Cateva probleme rezolvate cu ajutorul ecuatiilor

Prezentam cateva probleme rezolvate cu ajutorul ecuatiilor. Pentru cei care nu stiti care sunt etapele pe care trebuie sa le parcurgem in rezolvatea problemelor click aici

Sa se afle 4 nr. consecutive impare, stiind ca, daca la suma lor marita de 8 ori se adauga 280 ,se obtine 2008 .

Solutie:

Consideram numerele naturale  impare: n, n+2, n+4, n+6

Si formam ecuatia: \left(n+n+2+n+4+n+6\right)\cdot 8+280=2008

Iar acum rezolvam ecuatia mai sus formata:

\left(4n+12\right)\cdot 8=2008-280\Rightarrow \left(4n+12\right)\cdot 8=1728\Rightarrow 4n+12=1728:8\Rightarrow 4n+12=216\Rightarrow 4n=216-12\Rightarrow 4n=204\Rightarrow n=204:4\Rightarrow n=51

Deci primul numar impar este 51, cel de-al doilea este n+2=51+2=53

Cel de-al treilea numar este n+4=51+4=55

Iar cel de=al patrulea n+6=51-6=57

Asadar numerele impare consecutive sunt 51; 53; 55; 57

 2. Consideram numerele in baza zece \bar{abc}\;\; \bar{cba}in care stim ca diferenta dintre numarul initial si rasturantul sau este 297, stiind ca b=3, aflati a si c.

Solutie: abc-cba=297,

Rescriind ecuatia  de mai sus obtinem: 100\cdot a+10\cdot b+1\cdot c-\left(c\cdot 100+10\cdot b+1\cdot a\right)=297

Stiind ca b=3 obtinem 100a+10\cdot 3+c-100c-10\cdot 3-a=297\Rightarrow 99a+30-99c-30=297\Rightarrow 99a-99c=297\Rightarrow 99\left(a-c\right)=297\Rightarrow a-c=297:99\Rightarrow a-c=3

Deci diferenta dintre primul numar si ultimul este 3, dar trebuie sa tinem cont si de faptul ca a, c\neq 0, dar si a<c

Pentru a=4, obtinem 4-c=3\Rightarrow 4-3=c\Rightarrow c=1

Asadar obtinem numarul 431

Iar rasturnatul sau este 134

Acum sa vedem daca se verifica 431-134=297

Deci se verifica.

Pentru a=5, obtinem 5-c=3\Rightarrow c=5-3=2

Si numarul gasit este 532 si rasturnatul sau este 235

La fel ca mai sus efectuam scaderea pentru a vedea daca se verifica 532-235=297

Deci se verifica.

Si asa mai departe pentru a=6, 7, 8, 9

 3. Cu 6 ani in urma varsta ficei era egala cu 0,2 din varsta mamei iar peste 9 ani varsta ficei va fi 0,5 din varsta pe care o va avea mama. Cati ani are fiecare in prezent?

Solutie:

Notam cu x varsta fiicei si cu y varsta mamei, astfel formam ecuatiile: x-6=0,2\cdot\left(y-6\right) (Cu 6 ani in urma varsta ficei era egala cu 0,2 din varsta mamei).

x+9=0,5\cdot\left(y+9\right) ( peste 9 ani varsta ficei va fi 0,5 din varsta pe care o va avea mama)

Astfel am obtinut doua ecuatii pe care incercam sa le rezolvam x-6=0,2\left(y-6\right)\Rightarrow x=\frac{2}{10}\left(y-6\right)+6\Rightarrow x=\frac{1}{5}\left(y-6\right)+6

Observati ca in prima ecuatie am scos necunoscuta x in functie de y pentru a putea inlocui in cea de-a doua ecuatie pentru a afla y, dar am transformat dintr-o fractie zecimala in fractie ordinara simplificand pe unde am putut, astfel inlocuind in cea de-a doua ecuatie obtinem: x+9=0,5\left(y+9\right)\Rightarrow \frac{1}{5}\left(y-6\right)+6+9=\frac{5}{10}\left(y+9\right)\Rightarrow \frac{1}{5}\left(y-6\right)+15=\frac{1}{2}\left(y+9\right)\Rightarrow ^{5)}\frac{y+9}{2}-^{2)}\frac{y-6}{5}=15\Rightarrow \frac{5\left(y+9\right)}{10}-\frac{2\left(y-6\right)}{10}=15\Rightarrow\frac{5y+45-2y+12}{10}=15\Rightarrow \frac{3y+57}{10}=15\Rightarrow 3y+57=150\Rightarrow 3y=150-57\Rightarrow 3y=93\Rightarrow y=93:3\Rightarrow y=31

