Prisma

Dupa cee am vorbit de piramida astazi o sa vorbim despre prisma. Inca din clasele mai mici ati desenat paralelipipedul dreptunghic si cubul, doua corpuri geometrice care fac parte din prisma. Pentru Evaluarea Nationala trebuie sa stim foarte bine din cadrul prismei urmatoarele corpuri: prisma triunghiulara regulata, prisma patrulatera regulata, paralelipipedul dreptunghic si cubul.

O prisma se numeste regulata daca are baza poligon regulat.
Prisma triunghiular regulata ca si piramida are baza triunghi echilateral iar fetele laterale, dupa cum bine banuitim, dreptunghiuri.

Elementele prismei triunghiulare regulate:
– bazele: triunghiurile echilaterale \Delta ABC si \Delta A'B'C'
– fetele laterale: dreptunghiurile ABB’A’, BCB’C’, ACC’A’
– muchiile bazei [AB], [AC], [BC]; [A’B’]; [A’C’]; [B’C’]
– muchiile laterale: [AA’]; [BB’]; [CC’]
– latura bazei notata cu l si inaltimea prismei triunghiulare regulate AA’

Paralelipipedul dreptunghic Are bazele dreptunghiuri, iar fetele laterale tot dreptunghiuri.
Paralelipipedul dreptunghic

Elementele paralelipipedului: -varfuri: A, B,C D, A’, B’, C’, D’
-bazele sunt dreptunghiuri congruente: ABCD, A’B’C’D’
-fetele laterale sunt dreptunghiuri: AA’BB’, BB’CC’, CC’DD’, AA’DD’
– muchiile laterale sunt congruente: AA’, BB’, CC’, DD’
-diagonalele paralelipipedului: AC’, BD’, A’C, B’D.
Dimensiunile paralelipipedului:
-lungimea (L=AB)
-latimea (l=BC)
-inaltimea (h=AA’)

Cum aflam diagonalele paralelipipedului?

In primul rand daca luam diagonala BD’, observam ca BDD’ este triunghi dreptunghic, prima data aflam BD din triunghiul ABD dreptunghi in A, aplicand teorema lui Pitagora  BD^{2}=AB^{2}+BC^{2}\Rightarrow BD^{2}=l^{2}+L^{2} , iar apoi daca aplicam teorema lui Pitagora in triunghiul BDD’, obtinem: <br /> BD'^{2}=DD'^{2}+BD^{2}\Rightarrow BD'^{2}=h^{2}+l^{2}+L^{2}, deci diagonala notata cu d este d=\sqrt{h^{2}+l^{2}+L^{2}}.
Cubul

Cubul-reprezentare si descriere
Are bazele patrate, iar fetele laterale tot patrate.

Elementele patratului:
-varfuri: A, B,C D, A’, B’, C’, D’
-bazele sunt patrate congruente: ABCD, A’B’C’D’
-fetele laterale sunt patrate: AA’BB’, BB’CC’, CC’DD’, AA’DD’
-diagonalele cubului: AC’, BD’, A’C, B’D.
Dimensiunile cubului:
-lungimea (L=l=h=AB=BC=DD’)

Cum aflam diagonalele dintr-un cub?

In primul rand daca luam diagonala BD’, observam ca BDD’ este triunghi dreptunghic isoscel , prima data aflam BD din triunghiul ABD dreptunghi in A, aplicand teorema lui Pitagora  BD^{2}=AB^{2}+BC^{2}\Rightarrow BD^{2}=l^{2}+l^{2}\Rightarrow BD^{2}=2l^{2} , iar apoi daca aplicam teorema lui Pitagora in triunghiul BDD’, obtinem: <br /> BD'^{2}=DD'^{2}+BD^{2}\Rightarrow BD'^{2}=l^{2}+2l^{2}\Rightarrow BD'^{2}=3l^{2}\Rightarrow BD'=l\sqrt{3}, deci diagonala notata cu d este d=l\sqrt{3}.

Deci foarte important sa stim cum sa calculam diagonalele in cub si in paralelipipedul dreptunghic

Piramida triunghiulara, tetraedrul: descriere si reprezentare

Asa cum am promis intr-un articol , o sa discutam si despre piramida triunghiulara si tetraedru.
Dupa cum am invatat la piramida patrulatera baza este un paralelogram (baza poate fi patrat, romb, dreptunghi), in cazul piramidei triunghiulare baza asa cum v-ati dat seama este un triunghi (echilatera, isoscel, dreptunghic), iar daca piramida este triunghiular regulata, baza este triunghi echilateral, iar pentru piramida patrulater regulata baza este patrat.

