Probleme rezolvate cu plane perpendiculare

Doua probleme cu plane perpendiculare

1) Consideram paralelipipedul dreptunghic ABCDA’B’C’D’.

Stabiliti valoare de adevar a propozitiilor:

a)\left(ABC\right)\perp\left(ABB'\right) (A) (deoarece formeza un unghi diedru cu masura de de 90^{0})

b)\left(ADD'\right)\perp\left(A'B'C'\right)(A)

c)\left(ABC'\right)\perp\left(CB'A'\right)(A)

d)\left(A'BC'\right)\perp\left(CDA'\right)(F)

Demonstratie

Plane perpendiculare

\left(ABC\right)\perp\left(ABB'\right) (A) (deoarece formeza un unghi diedru cu masura de de 90^{0})

2.Dreptunghiu ABCD si patratul ABEF sunt situate in planele perpendiculare.
Stiind ca AB=40cm si BC=30cm, aflati:
a)distanta de la punctul E la dreapta AC
b)distanta de la punctul C la dreapta EF, precum si distanta de la punctul C la dreapta AE.
Demonstratie

distanta de la un punct la o dreapta
Stim ca
EB\perp\left(ABC\right)  BO\perp AC, BO, AC\subset\left(ABC\right)\Rightarrow EO\perp AC
Deoarece stim ca distanta de la un punct la o dreapta este piciorul perpendicularei din punctul dat pe dreapta respectiva, noi in cazul de sus am folosit Teorema celor trei perpendiculare, deci
d\left(E, AC\right)=EO
Acum sa aflam BO
In triunghiul ABC aplicam Teorema lui Pitagora
AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}\Rightarrow AC^{2}=40^{0}+30^{2}\Rightarrow AC=\sqrt{1600+900}\Rightarrow AC=\sqrt{2500}\Rightarrow AC=5\cdot 10\Rightarrow AC=50 cm
Acum putem afal BO, daca aplicam Teorema inaltimii
BO=\frac{AB\cdot BC}{AC}=\frac{40\cdot 30}{50}=\frac{1200}{50}=\frac{120}{5}=24
Acum in triunghiul EBO aplicam Teorema lui Pitagora
EO^{2}=EB^{2}+BO^{2}\Rightarrow EO^{2}=40^{2}+24^{2}\Rightarrow EO=\sqrt{1600+576}\Rightarrow EO=\sqrt{2176}\Rightarrow EO=8\sqrt{34}
b) d\left(C,EF\right)=CE
cum aflam distanta de la un punct la o dreapta
Astfel in triunghiul EBC aplicam Teorema lui Pitagora
CE^{2}=CB^{2}+BE^{2}\Rightarrow CE^{2}=40^{2}+30^{2}\Rightarrow CE=\sqrt{1600+900}\Rightarrow CE=\sqrt{2500}\Rightarrow CE=50 cm.
d\left(C,AE\right)=CT
distanta de la un punct la o dreapta
Observati ca \left\{T\right\}=AE\cap BF

Observam ca in triunghiul CTE stim CE=50 cm aflam ET, astfel ET=\frac{AE}{2}
AE este3 diagonala in patratul ABEF, astfel AE=l\sqrt{2}=40\sqrt{2}
Acum putem afla
ET=\frac{40\sqrt{2}}{2}=20\sqrt{2}
Acum putem aplica Teorema lui Pitagora in triunghiul dreptunghic CET
CT^{2}=CE^{2}-ET^{2}\Rightarrow CT^{2}=50^{2}-\left(20\sqrt{2}\right)^{2}\Rightarrow CT^{2}=2500-400\cdot 2\Rightarrow CT=\sqrt{2500-800}\Rightarrow CT=\sqrt{1700}\Rightarrow CT=10\sqrt{17}

Plane perpendiculare

Dupa ce am invatat cand doua drepte sunt perpendiculare acum o sa discutam despre Plane perpendiculare. Asa cum bine stiti doua drepte sunt perpendiculare daca formeaza un unghi de 90^{0}, astfel

Definitie: Doua plane se numesc perpendiculare daca  formeaza un unghi diedru cu masura de  90^{0} (diedru drept).

conditia ca doua plane sa fie perpendiculare
\alpha\perp\beta
Stim ca:
a\perp b  \\a\perp d  \\b,d\subset \beta\Rightarrow a\perp\beta
Deci in cazul a doua plane perpendiculare unul dintre plane contine o dreapta perpendiculara pe cel de-al doilea.
Teorema. Daca un plan contine o dreapta perpendiculara pe un alt plan atunci cele doua plane sunt perpendiculare.
Cand O dreapta este perpendiculara pe un plan?

