Calculul algebric Adunarea si scaderea numerelor reale

Adunarea si scaderea numerelor reale reprezentate prin litere

Stim inca de la operatii cu numere reale ca 2\sqrt{3}+3\sqrt{3}=\left(2+3\right)\cdot\sqrt{3}=5\sqrt{3}.
In general 3x+7x=x\left(3+7\right)=x\cdot 10=10x, unde x este un numar real. Numerele 3x si 7x se numesc termenii sumei, iar 3 si 7 poarta numele de coeficienti lui x.In suma 5x+2y, numerele reale 5 si 2 se numesc coeficienti, iar x si y reprezinta partea literala.

Astfel discutam despre :

Adunarea si scaderea numerelor reale  reprezentate prin litere

O suma algebrica este o suma in care unele numere reale sunt reprezentate prin litere.
Termenii asemenea ai unei sume algebrice sunt acei termeni in care apar aceleasi litere ridicate la aceleasi puteri.
Exemplu:
Efectuati:
a)2x+3x-7x+12x=x\left(2+3-7+12\right)=x\cdot 10=10x, am dat factor comun pe x iar apoi am efectuat suma respectiv diferenta numerelor.
b) \left(2x+3y\right)-\left(4x+5y\right)-\left(10-4y\right)
Mai intai desfintam parantezele si astfel obtinem:
2x+3y-4x-5y-10+4y=x\left(2-4\right)+y\left(-5+4\right)-10=-2\cdot x-1\cdot y-10=-2x-y-10

c) \left(4\sqrt{2}-2\sqrt{2}\right)x+\left(6\sqrt{2}-3\sqrt{2}\right)x-\left(8\sqrt{2}-\sqrt{2}\right)+3\sqrt{2}x=    2\sqrt{2}x+3\sqrt{2}x-7\sqrt{2}x+3\sqrt{2}x=\sqrt{2}x\left(2+3-7+6\right)=4\sqrt{2}x

In primul rand la exercitiul de mai sus am efectuat mai intai operatiile din paranteza, iar apoi am dat factor comun pe x\sqrt{2} pentru a efectua calculele.

d) \left(\frac{6}{\sqrt{2}}x-\frac{9}{\sqrt{3}}x\right)+\left(\frac{3}{\sqrt{18}}x+\frac{10}{\sqrt{75}}x\right)-\left(\frac{24}{2\sqrt{48}}x-\frac{12}{\sqrt{108}}x\right)=

\left(\frac{6\sqrt{2}}{2}^{(2}\cdot x-\frac{9\sqrt{3}}{3}^{(3}\cdot x\right)+\left(\frac{3\sqrt{18}}{18}x+\frac{10\sqrt{75}}{75}x\right)-\left(\frac{24\sqrt{48}}{2\cdot 48}x-\frac{12\sqrt{108}}{108}x\right)=

\left(3\sqrt{2}x-3\sqrt{3}x\right)+\left(\frac{3\cdot 3\sqrt{2}}{18}x+\frac{10\cdot 5\sqrt{3}}{75}x\right)-\left(\frac{24\cdot 4\sqrt{3}}{96}x-\frac{12\cdot 6\sqrt{3}}{108}x\right)=

3\sqrt{2}x-3\sqrt{3}x+\left(\frac{9\sqrt{2}}{18}^{(9}\cdot x+\frac{50\sqrt{3}}{75}^{(25}\cdot x\right)-\left(\frac{96\sqrt{3}}{96}^{(96}x-\frac{72\sqrt{3}}{108}x\right)=

3\sqrt{2}x-3\sqrt{3}x+\frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{2\sqrt{3}}{3}x-\sqrt{3}x+\frac{2\sqrt{3}}{3}x=

\left(3\sqrt{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2}x\right)+\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}x-\sqrt{3}x+\frac{2\sqrt{3}}{3}x-3\sqrt{3}x\right)=    \sqrt{2}x\left(3+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{3}x\left(\frac{2}{3}-1+\frac{2}{3}-3\right)=    \sqrt{2}x\left(\frac{2\cdot 3+1\cdot 1}{2}\right)+\sqrt{3}x\left(\frac{2+2}{3}-4\right)=\sqrt{2}x\frac{7}{2}+\sqrt{3}x\left(\frac{4}{3}-4\right)=\frac{7\sqrt{2}}{2}x+\sqrt{3}x\cdot\left(\frac{4-3\cdot 4}{3}\right)=\frac{7\sqrt{2}}{2}x+\sqrt{3}x\cdot\left(\frac{-8}{3}=\right)\frac{7\sqrt{2}}{2}x-\frac{8\sqrt{3}}{3}x.