Def: Tetraedrul este determinat de patru puncte necoplanare, numite varfuri.
Reprezentare
Tetraedru- reprezentare
Dupa cum am vorbit si la piramida patrulatera, vorbim si despre elementele componente:
-muchiile bazei: AB, AC, BC
-muchiile laterale: VA, VB, VB
-planul bazei (ABC)
-fetele laterale \Delta VBC; \Delta VAC; \Delta VAB
Aceleasi componente le avem si pentru piramida triunghiular regulata.
Diferenta dintre piramida triunghiular regulata si tetraedru este ca: tetraedrul are toate muchiile congruente, adica si muchiile bazei si muchiile laterale sunt congruente, deci fetele laterale si fetele bazei sunt triunghiuri echilaterale, iar la piramida triunghiular regulata baza este triunghi echilateral, iar fetele laterale sunt triunghiuri isoscele, muchiile laterale sunt congruente.
La fel ca si la piramida patrulater regulata, piramida triunghiular regulata are si ea: apotema piramidei, apotema bazei, inaltimea.
Def: Apotema piramidei triunghiulare este distanta de la varful piramidei la o muchie a bazei a_{p}
Apotema bazei piramidei triunghiulare este distanta de la centrul cercului circumscris bazei triunghiului echilateral la o muchie a bazei a sa a_{b}.
Inaltimea intr-o piramida triunghiular regulata este distanta de la varful piramidei la punctul de intersectie al mediatoarelor (centrul cercului circumscris).
apotema piramidei, apotema bazei, inaltimea

Problema
1) Piramida regulata VABC are baza triunghiular echilateral cu aria de 36\sqrt{3}. Daca m(\prec VAB)=30^{0}, aflati aria triunghiului VAB.
Ip:
VABC piramida triunghiular regulata
A_{\Delta ABC}=36\sqrt{3}
\\m(\prec VAB)=30^{0}
Cl:
A_{\Delta VAB}=?
Dem:
Piramida triunghiulara
Cum baza piramidei este triunghi echilateral si mai stim si aria sa, aflam latura triunghiului echilteral din aria triunghiului ABC, astfel stim din clasa a VII-a ca aria intr-un triunghi echilateral este \frac{l^{2}\sqrt{3}}{4},iar pentru triunghiul din problema noastra A_{\Delta ABC}=\frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}\Rightarrow 36\sqrt{3}=\frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}\Rightarrow 36\sqrt{3}\cdot 4=l^{2}\sqrt{3}\Rightarrow 36\cdot 4=l^{2}\Rightarrow l=\sqrt{36\cdot 4}\Rightarrow l=6\cdot 2 \Rightarrow l=12 cm, in prima parte pentru a afla latura triunghiului echilateral am folosit proprietatea fundamentala a proportiilor ( intr-o proportie produsul mezilor este egal cu produsul extremilor). Dupa ce am aflat latura bazei piramidei si stim ca baza este triunghi echilateral rezulta ca piramida este triunghiular regulata , deci fetele laterale sunt triunghiuri isoscele, stiind m(\prec VAB)=30^{0}\;\; si\;\; \Delta VAB isoscel, constrim inaltimea VD, pentru a putea aplica Teorema 30^{0}-60^{0}-90^{0} sau functiile trigonometrice, stim ca AD=6 cm, deoarece intr-un triunghiului isoscel medianele, mediatoarele, inaltimile corespunzatoare bazei coincid, deci la noi VD este si mediana, de unde aflam AD.
Inaltimea pe o fata laterala intr-o piramida

Daca aplicam Teorema 30^{0}-60^{0}-90^{0} nu putem sa aflam nimic deoarece nu stim nici ipotenuza, nici cateta care se opune unghiului de 30^{0}, deci aplicam functiile trigonometrice
cos 30^{0}=\frac{cat. alaturata}{ipotenuza}\Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{AD}{VA}\Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{6}{VA}\Rightarrow VA\sqrt{3}=12\Rightarrow VA=\frac{12}{\sqrt{3}}\Rightarrow VA=\frac{12\sqrt{3}}{3}\Rightarrow VA=4\sqrt{3} cm.
Baza o stim, ca sa aflam aria trebuie sa mai aflam si inaltimea, astfel stiind VA, aplicam Teorema lui Pitagora pentru a afla inamtimea sau Teorema 30^{0}-60^{0}-90^{0}, noi o sa aplicam Teorema 30^{0}-60^{0}-90^{0}, iar voi incercati cu teorema lui Pitagora deci  VD=\frac{VA}{2}\Rightarrow VD=\frac{4\sqrt{3}}{2}\Rightarrow VD=2\sqrt{3} cm.
Deci aria triunghiului VAB este:
A_{\Delta VAB}=\frac{baza \cdot h}{2}=\frac{AB\cdot VD}{2}=\frac{12\cdot 2\sqrt{3}}{2}=12\sqrt{3} cm.
Deci imprtant la aceste probleme sunt notiunile pe care le-am invatat pana acum.