Deci mama are 31 de ani, iar fiica: x=\frac{1}{5}\left(y-6\right)+6\Rightarrow x=\frac{1}{5}\left(31-6\right)+6\Rightarrow x=\frac{1}{5}\cdot 25+6\Rightarrow x=5+6=11

Asadar fiica are 11 ani.

 4. Trei frati au primit impreuna 130 de lei.dupa ce primul a cheltuit doua treimi din partea sa. Al doilea a cheltuit trei sferturi din partea sa, iar al treilea a cheltuit doua cincimi din partea sa. Cei trei frati au ramas cu suma egala de bani. Ce suma de bani exprimata in lei a primit fiecare dintre frati?
Solutie:
 Stim ca impreuna cei trei frati au 130 lei adica
– suma primului frate o notam cu x
-suma celui de-al   doilea frate cu y
– suma celui de-al treilea frate cu z
Astfel formam prima ecuatie:
x+y+z=130
 – x-\frac{2}{3}\cdot x=y-\frac{3}{4}\cdot y=z-\frac{2}{5}\cdot z\Rightarrow \frac{x}{3}=\frac{y}{4}=\frac{3z}{5}
Astfel avem ca:
\frac{1}{3}\cdot x=k\Rightarrow x=3\cdot k
\frac{y}{4}\cdot y=k\Rightarrow y=4\cdot k
Si \frac{3}{5}\cdot z=k\Rightarrow z=\frac{5}{3}\cdot k
Astfel daca inlocuim in prima ecuatie obtinem:
3\cdot k+4\cdot k+\frac{5}{3}\cdot k=130\Rightarrow 7k+\frac{5k}{3}=130\Rightarrow \frac{21k+5k}{3}=130\Rightarrow \frac{26k}{3}=130\Rightarrow k=\frac{130\cdot 3}{26}=\frac{390}{26}\Rightarrow k=15
Astfel primul a avut x=3\cdot k=3\cdot 15=45\;\; lei
Cel de-al doilea y=4\cdot 15=60\;\; lei
Iar cel de-al treilea z=\frac{5}{3}\cdot k=\frac{5}{3}\cdot 15=5\cdot 5=25 \;\; lei

Probleme rezolvate cu ajutorul ecuatiilor

La un concurs se acorda 6 puncte pentru o problema rezolvata corect si se scad 2 puncte pentru o problema rezolvata gresit.Maria a trimis la concurs 12 probleme rezolvate si a primit 48 de puncte .Cate probleme a rezolvat corect si cate a rezolvat gresit

Solutie:

Notam cu x problemele rezolvate corect

y problemele rezolvate gresit

Si acum formam ecutiile

x+y=12 (12 probleme rezolvate corecte sau incorecte)

6x-2y=48 (se acorda 6 puncte pentru un raspuns corect si se scad 2 puncte pentru un raspuns gresit)

Deci avem ecuatiile

x+y=12

dar si

6x-2y=48|:2\Rightarrow 3x-y=24

Acum din prima ecuatie avem:

x+y=12\Rightarrow y=12-x

Si daca inlocuim in cea de-a doua obtinem:

3x-y=24\Rightarrow 3x-\left(12-x\right)=24\Rightarrow 3x-12+x=24\Rightarrow 4x-12=24\Rightarrow 4x=24+12\Rightarrow 4x=36\Rightarrow x=36:4\Rightarrow x=9

Deci numarul problemelor rezolvate corect sunt 9, iar cele incorecte sunt in numar de:

y=12-9=3

Asadar numarul problemelor rezolvate incorect sunt in numar de 3

Acum daca efectuam proba obtinem:

6x-2y=48 ?