Ca sa rezolvam exercitiul de mai sus, mai intai am rationalizat numitorii fiecarei fractii, dupa rationalizare am simplificat fiecare fractie unde s-a putut, dar am si scos si  factori de sub radical unde s-a putut. Apoi am efectuat calculele, adica am folosit adunarea si scaderea numerelor reale reprezentate prin litere.

e) 0,\left(3\right)x+1\frac{1}{3}x-\left[1,\left(3\right)x-\frac{2}{3}x\right]=

\frac{3}{9}^{(3}x+\frac{1\cdot 3+1}{3}x-\left(\frac{13-1}{9}x-\frac{2}{3}x\right)=

\frac{1}{3}x+\frac{4}{3}x-\left(\frac{12}{9}^{(3}x-\frac{2}{3}x\right)=

\frac{x}{3}+\frac{4x}{3}-\left(\frac{4}{3}x-\frac{2}{3}x\right)=

\frac{x}{3}+\frac{4x}{3}-\frac{4x}{3}+\frac{2x}{3}=\frac{1}{3}\left(x+4x-4x+2x\right)=\frac{1}{3}\cdot 3x=\frac{3x}{3}=x.

Ca sa rezolvam exercitiul de mai sus mai intai am transformat fractiile zecimale periodice mixte in fractii ordinarea, apoi am simplificat fiecare fractie ordinara obtinuta, apoi am efectuat adunarea si scaderea numerelor reale reprezentate prin litere.

2) Determinati valorile lui x, astfel incat numarul A sa fie natural, unde :

A=\sqrt{\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}}x+\sqrt{\left(3-\sqrt{3}\right)^{2}}x-\sqrt{\left(4-2\sqrt{3}\right)^{2}x}=    \left(2-\sqrt{3}\right)\cdot x+\left(3-\sqrt{3}\right)\cdot x-\left(4-2\sqrt{3}\right)\cdot x=    2x-\sqrt{3}x+3x-\sqrt{3}x-4x+2\sqrt{3}x=x\left(2-\sqrt{3}+3-\sqrt{3}-4+2\sqrt{3}\right)=x\left(1-2\sqrt{3}+2\sqrt{3}\right)=x\cdot 1=x

A\in N\Rightarrow x\in N, unde N-este multimea numerelor naturale.

 

Exercitii cu radicali Exercitii cu numere reale

Dupa ce am discutat despre numere reale, adica Radacina patrata a unui numar  natural patrat perfect, Modulul unui numar real, Reprezentarea pe axa a numerelor reale, Produsul radicalilor, Catul radicalilor, Introducerea factorilor sub radicali, Scoaterea factorilor de sub radicali, Operatii cu numere reale, Rationalizarea numitorilor unei fractii, Formule de calcul prescurtat si nu in ultimul rand Media geometrica adoua numere reale nenegative astazi o sa ne reaminitm cum se efectueaza aceste exercitii, adica o recapitulare a intregului capitol al Numerelo reale. Astfel prezentam Exercitii cu radicali

 

1. Rezultatul calculului \frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{3}{2\sqrt{3}}-\frac{5}{4\sqrt{3}} este …

Ca sa aflam rezultatul acestui calcul mi intai rationalizam numitorii dupa cum am invatat si astfel obtinem:

\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{3\sqrt{3}}{2\cdot 3}-\frac{5\sqrt{3}}{4\cdot 3}=\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{5\sqrt{3}}{12}=\frac{4\sqrt{3}+6\sqrt{3}-5\sqrt{3}}{12}=\frac{5\sqrt{3}}{12}

2) Calculand \sqrt{27}\left(\frac{4}{\sqrt{3}}-\frac{5\sqrt{3}}{3}\right) se obtine….

