Probleme care se rezolva cu ajutorul ecuatiilor in multimea numerelor intregi

Dupa ce am invatat sa rezolvam ecuatii si inecuatii in multimea numerelor intregi, dupa cum bine stiti vine vremea sa invatam sa rezolvam si probleme care se rezolva cu ajutorul ecuatiilor in multimea numerelor intregi.
De rezolvat probleme cu ajutorul ecuatiilor am mai invatat si in clasele mai mici diferenta este ca atunci am invatt sa rezolvam in multimea numerelor naturale sau rationale pozitive, iar acum si pentru numerele intregi.
Dar mai intai sa ne reamintim cu rezolvam ecuatiile si incuatiile in Z.
Rezolvati ecuatiile:
a) -2x+3=-9\rightarrow -2x+3-3=-9-3\Rightarrow -2x=(-9)+(-3)\Rightarrow -2x=-12\Rightarrow x=(-12):(-3)\Rightarrow x=4
Obserervati ca mai intai am scazut din ambii membri termenul liber 3, iar apoi am efectua impartirea numerelor intregi.
b) Notiunea noua care am mai invatat-o la numere intregi a fost modulul sau valoarea absoluta a unui numar intreg, asadar rezolvam si o ecuatie cand avem si modulul unei expresii.
2|2x+1|=8|:2\Rightarrow |2x+1|=8:2\Rightarrow |2x+1|=4
Observati ca in ambii membrii am impartit printr-un 2.
Dar de la  definitia modulului stim ca
|x|=x,\;\;\; daca\;\; x>0, astfel ecuatia devine
2x+1=4\Rightarrow 2x=4-1\Rightarrow 2x=3\Rightarrow x=\frac{3}{2}, si observam ca ecuatia nu are solutii in Z
Dar mai stim si ca
|x|=-x,\;\; daca\;\; x<0
Astfel ecuatia devine
-(2x+1)=4\Rightarrow -2x-1=4\Rightarrow -2x=4+1\Rightarrow -2x=5\Rightarrow x=\frac{5}{-2}\Rightarrow x=-\frac{5}{2}, la fel ca si mai sus ecuatia nu are solutii in Z.
2.Rezolvati inecuatiile in Z.
a) -5x+10\leq -12x+31
Observam ca nu avem o ecuatie de forma ax+b\leq c, deci trebuie sa o aducem la forma de mai sus, astfel avem
-5x+12x\leq 31-10\Rightarrow 7x\leq 21\Rightarrow x\leq 21:7\rightarrow x\leq 3, asadar solutiile inecuatiei sunt
x\in\left\{3, 2, 1, 0,-1, -2,.....,...\right\}
Dar avem si ineciatii de forma
|2x-1|\leq 5
Ca sa rezolvam inecuatia in care apare si modulul trebue sa tinem cont de regula
|x|\leq a\Rightarrow -a\leq x\leq a
Asadar inecuatia devine
-5\leq 2x-1\leq 5|+1\Rightarrow -5+1\leq 2x-1+1\leq 5+1\Rightarrow -4\leq 2x\leq 6|:2\Rightarrow -4:2\leq 2x:2\leq 6:2\Rightarrow -2\leq x\leq 3
Asadar solutia inecuatiei se afla intere numere -2 si 3, adica
x\in\left\{3, 2, 1, 0, -1, -2\right\}
Dar avem si inecuatii de forma
|2x-5|\geq 7
Regula pentru rezolvarea inecuatiilor de aceasta forma este:
|x|\leq a\Rightarrow x\leq a, dar si -a\leq x
Astfel avem:
2x-5\leq 7\Rightarrow 2x\leq 7+5\Rightarrow 2x\leq 12\Rightarrow x\leq 12:2\Rightarrow x\leq 6, deci solutia inecuatiei este:x\in\left\{6, 5, 4, 3, 2,.....,\right\}
Dar mai avem de rezolvat si inecuatia:
-7\leq 2x-5\Rightarrow 2x-5\geq -7\Rightarrow 2x\geq -7+5\Rightarrow 2x\geq -2\Rightarrow x\geq -2:2\Rightarrow x\geq -1
Adica solutia inecuatiei este x\in\left\{-1, 0, 1, 2, 3,....,...\right\}
Iar daca efectuam inetersectia celor doua inecuatii
\left\{6, 5, 4, 3, 2,.....,\right\}\cap \left\{-1, 0, 1, 2, 3,....,...\right\}=\left\{6, 5, 4, 3, 2, 1,0, -1\right\}
Adica x\in Z\ \left\{ 5, 4, 3, 2, 1,0, \right\}
Dar reintorcandu-ne la cea ce noi vrem sa discutam
Adica probleme care se rezolvam cu ajutorul ecuatiilor in Z.
dupa cum am zis probleme care se rezolva cu ajutorul ecuatiilor am mai rezolvat, dar acum ne reamintim etapele pe care trebuie sa le parcurgem pentru a rezolva problemele cu ajutorul ecuatiilor in Z:
– alegem necunoscuta, de cele mai multe ori alegem ca necunoscuta ceea ce ni se cere in problema
– scriem datele problemei in functie de necunoscuta aleasa
– punem problema in ecuatie
– rezolvam ecuatia
– verificam si interpretam rezultatul
Exemplu
1. Daca inmultim un numar cu 3, iar rezultatul il adunam cu 40, obtinem -260. Aflati numarul.
Solutie:
notam cu x numarul necunoscut
formam ecuatia
3\cdot x+40=-260
dupa ce am forma ecuatia rezolvam ecuatia:
3x=-260-40\Rightarrow 3x=-300\Rightarrow x=-300:2\Rightarrow x=-10
Deci numarul gasit este -100.
2.Tatal, mama si fiul au impreuna 96 de ani.Tata este cu 8 ani mai in varsta decat mama, iar fiul este cu 20 de ani mai tanar decat mama. aflati cati ani are fiecare.