Adica 6\cdot 9-2\cdot 3=54-6=48 (Adica punctajul obtinut de Maria la concurs)

Ecuatia unei drepte care trece prin doua puncte distincte

Prezentam noi probleme care se rezolva cu ajutorul ecuatiilor, dar si cum calculam ecuatia unei drepte care trece prin doua puncte distincte, cat si exercitii simple pentru clasa a IV a. Pe deasupra mai prezentam si exercitii rezolvate cu progresii aritmetice, adica aflarea primilor n termeni ai unei progresii aritmetice.

Prima problema.

Mihai si fratele lui au impreuna 21 de ani. Varsta lui Mihai reprezina patru supra trei din varsta fratelui sau. Cati ani au fiecare?

Solutie:

Notam cu x varsta lui Mihai si y varsta fratelui sau

Astfel obtinem ecuatia:

x+y=21 (Mihai si fratele lui au 21 de ani)

x=\frac{4}{3}\cdot y

Astfel daca inlocuim cea de-a doua ecuatie in prima obtinem:

\frac{4}{3}\cdot y+y=21|\cdot 3\Rightarrow 4y+3y=21\cdot 3\Rightarrow 7y=63\Rightarrow y=63:7\Rightarrow y=9

Deci am obtinut ca fratele sau are varsta de 9 ani

Iar Mihai x=\frac{4}{3}\cdot y=\frac{4}{3}\cdot 9=\frac{4\cdot 9}{3}=\frac{36}{3}=36:3=12

Deci Mihai are 12 ani.

2. Calculati 1320:40+5x(15+17+2×4)-(200+480:160)=

Ca sa rezolvam exercitiul de mai sus trebuie sa tinem cont de ordinea efectuarii operatiilor si folosirea parantezelor, astfel mai intai in parantezele rotunde efectuam operatiile de inmultire si impartire 1320:40+5\cdot\left(15+17+8\right)-\left(200+3\right)=

33+5\cdot 40-203=33+200-203=233-203=30

3. Sa se determine ecuatia dreptei care contine pct. A(2,3) si B(-3,-2)

Ca sa determinam ecuatia dreptei care trece prin punctele A si B, mai intai ne reamintim formula invatata in clasa a X a, adica ecuatia carteziana a dreptei care trece prin doua puncte distincte A\left(x_{A}, y_{A}\right) si B\left(x_{B}, y_{B}\right) este

\frac{x-x_{A}}{x_{B}-x{A}}=\frac{y-y_{A}}{y_{B}-y_{A}}

Iar in cazul nostru obtinem \frac{x-2}{-3-2}=\frac{y-3}{-2-3}\Rightarrow \frac{x-2}{-5}=\frac{y-3}{-5}\Rightarrow x-2=y-3\Rightarrow x-2-y+3=0\Rightarrow x-y+1=0

4. Determinati nr. natural de trei cifre scrise in baza zece care impartite la 38 dau restul 7

Solutie:

Consideram numarul natural de trei cifre scrise in baza zece

abc

Stim ca numerele impartite la 38 dau restul 7.

Astfel cu teorema impartirii cu rest obtinem:

abc:38, obtinem c=catul si r=7

Astfel avem abc=38\cdot c+7, dar tebuie sa tinem cont si de conditia r<I, aica restul mai mic ca impartitorul.

Pentru c=1, obtinem numarul abc=38\cdot 1+7=38+7=45, dar numarul gasit este de trei cifre, iar numerele pe care noi le cautam sunt de trei cifre, astfel numerele noastre sunt cuprinse intre 100<abc<999

Pentru c=3, obtinem numarul:

abc=38\cdot 3+7=114+7=121

Pentru c=4 si obtinem abc=38\cdot 4+7=152+7=159

Pentruc=5 si obtinem abc=38\cdot 5+7=190+7=197

………………………

Pentru c=26, obtinem abc=38\cdot 26+7=988+7=995

5. Rezolvati ecuatia

5x+3x(2-4)=8

Ca sa rezolvam ecuatia de mai sus efectuam calculele din paranteza rotunda: 5x+3x\cdot\left(-2\right)=8\Rightarrow 5x-6x=8\Rightarrow -x=8\Rightarrow x=-8