Solutie:

3\sqrt{3}\left(\frac{4\sqrt{3}}{3}-\frac{5\sqrt{3}}{3}\right)=3\sqrt{3}\left(\frac{4\sqrt{3}-5\sqrt{3}}{3}\right)=3\sqrt{3}\left(\frac{-sqrt{3}}{3}\right)=\sqrt{3}\cdot\left(-\sqrt{3}\right)=-3

Ca sa rezolvam exercitiul de mai sus, mai intai am scos factorii de sub radicali, iar apoi am rationalizat, am efectuat calculele si astfel am gasit rezultatul final, nu inainte de a simplifica pe unde am putut.

3. Rezultatul calculului \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{1+\sqrt{2}} este egal cu …
Solutie

Ca sa afla rezultatul calculului mai intai rationalizam numitorii, cu regula care am invatat-o la lectua Rationalizarea numitorilor

a sa afla rezultatul calculului mai intai rationalizam numitorii, cu regula care am invatat-o la lectua Rationalizarea numitorilor

\frac{\sqrt{3}-\sqrt{4}}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-\left(\sqrt{4}\right)^{2}}+\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\left(\sqrt{2}\right)^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}+\frac{1-\sqrt{2}}{1^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}}=

\frac{\sqrt{3}-2}{3-4}+\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2-3}+\frac{1-\sqrt{2}}{1-2}=\frac{\sqrt{3}-2}{-1}+\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{-1}+\frac{1-\sqrt{2}}{-1}=1

4. Daca x=\sqrt{\left(2-\sqrt{5}\right)^{2}}+|\sqrt{5}-3|=|2-\sqrt{5}|+|\sqrt{5}-3|=\sqrt{5}-2+3-\sqrt{5}=-2+3=1

Ca sa rezolvam exercitiul de mai sus trebuie sa tinem cont de anumite reguli, adica:

stim \sqrt{a^{2}}=|a|=a,\;\;\;daca\;\;\; a>0 si -a\;\;\;daca \;\;\;a<0 astfel in cazul nostru stim ca \sqrt{5}\approx 2, 236 deci mai mare decat 2 si astfel obtinem:

 

\sqrt{\left(2-\sqrt{5}\right)^{2}}=|2-\sqrt{5}|=-\left(2-\sqrt{5}\right)=-2+\sqrt{5}=\sqrt{5}-2

asemanator facem si pentru |\sqrt{5}-3|.

5. Daca x=\sqrt{\left(1-\sqrt{2}\right)^{2}}, y=\sqrt{\left(\sqrt{2}-3\right)^{2}} si z=2\sqrt{6}\left(\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}}-\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right), atunci x+y-z este….

Solutie:

Calculam mai intai

x=|1-\sqrt{2}|=-\left(1-\sqrt{2}\right)=\sqrt{2}-1, iar apoi

y=|\sqrt{2}-3|=-\left(\sqrt{2}-3\right)=3-\sqrt{2}, deoarece observam ca \sqrt{2}<3, \sqrt{2}\approx 2,141

iar

z= 2\sqrt{6}\left(\frac{\sqrt{3}\cdot 4\sqrt{3}-\sqrt{2}\cdot 3\sqrt{2}}{\sqrt{6}}\right)=2\sqrt{6}\cdot \frac{4\sqrt{9}-3\sqrt{4}}{\sqrt{6}}=2\sqrt{6}\cdot\frac{4\cdot 3-3\cdot 2}{\sqrt{6}}=2\sqrt{6}\cdot\frac{12-6}{\sqrt{6}}=2\sqrt{6}\cdot\frac{6}{\sqrt{6}}=2\cdot 6=12

Observam ca la exercitiul de mai sus mai intai in paranteza am adus la acelasi numitor comun (puteam sa si rationalizam, de obiecei alegem metoda care ni se pare mai usoara), am efectuat calculele din paranteza , iar apoi am efectuat produsul dintre numarul din fata parantezei si rezultatul din paranteza, nu inainte de a simplifica.

