Problema rezolvata cu ecuatii (Inca una)

Stela a procurat 18 albume si 24 de carti pentru copii la acelasi pret. A achitat cumparaturile cu o bancnota de 500 lei si a primit rest 17 lei. Cit costa un album si cit costa o carte?

Rezolvarea este simpla. Trebuie sa stim regulile de rezolvare a problemelor cu ajutorul ecuatiilor. Cu ajutorul datelor din problema se stabilesc necunoscutele si se formeaza ecuatiile.

Solutie:

Notam

x- pretul unui albun

y- pretul unei carti

Stim ca a achitat cumparatura cu 500 de lei si a primit rest 17 lei, adica 500-17=483 lei

Astfel avem ecuatia 18x+24y=483\;\; lei

Dar stim ca albumul si cartea au acelasi pret, adica x=y

Deci ecuatia devine 18y+24y=483\Rightarrow 42y=483\Rightarrow y=483:42\Rightarrow y=11, 5\;\; lei

Cum x=y, obtinem si ca pretul albumului este tot de 11,5 lei.

Simplu, nu. Incercati si voi sa rezolvati probleme cu ecuatii folosind modele asemanatoare rezolvate pe MatePedia.

Probleme rezolvate pentru Lorena

1) Daca dublul unui nr. este 3intregi 1/5 aflati nr respectiv

Solutie:
Fie x numarul
Astfel obtinem ecuatia
2\cdot x=3\frac{1}{5}
Rezolvam acum ecuatia, astfel mai intai introducem intregii in fractie:
2x=\frac{3\cdot 5+1}{5}\Rightarrow 2x=\frac{15+1}{5}\Rightarrow x=\frac{\frac{16}{5}}{2}\Rightarrow x=\frac{16}{5\cdot 2}=\frac{16}{10}^{(2}=\frac{8}{5}
Deci numarul respectiv este \frac{8}{5}
Acum efectuam proba:
2\cdot \frac{8}{10}=\frac{2\cdot 8}{10}=\frac{16}{10}=\frac{16}{5}
Acum scoatem intregii din fractie obtinem:
16:5=3\;\; rest 1
Astfel fractia ordinara este:
\frac{16}{5}=3\frac{1}{5}

2)aflati un nr. daca suma dintre acesta si dublul sau este egala cu 6 intregi si 3/4

Solutie:

Fie y numarul, acum formam ecuatia
y+2\cdot y=6\frac{3}{4}
Acum rezolvam ecuatia:
y+2y=\frac{6\cdot 4+3}{4}\Rightarrow 3y=\frac{24+3}{4}\Rightarrow 3y=\frac{27}{4}\Rightarrow y=\frac{\frac{27}{4}}{3}\Rightarrow y=\frac{27}{4}:\frac{3}{1}\Rightarrow x=\frac{27}{4}\cdot \frac{1}{3}\Rightarrow y=\frac{9}{4}
3) Daca marim un nr. cu 3/2 obtinem 7/3 .Aflati nr. respectiv.

Solutie:
Fie z numarul:
z+\frac{3}{2}=\frac{7}{3}
Acum rezolvam ecuatia:
z=^{2)}\frac{7}{3}-^{3)}\frac{3}{2}\Rightarrow z=\frac{2\cdot 7-3\cdot 3}{6}=\frac{14-9}{6}\Rightarrow z=\frac{5}{6}

4) Aflati un nr. daca o jumatate din acesta marita cu 0,(6) este egala cu 4,1(6)

Solutie:
Fie x numarul
\frac{1}{2}\cdot x+0,\left(6\right)=4,1\left(6\right)
Acum rezolvam ecuatia:
\frac{x}{2}+\frac{6}{9}=\frac{416-41}{90}\Rightarrow \frac{x}{2}+\frac{2}{3}=\frac{375}{90}^{(15}\Rightarrow \frac{x}{2}=\frac{25}{6}-\frac{2}{3}\Rightarrow \frac{x}{2}=\frac{1\cdot 25-3\cdot 2}{6}\Rightarrow \frac{x}{2}=\frac{25-6}{6}\Rightarrow \frac{x}{2}=\frac{19}{6}\Rightarrow x=\frac{19}{6}\cdot 2\Rightarrow x=\frac{19}{3}