6. Calculati suma

S = 8+11+14+…+44

Ca sa calculam suma de mai sus, observam mai intai ca sunt termenii consecutivi ai unei progresii aritmetice, astfel mai intai aflam ratia progresiei aritmetice:

8, 11, 14,…, 44

astfel ratia este r=11-8=3

Acum sa aflam cati termeni are suma pentru a o putea calcula, iar pentru asta folosim formula termenului general de la progresiile aritmetice si obtinem:

a_{n}=a_{1}+\left(n-1\right)\cdot r\Rightarrow 44=8+\left(n-1\right)\cdot 3\Rightarrow 44-8=\left(n-1\right)\cdot 3\Rightarrow 36=\left(n-1\right)\cdot 3\Rightarrow 36:3=n-1\Rightarrow 12=n-1\Rightarrow n=12+1\Rightarrow n=13

Deci avem 13 termeni ai sumei si stim ca a_{1}=8, fiind primul termen a_{n}=44 fiind ultimul termen, iar suma termenilor se calculeaza cu formula

S_{n}=\frac{\left(a_{1}+a_{n}\right)\cdot n}{2} (suma primilor n termeni)

In cazul nostru S_{13}=\frac{\left(8+44\right)\cdot 13}{2}=\frac{52\cdot 13}{2}=\frac{26\cdot 13}{1}=338

Deci obtinem ca 8+11+14+...+44=338

Probleme rezolvate cu ajutorul ecuatiilor

Sa mai rezolvam niste probleme pentru dragii nostrii vizitatori.

1. David are un numar de jucarii. Triplul jumatatii acestui numar micsorat cu jumatatea jumatatii numarului respectiv devine 20. Cate jucarii are David?

Rezolvarea problemei:

Notam numarul jucariilor cu x
Si formam ecuatia: 3\cdot x\cdot\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot x=20
Asadar avem ecuatia: \frac{3x}{2}-\frac{x}{4}=20|\cdot 4\Rightarrow \frac{3x}{2}\cdot 4-\frac{x}{4}\cdot 4=20\cdot 4\Rightarrow 3x\cdot 2-x=80\Rightarrow 6x-x=80\Rightarrow 5x=80\Rightarrow x=80:5\Rightarrow x=16
Deci numarul jucariilor lui David este 16.

Acum efectuam proba: \frac{3x}{2}=\frac{3\cdot 16}{2}=\frac{48}{2}=48:2=24 triplul jumatatii acestui numar
Micsorat cu jumatatea jumatatii numarului respectiv 24-\frac{1}{4}\cdot 16=24-\frac{16}{4}=24-16:4=24-4=20 devine 20, ceea ce se verifica.

2. S = 8+11+14+…+44
Observam ca termenii sumei se afla in progresie aritmetica.
Ca sa calculam suma de mai sus folosim progresiile aritmetice:
Astfel avem ca: a_{1}=8, a_{2}=11.... a_{n}=44
Mai intai aflam ratia, astfel avem : r=a_{2}-a_{1}=11-8=3
Dar cu formula termenului general stim ca a_{n}=a_{1}+\left(n-1\right)\cdot r\Rightarrow 44=8+\left(n-1\right)\cdot 3\Rightarrow \left(n-1\right)\cdot 3=44-8\Rightarrow \left(n-1\right)\cdot 3=36\Rightarrow n-1=36:3\Rightarrow n-1=12\Rightarrow n=12+1\Rightarrow n=13

Deci stim ca in suma avem 13 termenii, iar in progresie aritmetica suma primilor n termenii este S_{n}=\frac{\left(a_{1}+a_{n}\right)\cdot n}{2}
Dar noi cum avem 13 termenii, obtinem S_{13}=\frac{\left(a_{1}+a_{13}\right)\cdot 13}{2}=\frac{\left(8+44\right)\cdot 13}{2}=\frac{52\cdot 13}{2}=\frac{676}{2}=338

Asadar suma primilor 13 termenii este 338.
Deci suma S=8+11+14+…+44=338

Probleme rezolvate cu ajutorul ecuatiilor

Astazi revenim cu 2 rezolvari foarte simple care folosesc ecuatii. Pentru a rezolva problemele cu ajutorul ecuatiilor trebuie sa tinem cont de etapele pe care trebuie sa le parcurgem pentru a rezolva ecuatiile, cei care nu vi le mai reamintiti click aici

Un taran are de 5 ori mai multe gaini decat rate. Daca vinde 5 gaini si cumpara 3 rate, atunci numarul gainilor devine de 3 ori mai mare decat al ratelor. Cate gaini si cate rate a avut taranul?