Acum calculam x+y-z=\sqrt{2}-1+3-\sqrt{2}-12=2-12=-10

6. Calculand \frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}+\frac{6}{\sqrt{3}}-\frac{5}{\sqrt{5}}, se obtine…

Solutie

\frac{2\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)}{\left(\sqrt{5}\right)^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}+\frac{6\sqrt{3}}{3}-\frac{5\sqrt{5}}{5}=    \frac{2\sqrt{5}+2\sqrt{3}}{5-3}+2\sqrt{3}-\sqrt{5}=\frac{2\sqrt{5}+2\sqrt{3}}{2}+2\sqrt{3}-\sqrt{5}=\frac{2\sqrt{5}+2\sqrt{3}+4\sqrt{3}-2\sqrt{5}}{2}=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}.

Observati  ca acum am rationalizat pare mai usor de calculat si gasim cam greu numitorul comun, iar apoi am efectuat calculele cu numere reale, adica am folosit regulile de calcul cu radicali si astfel am gasit rezultatul.

7. Daca a=\sqrt{\left(\sqrt{3}-3\right)^{2}} si b=\sqrt{\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}} atunci media aritmetica a lor este egal cu….

Solutie:

Mai intai calculam a=|\sqrt{3}-3|=-\left(\sqrt{3}-3\right)=3-\sqrt{3}, iar

b=|2+\sqrt{3}|=2+\sqrt{3}, astfel media aritmetica a celor doua numere este:

m_{a}=\frac{a+b}{2}=\frac{3-\sqrt{3}+2+\sqrt{3}}{2}=\frac{3+2}{2}=\frac{5}{2}.

8. Calculand

\left(\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}}-\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}\right)^{12}+\sqrt{\left(1-\sqrt{5}\right)^{2}}-|2-\sqrt{5}| se obtine…

Solutie:

\left(\frac{\sqrt{3}\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)}{3}-\frac{\sqrt{3}\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)}{\left(\sqrt{5}\right)^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}}\right)^{12}+|1-\sqrt{5}|-\left[-\left(2-\sqrt{5}\right)\right]=

\left(\frac{\sqrt{15}-\sqrt{6}}{3}-\frac{\sqrt{15}-\sqrt{6}}{5-2}\right)^{12}+\sqrt{5}-1-\left(-2+\sqrt{5}\right)=

\left(\frac{\sqrt{15}-\sqrt{6}}{3}-\frac{\sqrt{15}-\sqrt{6}}{3}\right)^{12}+\sqrt{5}-1+2-\sqrt{5}=\left(\frac{\sqrt{15}-\sqrt{6}-\sqrt{15}+\sqrt{6}}{3}\right)^{12}+1

Ca sa rezolvam exercitiul de mai sus  observam ca am rationalizat fractiile, iar apoi am efectuat calculele si astfel am observat ca ni s-au redus toti termenii, iar modulele le-am rezolvat cum am facut mai sus .Astfel am obtinut rezultatul 1.

9. Calculand \sqrt{4-\sqrt{7}}\cdot\sqrt{4+\sqrt{7}}-\sqrt{2-\sqrt{3}}\cdot\sqrt{2+\sqrt{3}} se obtine….

Solutie

\sqrt{\left(4-\sqrt{7}\right)\cdot\left(4+\sqrt{7}\right)}

-\sqrt{\left(2-\sqrt{3}\right)\cdot\left(2+\sqrt{3}\right)}=

\sqrt{4^{2}-\sqrt{7}^{2}}-\sqrt{2^{2}-\sqrt{3}^{2}}=    \sqrt{16-7}-\sqrt{4-3}=\sqrt{9}-\sqrt{1}=3-1=2

Ca sa rezolvam exercitiul de mai sus am folosit produsul radicalilor, dar si formulele de calcul prescurtat, adica formula a^{2}-b^{2}=\left(a-b\right)\cdot\left(a+ \right) precum si radacina patrata a unui numar natural.

Deci e important ca la exercitii cu radicali sa invatam toate notiunile care tin de acest capitol.