5) Aflati un nr. daca diferenta dintre acesta si 3 cincimi din el este egala cu 18

Solutie
Fie w numarul:
Acum formam ecuatia:
w-\frac{3}{5}\cdot w=18
Acum rezolvam ecuatia:
w-\frac{3w}{5}=18\Rightarrow \frac{5\cdot w+3w}{5}=18\Rightarrow \frac{5w-3w}{5}=18\Rightarrow \frac{2w}{5}=18\Rightarrow w=18\cot\frac{5}{2}\Rightarrow w=9\cdot\frac{5}{1}=45

Problema rezolvata cu aria dreptunghiului pentru Daniel

Prezentam o problema rezolvata cu aria dreptunghiului.

O camera are suprafata podelei in  forma de dreptunghi cu latimea de 4 m si lungimea de 11 m . Suprafata podelei  trebuie placata cu gresie si parchet. Cata gresie si cat parchet sunt necesare daca stim faptul ca suprafata gresiei din camera este cu 3,5 mp mai mare decat a parchetului.
Daca mai stim faptul ca pierderile sunt de 5 % cat parchet si cata gresie trebuie sa cumparam?
Solutie:

Mai intai calculam suprafata camerei.

Camera avand forma de dreptunghi, calculam aria acestuia.

A_{camera}=L\cdot l=11\cdot 4=44

Deci acum sa aflam suprafata care trebuie placata cu gresie si care trebuie placata cu parchet.
Notam cu x suprafata placata cu gresie si y suprafata placata cu parchet
x=3,5+y
Mai stim si ca x+y=44
Acum daca inlocuim x in ecuatia de mai jos obtinem:
3,5+y+y=44\Rightarrow 2y=44-3,5\Rightarrow 2y=40,5\Rightarrow y=20,25
Deci suprafata placata cu parchet este 20,25 mp
Acum sa aflam si suprafata pe care trebuie placata cu gresie:
x=3,5+y\Rightarrow x=3,5+20,25\Rightarrow x=23,75
Deci trebuie 23,75 mp gresie.

Acum sa aflam pierderile.

Daca stim ca pierderile sunt de 5%. Calculam 5\%\cot 20,25=\frac{5}{100}\cdot 20,25=\frac{1}{20}\cdot 20,25=\frac{20,25}{20}=1,0125
Deci trebuie cumparat inca 1,0125 mp de parchet.

Adica in total trebuie sa se cumpere:
20,25+1,0,125=21,2625, adica aproximatic 22 mp.
Iar pentru gresie calculam
5\%\cdot 23,75=\frac{1}{20}\cdot 23,75=\frac{23,75}{20}=1,1875
Deci mai trebuie cumparat in plus 1,1875 mp gresie
In total trebuie cumparat 23,75+1,1875=24,9375

Deci trebuie aproximativ 25 mp gresie.

Astfel am prezentat pentru Daniel, dar si pentru ceilalti cititori, o problema rezolvata cu aria dreptunghiului. Pentru alte rezolvari completati formularul si abonati-va.

Problemele rezolvate cu ecuatii si calcularea patratelor stiind formule de calcul prescurtat

PROBLEMA 1.

La magazin sunt la vanzare 765 pungi de faina, malai si zahar.Cate pungi sunt din fiecare daca faina si malai sunt 443 iar malai si zahar 453?

Solutie:

Notam  cu

x- pungile de faina

y- pungile de malai

z- pungile cu zahar

La magazin sunt la vanzare 765 pungi de faina malai si zahar

Acum formam ecuatiile

x+y+z=765

faina si malai sunt 443

x+y=443

malai si zahar 453, adica

y+z=453

Astfel avem cele trei ecuatii

x+y+z=765 (*)    \\x+y=443(**)    \\y+z=453(***)

Daca inlocuim in (*), ecuatia care am format-o la (**), adica stim ca x+y=443

443+z=765\Rightarrow z=765-443\Rightarrow z=322

Deci avem 322 de pungi de zahar.