Solutie:

Notam cu x numarul gainilor si y numarul ratelor

Astfel formam ecuatia:

x=5\cdot y de 5 ori mai multe gaini decat rate

Dar si ecuatia x-5=3\cdot\left(y+3\right)

Cum am format cele doua ecuatii rezolvam ecuatia:

x-5=3\cdot y+3\cdot 3\Rightarrow x-5=3y+9\Rightarrow x=3y+9+5\Rightarrow x=3y+14

Astfel cu prima relatie obtinem: 5y=3y+14\Rightarrow 5y-3y=14\Rightarrow 2y=14\Rightarrow y=14:2\Rightarrow y=7

Asadar am obtinut ca numarul ratelor este 7

Acum sa aflam numarul gainilor.

y=5\cdot y=5\cdot 7=35, deci numarul gainilor este 35.

2. Ionut cheltuieste o suma de bani astfel: prima data \frac{2}{5}  din suma, a doua oara \frac{5}{6} din rest, ramanandu-i 5 lei ce suma a avut?

Solutie

Notam cu S suma de bani.

Stim ca prima data cheltuieste \frac{2}{5} din suma, astfel formam ecuatia:

S-\frac{2}{5}\cdot S=\frac{5S-2S}{5}=\frac{3S}{5}

A doua oara \frac{5}{6}\cdot\frac{3S}{5}=\frac{S}{2}

Adica ^{2)}\frac{3S}{5}-^{5)}\frac{S}{2}=\frac{6S}{10}-\frac{5S}{10}=\frac{6S-5S}{10}=\frac{S}{10}

Iar ultima data i au ramas 5 lei astfel avem ecuatia \frac{x}{10}-2=0\Rightarrow \frac{x}{10}=2\Rightarrow x=20\;\; lei

Deci suma pe care a avuta ionut este de 20 lei

Asadar este foarte important sa cunoastem etapele pe care trebuie sa le parcurgem pentru a rezolva problemele, dar si sa formam ecuatiile corect, cu notiunile din ipoteza.

Probleme rezolvate cu Teorema impartirii cu rest

Sa mai rezolvam cateva probleme folosind teorema impartirii cu rest.

1. Tatal are 42 de ani, iar cei doi copii ai sai au varsta/varstele de 12 ani si respectiv 14 ani. Peste cati ani varsta tatalui va fi egala cu suma varstelor copiilor?

Solutie:
Stim ca tatal are 42 ani, iar cei doi copii au varsta de 12 ani si 14 ani.
Astfel formam ecuatiile:
42=x+12+14\Rightarrow 42=x+26\Rightarrow x=42-26\Rightarrow x=16
Asadar peste 16 ani varsta tatalui va fi egala cu suma varstelor copiilor.

2. Suma a doua numere intregi este 63. Impartind unul dintre numere la celalalt, se obtine catul 2 si restul 9. Aflati numerele.

Solutie:
Notam cu x si y cele doua numere.
Si formam ecuatia x+y=63 Suma a doua numere intregi este 63.
x:y, catul c=2 si r=9
Folosind Teorema impartirii cu rest obtinem x=2\cdot y+9
Deci am obtinut ecuatiile: x+y=63
Si x=2y+9
Inlocuind cea de-a doua ecuatie in prima obtinem:
x+y=63\Rightarrow 2y+9+y=63\Rightarrow 3y+9=63\Rightarrow 3y=63-9\Rightarrow 3y=54\Rightarrow y=54:3\Rightarrow y=18
Iar x=2\cdot y+9=2\cdot 18+9=36+9=45

Daca mai aveti si alte probleme in care trebuie sa aplicati teorema impartirii cu rest va recomandam sa folositi acest model de rezolvare. Pentru alte exercitii si probleme va stam la dispozitie.