 

 

 

Formule de calcul prescurtat

Formule de calcul prescurtat

Astazi o sa invatam tehnici si procedee care ofera posibilitatea unui calcul mai rapid al expresiilor care contin radicali  sau permit scrierea radicalilor dubli sub forma unor expresii care contin radicali simpli.  Deci acum invatam urmatoarele formule de calcul prescurtat:

Formule de calcul prescurtat

1) \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2\cdot a\cdot b+b^{2}

2) \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2\cdot a\cdot b+b^{2}

3) a^{2}-b^{2}=\left(a-b\right)\cdot\left(a+b\right)

4) \sqrt{A\pm\sqrt{B}}=\sqrt{\frac{A+C}{2}}\pm\sqrt{\frac{A-C}{2}}, unde C=\sqrt{A^{2}-B}.

Deci este  foarte important sa intelegem cum sa aplicam formulele de calcul prescurtat.

Exemplu:

1) Calculati

a) 4\left(3\sqrt{3}-1\right)^{2}-5\left(\sqrt{3}-4\right)^{2}-\sqrt{768}=    4\left[\left(3\sqrt{3}\right)^{2}-2\cdot 3\sqrt{3}\cdot 1+1^{2}\right]-5\left[\left(\sqrt{3}\right)^{2}-2\cdot \sqrt{3}\cdot 4+4^{2}\right]-16\sqrt{3}=    4\left(27-6\sqrt{3}+1\right)-5\left(3-8\sqrt{3}+16\right)-16\sqrt{3}=    4\left(28-6\sqrt{3}\right)-5\left(19-8\sqrt{3}\right)-16\sqrt{3}=    112-24\sqrt{3}-95+40\sqrt{3}-16\sqrt{3}=    17+\sqrt{3}\left(-24+40-16\right)=17+\sqrt{3}\cdot 0=17

Ca sa rezolvam exercitiul de mai sus  am aplicat cea de-a doua formula, unde observati ca pentru primul patrat a=3\sqrt{3} si b=1, iar pentru cel de-al doilea patrat observam ca a=\sqrt{3} si b=4, iar din numarul $\sqrt{768}$ am scos factori de sub radicali si am obtinut \sqrt{768}=\sqrt{2^{2}\cdot 2^{2}\cdot 2^{2}\cdot 2^{2}\cdot 3}=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot \sqrt{3}=16\sqrt{3}

cum scoatem factori de sub radicali

 

, apoi am efectuat calculele , adica am ridicat numerelor la patrat si am inmultit, apoi am adunat si am scazut si astfel am gasit rezultatul.

b) \left(\sqrt{3}+2\sqrt{2}\right)^{2} +\left(3\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)^{2}

-\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)\cdot\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)+2\sqrt{6}=

\left(\sqrt{3}\right)^{2}+2\cdot \sqrt{3}\cdot 2\sqrt{2}+\left(2\sqrt{2}\right)^{2}+\left(3\sqrt{3}\right)^{2}-2\cdot 3\sqrt{3}\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}-\left[\left(\sqrt{3}\right)^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right]+2\sqrt{6}=    3+4\sqrt{6}+8+27-6\sqrt{6}+2-3+2+2\sqrt{6}=39

Ca sa rezolvam exercitiul de mai sus am folosit primele  doua formule adica

\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2\cdot a\cdot b+b^{2}

\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2\cdot a\cdot b+b^{2}

unde pentru prima paranteza a=\sqrt{3}, b=2\sqrt{2}, dar trebuie sa avem grija tot timpul sa introducem si termenul din mijloc adica 2ab, pe cafre majoritatea dintre voi il uitati sau pierdeti, pentru patratul cel de-al doilea (paranteza a doua) a=3\sqrt{3}, b=\sqrt{2} la fel si aici trebuie sa tinem cont si de termenul 2ab, dar observam ca la exercitul nostru mai avem si a treia formula de aplicat adica \left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)\cdot\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right), unde a=\sqrt{3}, b=\sqrt{2}, deci observati ca noi acum aplicam partea de inceput a formulei a treia, adica \left(a-b\right)\cdot\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2} si obtinem \left(\sqrt{3}\right)^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2} iar restul este calcul, folosim regulile de calcul cu radicali.

