Unghiul cu laturile paralele, unghiul a doua drepte in spatiu

Diagonala intr-un cub, masura unghiului dintre doua drepteDespre notiunea de unghi ati mai auzit inca din clasa a VI- a, dar astazi o sa vorbim despre unghiul a doua drepte in spatiu, unghiul cu laturile paralele.
Incepem printr-un exemplu simplu
1) Fie prisma triunghiulara regulata dreapta ABCA’B’C’. Determinati masurile unghiurile dintre dreptele:
a) AC si B’C’
b) A’B’ si CC’
uNGHIUL A DOUA DREPTE
a)<br /> m(\prec AC, B'C')=m(\prec AC, BC)=m(\prec ACB)=60^{0}<br /> \\B'C'|| BC</p> <p>
Ca sa aflam unghiul dintre cele doua drepte trebuie sa gasim una dintre cele doua drepte care sa fie paralela cu cealalta astfel incat sa putem forma un unghi, in cazul nostru am luat B’C’ care este paralela BC si astfel forman unghiul ACB, unghiul dintre dreapta AC si dreapta pe care am gasit-o este ACB, dar putem sa luam si dreapta AC care este paralela cu A’C’ si astfel gasim unghiul A’C’B’. Stiind ca baza piramidei este este un triunghi echilateral gasim ca masura unghiului este de 60^{0}.
<br /> b) m(\prec A'B' CC')=m(\prec A'B' AA')=m(\prec B'A'A)= 90^{0}<br /> \\CC'|| AA'<br />
Gasim dreapta CC’ paralela cu AA’ si astfel am gasit si unghiul B’A’A care este de 90^{0} deoarece AA’BB’ dreptunghi am invatat de la prisma triunghiulara ca fetele laterale sunt dreptunghiuri.

Deci definim unghiul a doua drepte astfel:
Prin unghiul a doua drepte in spatiu intelegem orice unghi ascutit sau drept cu varful in orice punct al planului si cu laturile respectiv paralele cu dreptele date.

Unghiul cu laturile respectiv paralele
<br /> a||a'<br /> \\b||b'<br /> a'\cap b'={O}<br /> m(\prec( a,b))=m(\prec AOB)<br />
Obs:Daca dreptele a si b sunt paralele atunci m(\prec (a,b))= 0^{0}
Pentru orice doua drepte din spatiu a si b  0^{0}\leq m(\prec (a,b))\leq 90^{0}

Calculam si masura pentru alte drepte:

2) Cubul ABCDA’B’C’D’are AB=8 cm. Calculati masurile unghiurilor formate de dreptele:
a) BC’ cu AC
b) BA’ cu DC
c) BC’ cu D’O unde  AC\cap BD={0}

Unghiul a doua drepte intr-un cub
<br /> m(\prec BC', AC)=m(\prec BC', A'C')=m(\prec BC'A')=60^{0}<br /> \\AC||A'C'
Masura unghiului este de 60^{0}, deoarece triunghiul BC’A’ este echilateral, formam un triunghi echilateral din cele trei diagonale a celor trei fete ale cubului.
Unghiul dintre doua drepte

\\m(\prec BA' DC)=m(\prec BA', AB)=m(\prec A'BA)=45^{0}<br /> \\DC|| AB<br />
Obtinem masura unghiului de 45^{0}, deoarece triunghiul A’BA este dreptunghic isoscel.
Unghiul a doua drepte in spatiu
c)  m(\prec BC' D'O)=m(\prec AD', D'O)=m(\prec AD'O)=30^{0}.<br /> \\BC'||AD'<br />
In \Delta DD'O dreptunghic in D aplicam teorema lui Pitagora D'O^{2}=DD'^{2}+DO^{2}\Rightarrow D'O^{2}=64+32\Rightarrow D'O^{2}=96\Rightarrow D'O=\sqrt{96}\Rightarrow D'O=4\sqrt{6}.
In  \Delta AD'O, calculam AO=\frac{l\sqrt{2}}{2}=\frac{8\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}, AD'=l\sqrt{2}=8\sqrt{2}, D'O=4\sqrt{6}, iar daca aplicam reciproca lui Pitagora obtinem ca triunghiul AD’O dreptunghic in m(\prec D'OA)=90^{0}.Triunghiul AD’O fiind dreptunghic putem sa aplicam functiile trigonometrice ca sa aflam masura unghiului, deci in triunghiul AD’O aplicam sin (\prec AD'O)=\frac{AO}{AD'}=\frac{4\sqrt{2}}{8\sqrt{2}}\frac{1}{2}=30^{0} sau aplicam teorema  30^{0}-60^{0}-90^{0}.

