminti cum se rezolva problemele si teoria pe care o folosim o sa o enuntam.
1) In triunghiul ABC isoscel de baza BC, D mijlocul laturii AC, E mijlocul laturii AB , iar DE=12 cm si perimetrul triunghiului ABC este egal cu 88 cm.
Calculati masura laturilor congruente ale triunghiului isoscel ABC.
Ip:
<br /> \Delta ABC isoscel AB=AC
BC baza
 D\in AC a.i AD=DC
E\in AB a.i AE=EB
 DE=12 cm
P_{\Delta ABC}=88 cm
Cz:
<br /> AB=?; AC=?<br />
Dem:D E LINIE MIJLOCIE IN TRIUNGHIUL ISOSCEL
<br /> P_{\Delta ABC}=88 cm
 AB+AC+BC=88 cm
\\DE– linie mijlocie, atunci
 DE=\frac{1}{2}\cdot BC \Rightarrow 12 cm =\frac{1}{2}BC \Rightarrow BC=24 cm.
 AB+AC+24=88 cm \Rightarrow AB+AC=88-24\Rightarrow AB+AC=64 cm<br />
Cum <br /> AB=AC\Rightarrow AB=AC=\frac{1}{2}\cdot 64\Rightarrow AB=AC=32 cm<br />
Important la problemele de geometrie sunt datele problemei pe care trebuie sa le inteledem deoarece o sa ne ajute la rezolvarea problemei.
De asemenea si figura este foarte important sa fie realizata corect.
In cazul nostru de fata stim ca D este mijlocul lui AC, iar E mijlocul lui AB.
Astfel daca ne reamintim din clasa a VI-a definitia liniei mijlocii(segmentul care uneste mijloacele a doua laturi ale uni triunghi se numeste linie mijlocie) si teorema care am invatat-o ( Orice linie mijlocie a unui triunghi:
– este paralela cu latura care nu are nici un punct in comun cu ea
– are lungimea egala cu jumatate din lungimea laturii paralela cu ea ). Ce aici obtine lungimea laturii BC=24 cm.
Cum stim ca perimetrul oricarei figuri geometrice este egal cu suma tuturor laturilor, obtinem  AB+AC=64 cm.
Stim de cand am invatat proprietatile triunghiului isoscel ca AB=AC (triunghiul isoscel are doua laturi egale) si atunci 64:2=32, deci AB=AC=32 cm.