c) \sqrt{11-6\sqrt{2}}+\sqrt{7-4\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{5-2\sqrt{6}}}=

Calculam mai intai, adica putem sa aplicam formula 4) sau sa ne gandim cum putem sa scriem numarul de sub radical ca sa obtinem un patrat sub radical

\sqrt{11-6\sqrt{2}}=\sqrt{3-2\cdot 3\cdot \sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-\sqrt{2}\right)^{2}}=3-\sqrt{2},

ca sa observam mai usor cu aceasta metoda trebuie sa ne uitam la termenul care formeaza suma celor doua patrate adica 11, dar si la produsul dintre 2 si ”ab”, deci impartim la 2 si obtinem 6\sqrt{2}=2\cdot 3\cdot\sqrt{2} si astfel am obtinut a=3 si b=\sqrt{2}.

Sau cu formula de mai sus, dar mai intai trebuie sa obtinem ce avem sub radical sub forma \sqrt{A-\sqrt{B}}, deci introducem la cel de-al doilea radical factorul sub radical, adica \sqrt{11-\sqrt{36\cdot 2}}=\sqrt{11-\sqrt{72}}, dupa ce am adus la formam care ne trebuia

calculamC=\sqrt{A^{2}-B}=\sqrt{11^{2}-72}=\sqrt{121-72}=\sqrt{49}=7, acum aplicam formula propriu zisa

\sqrt{11-\sqrt{72}}=\sqrt{\frac{11+7}{2}}-\sqrt{\frac{11-7}{2}}=\sqrt{\frac{18}{2}}-\sqrt{\frac{4}{2}}=\sqrt{9}-\sqrt{2}=3-\sqrt{2}

Calculam acum cel de-al doilea radical

\sqrt{7-4\sqrt{3}}=\sqrt{4+3-2\cdot 2\cdot \sqrt{3}}=\sqrt{\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}}=2-\sqrt{3}

\sqrt{5-2\sqrt{6}}=\sqrt{5-2\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}}=\sqrt{\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)^{2}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}

am inversat radical din 2 cu radical din 3 pentru ca radical din 3 mai mare decat radical din 2, noi obtinem sub radical modul din acel numar si din acest motiv trebuie sa avem grija cum scriem numarul.

Pentru ceilalti doi radicali aplicati voi formula de mai sus, mie mi se pare mai usor sa folosesc formulele de calcul prescurtat.

Acum scriem ce am gasit

3-\sqrt{2}+2-\sqrt{3}+\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=5-\sqrt{2}-\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{3-2}=    5-\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{3}+\sqrt{2}=5

Observati ca mai sus am si rationalizat, iar apoi am folosit regulile de calcul cu radicali.

 

Operatii cu numere reale. Formule de calcul prescurtat

Inca din generala ati invatat sa efectuati operatii cu numere reale, dar sa si folositi formulele de calcul prescurtat. Incercam sa rezolvam exercitii astfel incat sa ne reamintim cum sa folosim numerele reale si formulele de calcul prescurtat.

1) Calculati:
a) <br /> \left(\frac{2}{5\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{12}}+\frac{3}{\sqrt{75}}\right):\left(2\sqrt{3}\right)^{-1}=\\</p> <p>\left(\frac{2\sqrt{3}}{15}-\frac{\sqrt{12}}{12}+\frac{3\sqrt{75}}{75}\right): \frac{1}{2\sqrt{3}}=\\<br /> \left(\frac{2\sqrt{3}}{15}-\frac{2\sqrt{3}}{12}+\frac{3\sqrt{75}}{75}\right)\cdot 2\sqrt{3}=\\<br /> \left(\frac{2\sqrt{3}}{15}-\frac{\sqrt{3}}{6}+\frac{5\sqrt{3}}{25}\right)\cdot 2\sqrt{3}=\\<br /> \left(\frac{2\sqrt{3}}{15}-\frac{\sqrt{3}}{6}+\frac{\sqrt{3}}{5}\right)\cdot 2\sqrt{3}=\\<br /> \left(\frac{2\cdot 2\sqrt{3}-5\cdot\sqrt{3}+6\cdot\sqrt{3}}{30}\right)\cdot 2\sqrt{3}=\\<br /> \left(\frac{4\sqrt{3}-5\sqrt{3}+6\sqrt{3}}{30}\right)\cdot 2\sqrt{3}=<br /> \left(\frac{5\sqrt{3}}{30}\right)\cdot 2\sqrt{3}=<br /> \frac{5\cdot 3}{15}=1.</p> <p>

