Probleme rezolvate cu ajutorul metodei figurative

Prezentam o problema care se rezolva cu ajutorul metodei figurative, dar si una care se rezolva cu procente.

Petre citeste o carte in 3zile. In prima zi el citeste de doua ori mai mult decat in a doua zi. Iar in a 3-a zi citeste jumătate din numarul de pagini din a doua zi. Cartea are 56 de pagini. Afla cate a citit in fiecare zi?

Solutie:

Notam cu x a doua zi, cu y prima zi si cu z cea de-a treia zi.

Si stim ca in prima Petre citeste de doua ori mai mult decat in a doua zi.

y=2\cdot x

In a 3-a zi citeste jumătate din numarul de pagini din a doua zi.

z=\frac{1}{2}x

Si cartea are 56 de pagini, adica x+y+z=56

Astfel daca inlocuim in ultima ecuatie ceea ce stim mai sus obtinem

x+2x+\frac{1}{2}x=56\Rightarrow 3x+\frac{1}{2}x=56|\cdot 2\Rightarrow 2\cdot 3x+x=56\cdot 2\Rightarrow 6x+x=112\Rightarrow 7x=112\Rightarrow x=112:7\Rightarrow x=16

Deci in cea de-a doua zi Petre a citit 16 pagini, in prima zi a citit

y=2\cdot x\Rightarrow y=2\cdot 16=32

Iar in cea de-a treia zi a citit z=\frac{1}{2}\cdot x\Rightarrow x=\frac{1}{2}\cdot 16=\frac{16}{2}=16:2=8

Deci 8 pagini in a treia zi.

Altfel putem rezolva problema de mai sus cu ajutorul metodei figurative, astfel consideram segmentul :

Petre citeste o carte in 3zile. In prima zi el citeste de doua ori mai mult decat in a doua zi. Iar in a 3-a zi citeste jumătate din numarul de pagini din a doua zi. Cartea are 56 de pagini. Afla cate a citit in fiecare zi?

I zi —-

II zi —

II zi –

Si in cele trei zile a citit 56 de pagini, adica I+II+III=56

Adica 7-=56\Rightarrow -=56:7, adica -=8.

unde – reprezinta primul segment

Si am obtinut ca in a  treia zi a citit 8 pagini in a doua zi 8\cdot 2=16, iar in prima zi 8\cdot 4=32

2. Aflati cu ce procent se scumpeste un obiect stiind ca pretul initial este de 36 lei iar dupa scumpire el costa 43,2 .

Solutie:

36+p%36=43,2

Astfel incercam sa rezolvam ecuatia: p%36=43,2-36 si obtinem p%36=7,2

Adica p%=7,2:36

Dar

p%=0,2

Si astfel obtinem p=20 %

Deci obiectul s-a scumpit cu 20 %.

Procentele Cresteri si scaderi cu procente

Despre Procente am mai discutat si in clasa a V-a, dar acum notiunea noua pe care o introducem este Cresteri si scaderi cu procente .

Astfel,inainte de a aprofunda notiunea de cresteri si scaderi cu procente, sa ne reamintim cea ce am invatat, adica ce sunt procentele:

Stim ca, daca p% din x este egal cu y, scriem: \frac{p}{100}x=y.

In relatia de mai sus p% reprezinta raportul procentual, x se numeste intregul, iar y reprezinta parte corespunzatoare din intreg .

Determinarea a p% dintr-un numar x dat (ne lipseste y)

p% din x=\frac{p}{100}x

Exemplu:

O banca da dobanda anuala de 17%. Ce dobanda va primi dupa un an un client care are o depunere de 500 lei.

Solutie

Calculam \frac{17}{100}\cdot 500=\frac{17\cdot 500}{100}=\frac{8500}{100}=85 lei.

Deci dobanda pe care o va primi clientul va fi de 85 de lei.

Aflarea unui numar cand se stie p% din el (lipseste x).

p\%\;\; din x=y\Rightarrow \frac{p}{100}x=y\Rightarrow y=x:\frac{p}{100}=x\cdot\frac{100}{p}.

Exemplu:

O gospodina a cheltuit la piata 60% din suma pe care o avea, adica 90 de lei . Ce suma avea o gospodina la ea?

Solutie:

Observati ca stim raportul procentual, dar nu stim cea ce este dupa „din”, adica intregul, Deci problema o sa o rezolvam cu ajutorul unei ecuatii.

