Rezolvarea problemelor simple cu ajutorul ecuatiilor

1)  5 kg de mere si 3 kg pere au costat 27000 lei,iar 7 kg mere si 3 kg pere au costat 34200 lei. Cati lei a costat 1 kg mere si cati lei a costat 1 kg pere?

Solutie: Notam cu

– x Kg de mere

– y Kg de pere

astfel obtinem ecuatiile

5x+3y=27000    \\7x+3y=34200

Daca din prima ecuatie scoatem 3y obtinem:

3y=27000-5x

Iar acum daca inlocuim in cea dea doua ecuatie obtinem

7x+27000-5x=34200\Rightarrow 7x-5x=34200-27000\Rightarrow 2x=7200\Rightarrow x=3600\;\; lei

Deci  1 Kg de mere costa 3600 lei

Acum sa aflam cat costa 1 Kg de pere

3y=27000-5\cdot 3600\Rightarrow 3y=27000-18000\Rightarrow 3y=9000\Rightarrow y=9000:3\Rightarrow y=3000

Deci kg de pere costa 3000 lei.

2) O echipa avea de asfaltat o portiune de sosea.A asfaltat in prima saptamana 2/5 din lungimea soselei, a doua saptamana 5/6 din rest, iar a treia saptamana restul de 568 m. Ce lungime avea soseaua ce a fost asfaltata?

Solutie notam cu x lungimea soselei

Astfel in prima saptamana a asfaltat

\frac{2}{5}\cdot x

A doau saptamana

\frac{5}{6}\left(x-\frac{2}{5}\cdot x\right)

A treia saptamana  568 de metri.

Astfel formam ecuatia

x-\frac{2}{5}x+\frac{5}{6}\left(x-\frac{2}{5}x\right)-568=0\Rightarrow    x-\frac{2}{5}x-\frac{5}{6}\left(\frac{5x-2x}{5}\right)-568=0\Rightarrow    \frac{5x-2x}{5}-\frac{5}{6}\cdot \frac{3x}{5}-568=0\Rightarrow    \frac{3x}{5}-\frac{x}{2}-568=0\Rightarrow    \frac{2\cdot 3x-5\cdot x}{10}=568\Rightarrow \frac{6x-5x}{10}=568\Rightarrow \frac{x}{10}=568\Rightarrow x=10\cdot 568\Rightarrow x=5680

Deci soseaua avea o lungime de 5680 m

 

Aflarea unei fractii dintr-un numar Procente

O intrebare fireasca este Cum aflam o fractie dintr-un numar? Pana in acest moment am definit notiunea de fractie si am invatat cand o fractie este subunitara sau supraunitara.

O alta notiune pe care o mai discutam este procentul .Sigur, ati mai auzit la televizor vorbindu-se despre procente. Adica benzina se va scumpi cu 2 sau 3 procente. Poate in acel moment nu ati inteles despre ce este vorba, tocmai din acest motiv o sa intelegem acum.

Incepem prin a discuta despre Aflarea unei fractii dintr-un numar

Pentru a afla o fractie dintr-un numar natural se inmulteste fractia cu acel numar adica  numaratorul cu numarul si se impart la numitor.

Adica, \frac{a}{b} din n este egal cu

\frac{a}{b}\cdot n=\frac{a\cdot n}{b}

Exemplu:

1) \frac{1}{2} din 150 kg este egal cu \frac{1}{2}\cdot 150=\frac{1\cdot 150}{2}=\frac{150}{2}=75 kg

2) \frac{3}{4} din 140 m este egal cu \frac{3\cdot 140}{4}=\frac{420}{4}=105.

3) \frac{2}{3} din 120 l este egal cu \frac{2\cdot 120}{3}=\frac{240}{3}=80 l.

Procentul

Acum procentul se exprima sub forma unei fractii cu numitorul 100 \left(\frac{p}{100}\right).

Procentul se mai scrie p% (asa ati vazut ca se folosete mai mult la televizor) si se citeste p la suta sau p procente.

Astfel p% din n este egal cu \frac{p}{100}\cdot n=\frac{p\cdot n}{100}.

Exemlu:

1) 17% din 2 400 este egal cu \frac{17}{100}\cdot 2400=\frac{17\cdot 2400}{100}=\frac{40800}{100}=408

2) 71% din 21 300 este egal cu \frac{71}{100}\cdot 21 300=\frac{71\cdot 21 300}{100}=\frac{1512300}{100}=15123.

Exercitii

1) Calculati

a) \frac{7}{9} din 3124 este egal cu \frac{7}{9}\cdot 3124=\frac{7\cdot 3124}{9}=\frac{28116}{9}=3124.

b) \frac{125}{75} din 624 este egal cu \frac{125}{75}\cdot 624=\frac{125\cdot 624}{75}=\frac{78000}{75}=1040.

c) \frac{4}{11} din 583 este egal cu \frac{4}{11}\cdot 583=\frac{4\cdot 583}{11}=\frac{2332}{11}=212.

2) Un calator are de parcurs distanta de 125 km. El a parcurs \frac{7}{25} din distanta.

a) Calculati ce distanta a parcurs

b) Calculati ce distanta mai are de parcurs

Solutie

Ca sa aflam ce distanta a parcurs calculam \frac{7}{25} din 125, astfel:

\frac{7}{25}\cdot 125=\frac{7\cdot 125}{25}=\frac{875}{25}=35 km, deci calatorul a parcurs 35 de km si mai are de parcurs

125=35=90 km.

3) Mihai afirma ca pretul unei carti s-a micsorat cu 10 procente. Calculati pretul pe care trebuie sa-l platesca Mihai, stiind ca pretul initial a fost de 10 lei.

Solutie

Cum stim ca pretul initial al cartii este de 10 lei si stim ca s-a micsorat cu 10 la suta , adica din pretul intial scadem 10 procente, adica \frac{10}{100}\cdot 10=\frac{100}{100}=1 lei, deci pretul intial al cartii s-a micsorat cu 1 lei, adica

Mihai  a cumparat cartea cu 10 lei-1 lei=9 lei.

 

Deci noul pret al cartii este de 9 lei.

4) Un teren agricol are 2 400 de hectare. Din acesta \frac{5}{8} s-a cultivat cu porumb, \frac{4}{9} din rest s-a cumtivat cu grau, iar restul cu sfecla.

a) Calculati suprafata  cultivata cu proumb si apoi suprafata care s-a cultivat cu grau?

 

 

Solutie

a) Ca sa calculam suprafata cultivata cu prumb calculam \frac{5}{8} din 2 400 hectare, astfel

\frac{5}{8}\cdot 2 400=\frac{5\cdot 2 400}{8}=\frac{12000}{8}=1500

S-a cumtivat 1500 hectare.

Calculam 2 4 00-1500=900 hectare ramase necultivate

Mai stim ca s-a mai cultivat \frac{4}{9} din rest grau,  adica \frac{4}{9} din 900, astfel

\frac{4}{9}\cdot 900=\frac{4\cdot 900}{9}=\frac{3600}{9}=400

Deci 400 de hectare s-au cultivat cu grau.

Acum calculam sa aflam ce suprafata este cultivata cu sfecla, adica (restul din hectare sunt cultivate cu sfecla)

900-400=500 hectare.

Deci 500 de hectare sunt cultivate cu sfecla.