Solutie:

Notam cu

– x varsta tatalui

– y varsta mamei

– y varsta fiului

Astfel avem ecuatia x+y+z=96 Tatal, mama si fiul au impreuna 96 de ani.

x=8+y Tatal este cu 8 ani mai in vatsta

z=y-20

astfel boservati ca in cazul de fata avem trei ecuatii cu trei necunoscute, daca inlocuim in prima ecuatie obtinem

8+y+y+y-20=96\Rightarrow 3y-12=96\Rightarrow 3y=96+12\Rightarrow 3y=108\Rightarrow y=108:3\Rightarrow y=36

Deci am obtinut ca mama are 36 ani, iar tata

x=8+y\Rightarrow x=8+36\Rightarrow x=44, adica tata are 44 ani, iar fiul z=y-20\Rightarrow z=36-20\Rightarrow z=16

Asadar este foarte important sa cunoastem etapele pe care trebuie sa le parcurgem pentru a rezolva probleme, dar si sa stim sa rezolvam ecuatii in multimea numerelor intregi.

 

Probleme rezolvate cu ajutorul metodei figurative

Prezentam o problema care se rezolva cu ajutorul metodei figurative, dar si una care se rezolva cu procente.

Petre citeste o carte in 3zile. In prima zi el citeste de doua ori mai mult decat in a doua zi. Iar in a 3-a zi citeste jumătate din numarul de pagini din a doua zi. Cartea are 56 de pagini. Afla cate a citit in fiecare zi?

Solutie:

Notam cu x a doua zi, cu y prima zi si cu z cea de-a treia zi.

Si stim ca in prima Petre citeste de doua ori mai mult decat in a doua zi.

y=2\cdot x

In a 3-a zi citeste jumătate din numarul de pagini din a doua zi.

z=\frac{1}{2}x

Si cartea are 56 de pagini, adica x+y+z=56

Astfel daca inlocuim in ultima ecuatie ceea ce stim mai sus obtinem

x+2x+\frac{1}{2}x=56\Rightarrow 3x+\frac{1}{2}x=56|\cdot 2\Rightarrow 2\cdot 3x+x=56\cdot 2\Rightarrow 6x+x=112\Rightarrow 7x=112\Rightarrow x=112:7\Rightarrow x=16

Deci in cea de-a doua zi Petre a citit 16 pagini, in prima zi a citit

y=2\cdot x\Rightarrow y=2\cdot 16=32

Iar in cea de-a treia zi a citit z=\frac{1}{2}\cdot x\Rightarrow x=\frac{1}{2}\cdot 16=\frac{16}{2}=16:2=8

Deci 8 pagini in a treia zi.

Altfel putem rezolva problema de mai sus cu ajutorul metodei figurative, astfel consideram segmentul :

Petre citeste o carte in 3zile. In prima zi el citeste de doua ori mai mult decat in a doua zi. Iar in a 3-a zi citeste jumătate din numarul de pagini din a doua zi. Cartea are 56 de pagini. Afla cate a citit in fiecare zi?

I zi —-

II zi —

II zi –

Si in cele trei zile a citit 56 de pagini, adica I+II+III=56

Adica 7-=56\Rightarrow -=56:7, adica -=8.

unde – reprezinta primul segment

Si am obtinut ca in a  treia zi a citit 8 pagini in a doua zi 8\cdot 2=16, iar in prima zi 8\cdot 4=32

2. Aflati cu ce procent se scumpeste un obiect stiind ca pretul initial este de 36 lei iar dupa scumpire el costa 43,2 .

Solutie:

36+p%36=43,2

Astfel incercam sa rezolvam ecuatia: p%36=43,2-36 si obtinem p%36=7,2

Adica p%=7,2:36

Dar

p%=0,2

Si astfel obtinem p=20 %

Deci obiectul s-a scumpit cu 20 %.