Cum sa recapitulam mai usor pentru Simulare Bacalaureat

Vreti sa aflati cum sa recapitulam mai usor pentru Simulare Bacalauret?

Raspunsul ar fi ca ar trebui sa incepem prin a ne reaminti temele pe care le avem pentru aceste examen, iar noi propunem sa incepem cu clasa a IX a. Asadar primul capitol ari fi progresiile, atat aritmetice cat si geometrice. Pentru cei care nu va mai reamintiti ce inseamna click aici.

Iar acum rezolvam cateva exercitii care s-au dat la examenele de Bacalaureat.

1. Intr-o progresie aritmetica \left(a_{n}\right){n\geq 1} avem a_{2}=7 si a_{10}=15. Calculati a_{2015}

Solutie: Cu formula teremnului general stim ca:

a_{n}=a_{1}+\left(n-1\right)\cdot r

Adica a_{2}=a_{1}+\left(2-1\right)\cdot r\Rightarrow 7=a_{1}+1\cdot r\Rightarrow a_{1}+r=7

Dar si a_{10}=a_{1}+\left(n-1\right)\cdot r\Rightarrow 15=a_{1}+\left(10-1\right)\cdot r\Rightarrow a_{1}+9\cdot r=15

Astfel am obtinut inca o relatie, din cele doua relatii obtinem: a_{1}+r=7\Rightarrow a_{1}=7-r

Iar daca inlocuim in cea de-a doua relatie obtinem: a_{1}+9r=15\Rightarrow 7-r+9r=15\Rightarrow 8r=15-7\Rightarrow 8r=8\Rightarrow r=1

Astfel obtinem a_{1}=7-r\Rightarrow a_{1}=7-1\Rightarrow a_{1}=6

Astfel obtinem a_{2015}=a_{1}+\left(n-1\right)\cdot r=6+\left(2015-1\right)\cdot 1=6+2014\cdot 1=6+2014=2020

2. Calculati suma 1+4+7+10+13+...+28+31

Observam ca termenii sumei sunt 1, 4, 7, 10, 13…,28,31

Adica teremenii consecutivi ai unei progresii aritemtice in care a_{1}=1, a_{2}=4,...,a_{n}=31

Astfel putem calcula r=a_{n+1}-a_{n}, adica r=a_{2}-a_{1}=4-1=3

Astfel am obtinut ratia r=3

Iar pentru a afla suma de mai sus calculam

S_{n}=\frac{\left(a_{1}+a_{n}\right)\cdot n}{2}

Dar mai intai trebuie sa aflam cati termeni are suma si folosim formula termenului general: a_{n}=a_{1}+\left(n-1\right)\cdot r\Rightarrow 31=1+\left(n-1\right)\cdot 3\Rightarrow 31-1=\left(n-1\right)\cdot 3\Rightarrow \left(n-1\right)\cdot 3=30\Rightarrow n-1=30:3\Rightarrow n-1=10\Rightarrow n=10+1\Rightarrow n=11

Deci suma de mai sus are 11 termeni si cu formula de mai sus obtinem: S_{11}=\frac{\left(1+31\right)\cdot 11}{2}=\frac{32\cdot 11}{2}=16\cdot 11=176

3. Determinati numarul  real x, pentru care numerele 2, x+2 si 10 sunt teremenii consecutivi ai unei progresii aritmetice.

Solutie: Stim ca un sir de numere a_{1}, a_{2}, a_{3} sunt in progresie aritmetica, daca

a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2}( adica trei termeni sunt in progresie aritmetica, daca teremnul din mijloc este media aritmetica a celorlalte doua)

x+2=\frac{2+10}{2}\Rightarrow x+2=\frac{12}{2}\Rightarrow x+2=6\Rightarrow x=6-2\Rightarrow x=4

4. Fie \left(a_{n}\right)_{n\geq 1} o progresie aritmetica de ratie r=2 in care a_{3}+a_{4}=8. Determinati a_{1}.

Solutie: Cu formula termenului general obtinem:

a_{3}=a_{1}+\left(3-1\right)\cdot r\Rightarrow a_{3}=a_{1}+2\cdot 2\Rightarrow a_{3}=a_{1}+4

Iar a_{4}=a_{1}+\left(4-1\right)\cdot r\Rightarrow a_{4}=a_{1}+3\cdot 2\Rightarrow a_{4}=a_{1}+6

Astfel daca inlocuim in relatia de mai sus obtinem: a_{3}+a_{4}=8\Rightarrow a_{1}+4+a_{1}+6=8\Rightarrow 2a_{1}+10=8\Rightarrow 2\cdot a_{1}=8-10\Rightarrow 2\cdot a_{1}=-2\Rightarrow a_{1}=-2:2\Rightarrow a_{1}=-1

Progresii aritmetice

Pana acum nu am ati mai auzit de notiunea de progresii aritmetice si progresii geometrice, cu exercitii de acest gen ati mai lucrat dar nu ati stiut ca se numesc asa, de exemplu cand aveti un sir de numere de forma:
1,2, 3, 4, …
observam ca la acest sir de elemente se obtine din termenul precedent prin adaugare unui numar, adica fiecare termen al sirului se obtine din cel precendent prin adaugarea cifrei 1.
Astfel
Progresii aritmetice
Def: Un sir \left(a_{n}\right)_{n\geq 1} este o progresie aritmetica  daca sunt cunoscute: primul termen notat a_{1} si un numar real r r\neq 0 denumit ratie astfel incat orice termen incepanad cu cel de-al doilea se obtine din cel precendent prin adaugarea ratiei.

a_{n+1}=a_{n}+r, oricare ari fi n\neq 1(relatia de recurenta).