Acum sa aflam si cate pungi de malai si zahar

Astfel din (***) stim ca y+z=453

Dar si ca

x+y+z=765

Astfel din (***) obtinem

x+453=765\Rightarrow x=765-453\Rightarrow x=312

Am gasit ca avem 312 pungi de  faina,

Acum sa aflam si cate pungi avem de malai, astfel daca inlocuim in (*), ceea ce stim, adica x si y obtine

x+y+z=765\Rightarrow 312+y+322=765\Rightarrow y+634=765\Rightarrow y=765-634\Rightarrow y=131

Deci sunt 131 pungi de malai.

Acum sa efectuam proba

x+y+z=765    \\322+131+312=765

Deci am rezolovat corect.

2)  Aplicand formula \left(a+b\right)^{2}=a+2\cdot a\cdot b+b

Calculati oral  41^{2}.

Solutie:

Daca luam $latex a=30$ si b=11 obtinem

\left(30+11\right)^{2}=30^{2}+2\cdot 30\cdot 11+^{2}=900+660+121=1681

 

Doua probleme rezolvate cu ecuatii si cu Teorema fundamentala a asemanarii

Din seria ” probleme rezolvate cu ecuatii  ” si ” probleme rezolvate cu teorema fundamentala ” prezentam doua astfel de probleme :

Suma a doua numere este 184.Jumatatea primului numar este cu 14 mai mare decat al doilea nr.Care sunt numerele?
Fie a primul numar si b cel de-al doilea numar.
Astfel avem suma celor doua numere 184, adica formam ecuatia
a+b=184
Mai stim si ca jumatatea primului numar este cu 14 mai mare decat al doilea nr.
\frac{1}{2}\cdot a=b+14\Rightarrow a=2\cdot\left(b+14\right)(*)
Acum inlocuim pe a in prima relatie si obtinem
a+b=184\Rightarrow 2\cdot\left(b+14\right)+b=184\Rightarrow 2b+28+b=184\Rightarrow 3b=184-28\Rightarrow 3b=156\Rightarrow b=\frac{156}{3}\Rightarrow b=52
Acum inlocuim in (*) si obtinem
a=2\cdot\left(52+14\right)\Rightarrow a=2\cdot 66\Rightarrow a=132.
Acum sa efectuam proba
a+b=132+52=184, adevarat.

2)In triungiul \Delta SPR, TQ||RP, T\in SP si Q\in SR, ST=3cm, TQ=7 cm, SP=10 cm. Calculati RP.
Demonstratie:

Stim din ipoteza ca TQ||RP, deci in triunghiul SPR aplicam Teorema

Problema rezolvata cu Teorema fundamentala a asemanarii

fundamentala a asemanarii
\frac{ST}{SP}=\frac{QT}{RP}=\frac{SQ}{SR}
Deci daca luam primele doua rapoarte
\frac{ST}{SP}=\frac{QT}{RP}\Rightarrow \frac{3}{10}=\frac{7}{RP}\Rightarrow RP=\frac{10\cdot 7}{3}=\frac{70}{3}\Rightarrow RP=\frac{70}{3}

Problema rezolvata cu ajutorul ecuatiilor

Prezentam o problema rezolvata cu ajutorul ecuatiilor

Intr-un tren se urca la Bucuresti un numar de persoane, la Titu coboara 37, iar la Pitesti se urca 18. Cate persoane s-au urcat la Bucuresti, daca la Craiova au ajuns 27?
Solutie:

Fie x-numarul de persoane

Obtinem ecuatia
x-37+18=27
Rezolvam ecuatia obtinuta:

x=37-18+27 (am trecut termenii liberi cu semn schimbat)
Si obtinem:

x=19+27\Rightarrow x=46

Deci de la Bucuresti s-au urcat 46 de persoane.

Efectuam proba

P: Din numarul persoanelor care s-au urcat la Bucuresti 37 au coborat la Titu, astfel obtinem
46-37=9 persoane au ramas dupa statia Titu, apoi la Pitesti s-au mai urcat 18 persoane, deci dupa Pitesti in tren avem 18+9=27 de persoane, adica numarul persoanelor care au coborat la Craiova.
Si mai stim ca 9 persoane au mers de la Bucuresti la Craiova.