Ca sa rezolvam exercitiul de mai sus am rationalizat numitorii, am scos factorii de sub radicali (stim ca \sqrt{a^{2}}=|a|, \sqrt{a^{2}\cdot b}=|a|\sqrt{b}), iar apoi am simplificat pe unde s-a putut, pentru a ne simplifica calculele, am adus la acelasi numitor, am efectuat calculele iar apoi am facut produsul celor doua rezultate, stim ca a^{-1}=\frac{1}{a} si de aici obtinem \left(2\sqrt{3}\right)^{-1}=\frac{1}{2\sqrt{3}},iar de la impartirea a doua numere rationale stim ca este egal cu produsul dintre primul si inversul celui de-al doilea, de unde obtinem rezultatul.

b) <br /> \sqrt{7-4\sqrt{3}}+\sqrt{4-2\sqrt{3}}+\sqrt{3-2\sqrt{2}}=\sqrt{\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}}+\sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}}+\sqrt{\left(1-\sqrt{2}\right)^{2}}=\\<br /> \left|2-\sqrt{3}\right|+\left|1-\sqrt{3}\right|+\left|1-\sqrt{2}\right|=2-\sqrt{3}+\sqrt{3}-1+\sqrt{2}-1=\sqrt{2}.<br />

Dupa cum stiti din clasa a VIII-a trebuie sa sa gasim o forma astfel incat sa putem sa scriem numerele de sub radical la patrat pentru ca stim ca  \sqrt{a}=\left|a\right|, astfel folosim formulele de calcul prescurtat, pentru a putea scoate factorii de sub radicali, iar apoi folosim definitia modulului, iar apoi restul este un simplu calcul.
c)</p> <p>2\sqrt{7-\sqrt{48}}+3\sqrt{43-30\sqrt{2}}+9\sqrt{25-4\sqrt{6}}=<br /> 2\sqrt{\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}}+3\sqrt{\left(5-3\sqrt{2}\right)^{2}}+9\sqrt{\left(1-2\sqrt{6}\right)^{2}}=<br /> \\2\left|2-\sqrt{3}\right|+3\left|3\sqrt{2}-5\right|+9\left|2\sqrt{6}-1\right|=<br /> \\2\left(2-\sqrt{3}\right)+3\left(5-3\sqrt{2}\right)+9\left(2\sqrt{6}-1\right)=<br /> 4-2\sqrt{3}+15-9\sqrt{2}+18\sqrt{6}-9=10-2\sqrt{3}-9\sqrt{2}+18\sqrt{6}

Ca sa rezolvam exercitiile ca si la exercitiul b) trebuie sa folosim formulele de calcul prescurtat ca sa scriem numarul de sub radical ca un numar la patrat. Observam cum sa-l scriem de exemplu la primul radical 7-\sqrt{48}, trebuie sa ne gandim ca suma la patrat a celor doua numere trebuie sa obtinem, iar produsul celor doua numere trebuie sa fie \sqrt{48}, cum stim ca folosim formula de calcul prescurtat (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, dar la noi 2 este introdus sub radical, iar daca scoatem factorul de sub radicalul \sqrt{48}=2\sqrt{12}, deci produsul dintre a si b este a\cdot b=\sqrt{12}, iar singura posibilitate este ca a=\sqrt{3}, b=\sqrt{4}=2.

Sau putem folosi formulaele
<br /> \sqrt{a+\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^{2}-b}}{2}}+\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^{2}-b}}{2}}<br /> \\\sqrt{a-\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^{2}-b}}{2}}-\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^{2}-b}}{2}}<br />

Formulele de mai sus se numesc formulele radicalilor compusi, si ne ajuta sa scriem radicali chiar daca necesita mai mult calcul.