Deci e important tot timpul la unghiul a doua drepte in spatiu este sa gasim o dreapta paralela care sa ne ajute.

Prisma

Dupa cee am vorbit de piramida astazi o sa vorbim despre prisma. Inca din clasele mai mici ati desenat paralelipipedul dreptunghic si cubul, doua corpuri geometrice care fac parte din prisma. Pentru Evaluarea Nationala trebuie sa stim foarte bine din cadrul prismei urmatoarele corpuri: prisma triunghiulara regulata, prisma patrulatera regulata, paralelipipedul dreptunghic si cubul.

O prisma se numeste regulata daca are baza poligon regulat.
Prisma triunghiular regulata ca si piramida are baza triunghi echilateral iar fetele laterale, dupa cum bine banuitim, dreptunghiuri.

Elementele prismei triunghiulare regulate:
– bazele: triunghiurile echilaterale \Delta ABC si \Delta A'B'C'
– fetele laterale: dreptunghiurile ABB’A’, BCB’C’, ACC’A’
– muchiile bazei [AB], [AC], [BC]; [A’B’]; [A’C’]; [B’C’]
– muchiile laterale: [AA’]; [BB’]; [CC’]
– latura bazei notata cu l si inaltimea prismei triunghiulare regulate AA’

Paralelipipedul dreptunghic Are bazele dreptunghiuri, iar fetele laterale tot dreptunghiuri.
Paralelipipedul dreptunghic

Elementele paralelipipedului: -varfuri: A, B,C D, A’, B’, C’, D’
-bazele sunt dreptunghiuri congruente: ABCD, A’B’C’D’
-fetele laterale sunt dreptunghiuri: AA’BB’, BB’CC’, CC’DD’, AA’DD’
– muchiile laterale sunt congruente: AA’, BB’, CC’, DD’
-diagonalele paralelipipedului: AC’, BD’, A’C, B’D.
Dimensiunile paralelipipedului:
-lungimea (L=AB)
-latimea (l=BC)
-inaltimea (h=AA’)

Cum aflam diagonalele paralelipipedului?

In primul rand daca luam diagonala BD’, observam ca BDD’ este triunghi dreptunghic, prima data aflam BD din triunghiul ABD dreptunghi in A, aplicand teorema lui Pitagora  BD^{2}=AB^{2}+BC^{2}\Rightarrow BD^{2}=l^{2}+L^{2} , iar apoi daca aplicam teorema lui Pitagora in triunghiul BDD’, obtinem: <br /> BD'^{2}=DD'^{2}+BD^{2}\Rightarrow BD'^{2}=h^{2}+l^{2}+L^{2}, deci diagonala notata cu d este d=\sqrt{h^{2}+l^{2}+L^{2}}.
Cubul

Cubul-reprezentare si descriere
Are bazele patrate, iar fetele laterale tot patrate.

Elementele patratului:
-varfuri: A, B,C D, A’, B’, C’, D’
-bazele sunt patrate congruente: ABCD, A’B’C’D’
-fetele laterale sunt patrate: AA’BB’, BB’CC’, CC’DD’, AA’DD’
-diagonalele cubului: AC’, BD’, A’C, B’D.
Dimensiunile cubului:
-lungimea (L=l=h=AB=BC=DD’)

Cum aflam diagonalele dintr-un cub?

In primul rand daca luam diagonala BD’, observam ca BDD’ este triunghi dreptunghic isoscel , prima data aflam BD din triunghiul ABD dreptunghi in A, aplicand teorema lui Pitagora  BD^{2}=AB^{2}+BC^{2}\Rightarrow BD^{2}=l^{2}+l^{2}\Rightarrow BD^{2}=2l^{2} , iar apoi daca aplicam teorema lui Pitagora in triunghiul BDD’, obtinem: <br /> BD'^{2}=DD'^{2}+BD^{2}\Rightarrow BD'^{2}=l^{2}+2l^{2}\Rightarrow BD'^{2}=3l^{2}\Rightarrow BD'=l\sqrt{3}, deci diagonala notata cu d este d=l\sqrt{3}.

Deci foarte important sa stim cum sa calculam diagonalele in cub si in paralelipipedul dreptunghic