La exemplul pe care l-am dat noi mai sus ratia este 1,

Alt exemplu

7, 4, 1, -2,…

observam ca ratia este -3.

Termenul general al unei progresii aritmetice se calculeaza cu formula

a_{n}=a_{1}+\left(n-1\right)\cdot r oricare ar fi n\geq 1

Suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice se calculeaza cu formula:

S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n}=\frac{n\left(a_{1}+a_{n}\right)}{2}

Exemplu:

1+2+3+...+n=\frac{n\cdot\left(1+n\right)}{2}(suma primilor n termeni ai unui numar natural pe care o stim inca din clasa a V-a, dar care atunci am luat-o ca atare).

Teorema. Un sir constitue o progresie aritmetica, daca si numai daca are loc relatia de recurenta;

a_{n+1}=\frac{a_{1}+a_{n+2}}{2}, oricare ar fi n\in N^{*}

Proprietati:

i) a_{n+1}-a_{n}=constant, oricare ari fi n\geq 1

ii) a_{1}+a_{n}=a_{k}+a_{n-k+1}, oricare ar fi n\geq 1

iii) S_{n}=\frac{\left[2a_{1}+\left(n-1\right)\cdot r\right]\cdot n}{2}, oricare ar fi n\geq 1.

Prezentam exemple prin care sa  intelegem cea ce am spus mai sus

 

1)Fie sirul a_{n}=2n-1, oricare ari fi n\in N^{*}

a) Determinati primi trei termeni ai sirului

b) Calculati suma primilor 30 de termeni ai sirului.

Solutie:

a) a_{1}=2\cdot 1-1\Rightarrow a_{1}=1

a_{2}=2\cdot 2-1\Rightarrow a_{2}=3

a_{3}=2\cdot 3-1\Rightarrow a_{3}=5

Am gasit primi trei termeni ai sirului

b) Ca sa calculam suma primilor 30 de  termeni aplicam formula pentru pentru suma primilor n termeni, dar mai intai trebuie sa aflam

a_{30}=2\cdot 30-1

\Rightarrow a_{30}=60-1

\Rightarrow a_{30}=59.

iar acum aplicam suma primilor n termeni, in cazul nostru suma primilor 30 de termeni

S_{30}=\frac{30\left(1+59\right)}{2}=\frac{30\cdot 60}{2}=900

Daca nu stiam aceasta formula dupa cum bine stiti din clasa a V-a trebuia sa avem grija cum sa scriem fiecare tereme astfel incat sa putem aplica formula \frac{n\cdot\left(n+1\right)}{2}.

2) Rezolvati ecuatia:

3+5+7+…+x=224

Solutie

Observam ca termenii sumei din membrul stang sunt termenii unei progresii aritmetice in care a_{1}=3, r=5-3\Rightarrow r=2

Ca sa rezolva ecuatia de mai sus calculam termenul general astfel:

a_{n}=a_{1}+\left(n-1\right)\cdot r

\Rightarrow x=3+\left(n-1\right)\cdot 2\Rightarrow x-3=\left(n-1\right)\cdot 2

 

\Rightarrow \frac{x-3}{2}=n-1\Rightarrow \frac{x-3}{2}+1=n

\Rightarrow n=\frac{x-3+1\cdot 2}{2}

\Rightarrow n=\frac{x-3+2}{2}\Rightarrow n=\frac{x-1}{2}.

Astfel obtinem

3+5+7+...+x=\frac{\frac{x-1}{2}\left(3+x\right)}{2}=

\frac{\left(x-1\right)\cdot\left(x+3\right)}{2\cdot 2}

\Rightarrow \frac{\left(x-1\right)\cdot\left(x+3\right)}{4}=224|\cdot 4

\Rightarrow \left(x-1\right)\left(x+3\right)=224\cdot 4

Astfel obtinem o ecuatie de gradul al doilea

x^{2}+3x-x-3=896\Rightarrow x^{2}+2x-899=0    \\\Delta=b^{2}-4ac    \\\Delta=4-4\cdot\left(- 899\right)    \\\Delta =4+3596    \\\Delta=3600

Calculam

x_{2}=\frac{-2+\sqrt{3600}}{2}=\frac{-2+60}{2}=\frac{58}{2}=29

x_{2}=\frac{-2-\sqrt{3600}}{2}=\frac{-2-60}{2}=\frac{-62}{2}=-31<0(nu convine)

Deci solutia ecuatiei este x=29.

Ca sa rezolvam ecuatia de mai sus prima data am stabilit ca termenii ecuatiei sunt in progresie aritmetica in care am aflat primul termen si ratia progresiei, ia apoi am calculat termenul general al progresiei, adica membru stang. Am aflat „n”, iar apoi am calculat suma primilor n termenii cu ajutorul termenului general pe care l-am gasit mai sus.  Suma primilor n termeni pe care am gasit-o am egalat-o cu termenul cunoscut al ecuatiei, astfel am obtinut o ecuatie de gradul al doilea pe care am rezolvat-o si am observat ca una din solutiile ecuatiei nu convine deoarece este mai mic ca  0.