AB\perp\beta  \\BC\subset\beta\Rightarrow \alpha\perp \beta.
Planele formeaza un unghi diedru drept, adica sunt perpendiculare.
Problema
1) Triunghiul echilateral ABC de latura 24 cm si triunghiul isoscel BCD BD=CD=6\sqrt{5} sunt situate in plane perpendiculare. Aflati
a) distanta de la punctul D la dreapta AC

b) aria triunghiului ABD
Demonstratie:

distanta de la un punct la o dreapta
DE\perp BC  \\EF\perp AC\Rightarrow EF\perp AC
Cu teorema celor trei perpendiculare am gasit ca distanta de la punctul D la dreapta AC este segmentul EF.
Stim ca DE este inaltime in triunghiul DBC care este isoscel, dar mai stim ca inaltimea intr-un triunghi isoscel coincide cu mediana deci stim ca BE=EC=12 cm, cum DC stim, Calculam acum DE, astfel aplicam teorema lui Pitagora
DE^{2}=DC^{2}-EC^{2}\Rightarrow DE^{2}=\left(6\sqrt{5}\right)^{2}-12^{2}\Rightarrow DE^{2}=180-144\Rightarrow DE^{2}=36\Rightarrow DE=\sqrt{36}\Rightarrow DE=6 cm.
Acum ca sa aflam pe EF, stim ca E este mijlocul lui BC, deci BE=EC=12 cm. In triunghiul EFC stim ca m\left(\prec EFC\right)=60^{0}, m\left(\prec EFC\right)=90^{}0 si gasim ca m\left(\prec FEC\right)=30^{0}, deci putem aplica Teorema 30^{0}-60^{0}-90^{0} astfel FC=\frac{EC}{2}\Rightarrow FC=\frac{12}{2}\Rightarrow FC=6 cm, acum daca aplicam Teorema lui Pitagora in triunghiul EFC, gasim ca EF^{2}=EC^{2}-FC^{2}\Rightarrow EF^{2}=144-36\rightarrow EF=\sqrt{108}\Rightarrow EF=6\sqrt{3}.
Sau daca ducem inaltimea in triunghiul ABC,
PLANE perpendiculare

Fie AE perpendicular pe BC, abtinem AE=\frac{l\sqrt{3}}{2}=\frac{24\sqrt{3}}{2}=12\sqrt{3}, acum observam ca triunghiul AEC este dreptunghic in E, deci aplicam Teorema inaltimii, astfel EF=\frac{AE\cdot EC}{AC}=\frac{12\sqrt{3}\cdot 12}{24}=6\sqrt{3}.

Acum cum stim cele doua catete ale triunghiului dreptunghic DEF aplicam teorema lui Pitagora
DF^{2}=DE^{2}+EF^{2}\Rightarrow DF^{2}=6^{2}+\left(6\sqrt{3}\right)^{2}\Rightarrow DE^{2}=36+108\Rightarrow DF^{2}=144\Rightarrow DF=\sqrt{144}\Rightarrow DF=12 cm.
b)A_{\Delta ABD}=?
Stim ca AB=24 cm BD=6\sqrt{5}. Mai stim ca AE=12\sqrt{3},ED=6 cm.
Dar daca privim figura observam ca:
\Delta ABD\equiv\Delta ADC:  \\\left[AB\right]\equiv\left[AC\right]  \\\left[BD\right]\equiv\left[DC\right]  \\\left[AD\right]\equiv\left[AD\right] (latura comuna).
Cum cele doua triunghiuri sunt congruente stim astfel ca si ariile sunt egale.
Importante  sa stim conditia ca doua plane sa fie perpendiculare.