Probleme rezolvate pentru Lorena

1) Daca dublul unui nr. este 3intregi 1/5 aflati nr respectiv

Solutie:
Fie x numarul
Astfel obtinem ecuatia
2\cdot x=3\frac{1}{5}
Rezolvam acum ecuatia, astfel mai intai introducem intregii in fractie:
2x=\frac{3\cdot 5+1}{5}\Rightarrow 2x=\frac{15+1}{5}\Rightarrow x=\frac{\frac{16}{5}}{2}\Rightarrow x=\frac{16}{5\cdot 2}=\frac{16}{10}^{(2}=\frac{8}{5}
Deci numarul respectiv este \frac{8}{5}
Acum efectuam proba:
2\cdot \frac{8}{10}=\frac{2\cdot 8}{10}=\frac{16}{10}=\frac{16}{5}
Acum scoatem intregii din fractie obtinem:
16:5=3\;\; rest 1
Astfel fractia ordinara este:
\frac{16}{5}=3\frac{1}{5}

2)aflati un nr. daca suma dintre acesta si dublul sau este egala cu 6 intregi si 3/4

Solutie:

Fie y numarul, acum formam ecuatia
y+2\cdot y=6\frac{3}{4}
Acum rezolvam ecuatia:
y+2y=\frac{6\cdot 4+3}{4}\Rightarrow 3y=\frac{24+3}{4}\Rightarrow 3y=\frac{27}{4}\Rightarrow y=\frac{\frac{27}{4}}{3}\Rightarrow y=\frac{27}{4}:\frac{3}{1}\Rightarrow x=\frac{27}{4}\cdot \frac{1}{3}\Rightarrow y=\frac{9}{4}
3) Daca marim un nr. cu 3/2 obtinem 7/3 .Aflati nr. respectiv.

Solutie:
Fie z numarul:
z+\frac{3}{2}=\frac{7}{3}
Acum rezolvam ecuatia:
z=^{2)}\frac{7}{3}-^{3)}\frac{3}{2}\Rightarrow z=\frac{2\cdot 7-3\cdot 3}{6}=\frac{14-9}{6}\Rightarrow z=\frac{5}{6}

4) Aflati un nr. daca o jumatate din acesta marita cu 0,(6) este egala cu 4,1(6)

Solutie:
Fie x numarul
\frac{1}{2}\cdot x+0,\left(6\right)=4,1\left(6\right)
Acum rezolvam ecuatia:
\frac{x}{2}+\frac{6}{9}=\frac{416-41}{90}\Rightarrow \frac{x}{2}+\frac{2}{3}=\frac{375}{90}^{(15}\Rightarrow \frac{x}{2}=\frac{25}{6}-\frac{2}{3}\Rightarrow \frac{x}{2}=\frac{1\cdot 25-3\cdot 2}{6}\Rightarrow \frac{x}{2}=\frac{25-6}{6}\Rightarrow \frac{x}{2}=\frac{19}{6}\Rightarrow x=\frac{19}{6}\cdot 2\Rightarrow x=\frac{19}{3}

5) Aflati un nr. daca diferenta dintre acesta si 3 cincimi din el este egala cu 18

Solutie
Fie w numarul:
Acum formam ecuatia:
w-\frac{3}{5}\cdot w=18
Acum rezolvam ecuatia:
w-\frac{3w}{5}=18\Rightarrow \frac{5\cdot w+3w}{5}=18\Rightarrow \frac{5w-3w}{5}=18\Rightarrow \frac{2w}{5}=18\Rightarrow w=18\cot\frac{5}{2}\Rightarrow w=9\cdot\frac{5}{1}=45

Probleme rezolvate cu ajutorul ecuatiilor pt. 3 vizitatori

Sa mai vedem cateva probleme rezolvate cu ajutorul ecuatiilor pentru vizitatorii MatePedia.ro