-fie x suma de bani

Deci obtinem:

60\%\;\; din x=90\;\;\;lei\Rightarrow \frac{60}{100}^{(20}\cdot x=90\;\;\;lei\Rightarrow

\frac{3}{5}\cdot x=90\Rightarrow

x=90:\frac{3}{5}\Rightarrow

x=90\cdot\frac{5}{3}\Rightarrow

x=\frac{90\cdot 5}{3}\Rightarrow x=\frac{450}{3}\Rightarrow x=150\;\;\; lei

Deci gospodina a avut la piata 150 de lei.

Cum aflam raportul procentual? (lipseste p%)

\frac{p}{100}\cdot x=y

Exemplu:

O gospodina cheltuieste la piata 90 de lei din cei 150 de lei pe care ii avea. Cat la suta din suma a cheltuit la piata?

Astfel avem:

p\% 150=90\;\;\;lei\Rightarrow \frac{p}{100}\cdot 150=90\Rightarrow p=\frac{100\cdot 90}{150}\Rightarrow p=\frac{9000}{150}\Rightarrow p=60. Deci

p\%=60\%.

Cresteri si scaderi cu p%.

Exemplu

Un produs ce costa 400 de lei se scumpeste cu 20%. Cat costa produsul?

Solutie

Calculam mai intai cu cat se scumpeste produsul, astfel avem:

\frac{20}{100}\cdot 400=\frac{20\cdot 400}{100}=\frac{8000}{100}^{(100}=\frac{80}{1}=80\;\;lei

Deci produsul costa:

400+80=480 lei.

Probleme

1) Se stie ca 21% dintr-o cantitate de lapte este smantana, iar 25% dintr-o cantitate de smantana este unt.Aflati din cate kilograme de lapte se pot obtine 52,5 kg de unt.

Solutie:

Fie x- cantitatea de lapte

y- cantitatea de smantana

z- cantitatea de unt

Astfel obtinem ecuatia:

21\%\;\;\;din\;\;\; x=y

Si

25\%\;\;\; din \;\;\;y=z

Dar stim ca z=52,5 kg.

Astfel obtinem:

25\%\;\;\; din \;\;\;y=z\Rightarrow \frac{25}{100}y=52,5\Rightarrow \frac{1}{4}y=52,5\Rightarrow y=4\cdot 52,5\Rightarrow y=210

Deci avem 210 kg de smantana

Acum ca sa aflam cantitatea de lapte calculam

21\%\;\;\;din\;\;\; x=y\Rightarrow\frac{21}{100}\cdot x=y\Rightarrow

\frac{21}{100}\cdot x=210\Rightarrow x=210:\frac{21}{100}\Rightarrow

x=210\cdot \frac{100}{21}\Rightarrow x=\frac{21000}{21}^{(21}\Rightarrow x=1000

Deci cantitatea de lapte este de 1000 de kg.

2) Dupa o reducere de 6% si o alta de 5% un produs  costa 178,6 lei. Aflati pretul initial.

Fie x-pretul initial al produsului, astfel obtinem ecuatia:

x-6\%\cdot x-5\%\left(x-6\%\cdot x\right)=178,6\;\;\;lei

Acum rezolvam ecuatia:

x-\frac{6}{100}^{(2}\cdot x-\frac{5}{100}^{(5}\left(x-\frac{6}{100^{(2}}x\right)=178,6\Rightarrow    x-\frac{3}{50}\cdot x-\frac{1}{20}\left(x-\frac{3}{50}x\right)=178,6\Rightarrow    \frac{50x-3x}{50}-\frac{1}{20}\left(\frac{50x-3x}{50}\right)=178,\Rightarrow    \frac{47x}{50}-\frac{1}{20}\cdot\frac{47x}{50}=178,6\Rightarrow    \frac{47x}{50}-\frac{1\cdot 47x}{20\cdot 50}=178,6\Rightarrow    ^{20)}\frac{47x}{50}-^{1)}\frac{47x}{1000}=178,6\Rightarrow \frac{20\cdot 47x-1\cdot 47x}{1000}=178,6\Rightarrow \frac{940x-47x}{1000}=178,6\Rightarrow \frac{893x}{1000}=178,6\Rightarrow x=178,6:\frac{893}{1000}\Rightarrow x=178,6\cdot \frac{1000}{893}\Rightarrow x=\frac{178,6\cdot 1000}{893}\Rightarrow x=\frac{178600}{893}\Rightarrow x=200

Deci pretul initial al produsului este de 200 lei.