Problema rezolvata pentru Manta

Pentru 10 coperti de caiet si 8 coperti de carte, Ioana a platit 30,90lei. Pentru 12 coperti de caiet si 4 coperti de carte de acelasi tip, George a platit 24,20lei. Care este pretul unei coperti de carte? Dar al unei coperti de caiet?
Solutie:
Notam cu x coperti de caiet
y- coperti de carte
Acum formam ecuatiile
10\cdot x+8\cdot y=30,90 (10 coperti de caiet si 8 coperti de carte,Ioana a platit 30,90lei)
12\cdot x+4\cdot y=24,20 (pentru 12 coperti de caiet si 4 coperti de carte de acelasi tip, George a platit 24,20lei)
Acum aflam necunoscutele
10x+8y=30,90|:2\Rightarrow 5x+4y=15,45\Rightarrow 4y=15,45-5x
Acum daca inlocuim ce am gasit mai sus in ecuatia a doua obtinem:
12x+4y=24,20\Rightarrow 12x+15,45-5x=24,20\Rightarrow 7x=24,20-15,45\Rightarrow 7x=8,75|:7\Rightarrow x=8,75:7\Rightarrow x=1,25
Deci o coperta de caiet costa 1,25 lei.
Acum sa aflam cat costa copertile de carte:
4y=15,45-5x\Rightarrow 4y=15,45-5\cdot 1,25\Rightarrow 4y=15,45-6,25\Rightarrow 4y=9,2\Rightarrow y=9,2:4\Rightarrow y=2,3
Deci o coperta de caiet costa 2,3 lei.
Acum efectuam proba:
10\cdot x+8\cdot y=10\cdot 1,25+8\cdot 2,3=12,5+18,4=30,9
Deci se verifica.

Problema rezolvata pentru Manta.

Suma a 3 numere este 19. Se stie ca al doilea numar este de 1,2 ori mai mare decat primul numar, iar al treilea numar este cu 2 mai mare decat al doilea numar. Aflati cele trei numere.
Solutie:
Notam cu x, y, z cele trei numere, x fiind primul numar, y cel de-al doilea, z cel de-al treilea
Acum formam ecuatiile:
x+y+z=19 Suma a trei numere este 19
y=1,2\cdot x al doilea numar este de 1,2 ori mai mare decat primul numar
z=y+2\Rightarrow z=1,2x+2
Acum daca inlocuim in prima relatie obtinem:
x+1,2x+1,2x+2=19\Rightarrow x+2,4x=19-2\Rightarrow 3,4x=17\Rightarrow x=17:3,4|\cdot 10\Rightarrow x=170:34\Rightarrow x=5
Deci primul numar este 5, acum sa aflam cel de-al doilea numar:
y=1,2\cdot x=1,2\cdot 5=6,0=6
Iar cel de-al treilea numar este
z=y+2=6+2=8
Acum efectuam proba:
x+y+z=19|?\Rightarrow 5+6+8=19

Problema rezolvata pentru Roli

Dintr-un depozit de fructe si legume s-au scos 0.2 din intreaga cantitate apoi o sesime din totalul existent initial. Stiind ca s-au scos in total 520kg de fructe si legume sa se afle ce cantitate a fost in depozit si cat s-a scos de fiecare data.
Solutie
Notam cu x catitatea de fructe:
Acum formam ecuatia:
x-0,2\cdot x-\frac{1}{6}\cdot 0,8x=520
Acum rezolvam ecuatia:
x-0,2x-\frac{0,8x}{6}=520\Rightarrow 0,8x-\frac{0,8x}{6}=520|\cdot 6\Rightarrow 0,8x\cdot 6-0,8x=520\cdot 6
\Rightarrow 4,8x-0,8x=3120\Rightarrow 4,0x=3120\Rightarrow 4x=3120:4\Rightarrow x=780
Deci intreaga cantitate de fructe a fost de 780 Kg.

Acum sa aflam cat s-a scos de fiecare data
x-0,2x=780-0,2\cdot 780=624
Dar si \frac{1}{6}\cdot 0,8\cdot x=\frac{1}{6}\cdot 624=\frac{1}{6}\cdot 624=104
Acum efectuam si proba x-0,2\cdot x-\frac{1}{6}\cdot 0,8x=780-0,2\cdot 780-104=780-156-104=520
Deci se verifica