Cum rezolvam inecuatiile de gradul al doilea

Sa vedem, inca o data, cum rezolvam inecuatiile de gradul al doilea !

O aplicatie a semnului functiei de gradul al doilea f:R\rightarrow R, f\left(x\right)=ax^{2}+bx+c,a,b, c\in R, a\neq 0 o reprezinta rezolvarea inecuatiei ax^{2}+bx+c\leq 0,\left(geq, <,1.\right), a\neq 0.
Rezolvarea unei astfel de inecuatii revine la a determina multimea solutiilor, pentru acesta se studiaza semnul functiei de gradul al doilea, dupa care se alege solutia inecuatiei.
Exemplu:
1) Sa se rezolve inecuatia si sa se interpreteze geometric rezultatele:
a) -2x^{2}+4x+6\geq 0
Astfel consideram functia f:R\rightarrow R, f\left(x\right)=-2x^{2}+4x+6
Astfel stim ca
f\left(x\right)=\Rightarrow -2x^{2}+4x+6=0
Astfel
\Delta=4^{2}-4\cdot\left(-2\right)\cdot 6=16+48=64
Astfel ecuatia are solutiile
x_{1}=\frac{-4+\sqrt{64}}{2\cdot\left(-2\right)}=\frac{-4+8}{-4}=\frac{4}{-4}=-1
Dar si
x_{2}=\frac{-4-\sqrt{64}}{2\cdot\left(-2\right)}=\frac{-4-8}{-4}=\frac{-12}{-4}=3
Acum realizam tabelul de semn pentru functia f.
cum rezolvam inecuatia de gradul al doilea
Din tabelul functie observam ca x\in\left[-1;3\right]
Deoarece functia f este pozitiva pe intervalul de mai sus.
b) \frac{x^{2}-3x-4}{4x-x^{2}}
Solutie:
Mai intai stabilim omeniul de existenta al functie astfel punem conditia ca:
4x-x^{2}\neq 0\Rightarrow x\left(x-4\right)\neq 0
Astfel fie
x\neq 0
Sau
x-4\neq 0\Rightarrow x\neq 4
Deci domeniul de existenta este:
D=R-\left\{0,4\right\}(adica numitorul trebuie sa fie diferit de 0.)
Acum ca sa aflam solutia inecuatiei consideram functiile
f,g:R\rightarrow R si
f\left(x\right)=x^{2}-3x-4
Acum rezolvam ecuatia
f\left(x\right)=0\Rightarrow x^{2}-3x-4=0
Astfel
\Delta=\left(-3\right)^{2}-4\cdot 1\cdot\left(-4\right)=9+16=25
Acum
x_{1}=\frac{-\left(-3\right)+\sqrt{25}}{2\cdot 1}=\frac{3+5}{2}=\frac{8}{2}=4
x_{2}=\frac{-\left(-3\right)-\sqrt{25}}{2\cdot 1}=\frac{3-5}{2}=\frac{-2}{2}=-1

Dar si
g\left(x\right)=4x-x^{2}
Adica
g\left(x\right)=0\Rightarrow 4x-x^{2}=0\Rightarrow x=0
Sau
4-x=0\Rightarrow x=4
Acum realizam tabelul celor doua functii si astfel afla solutia inecuatiei:
cum aflam solutia unei inecuatii de gradul al doilea
Din tabelul celor doua functii reiese ca solutia inecuatiei este S=[-1,0)

Daca nu ati inteles cum se rezolva inecuatiile de gradul al doilea va asteptam sa ne trimiteti si alte exercitii pentru a va ajuta sa le rezolvati. Accesati pagina REZOLVARI !

Rezolvare ecuatii de gradul al doilea

Sa rezolvam ecuatii de gradul al doilea.

1) Rezolvati in multimea numerelor reale ecuatiile:

a) 42:\left(x\cdot x-58\right)+800:\left(10\cdot 28-10\cdot 18\right)=15\Rightarrow 42:\left(x^{2}-58\right)+800:\left(280-180\right)=15\Rightarrow 42:\left(x^{2}-58\right)+800:100=15\Rightarrow 42:\left(x^{2}-58\right)+8=15\Rightarrow 42:\left(x^{2}-58\right)=15-8\Rightarrow
42:\left(x^{2}-58\right)=7\Rightarrow \frac{42}{x^{2}-58}=7|\cdot \left(x^{2}-58\right)\Rightarrow \frac{42}{x^{2}-58}\cdot\left(x^{2}-58\right)=7\cdot \left(x^{2}-58\right)\Rightarrow
\frac{42}{1}\cdot 1=7x^{2}-7\cdot 58\Rightarrow 42=7x^{2}-406\Rightarrow
42+406=7x^{2}\Rightarrow 7x^{2}=448\Rightarrow x^{2}=448:7\Rightarrow
x^{2}=64\Rightarrow x=\pm\sqrt{64}\Rightarrow x=\pm 8
Deci, solutiiile ecuatiei sunt, +8, -8.

Ca sa rezolvam ecuatia de mai sus am efectuat mai intai operatiile de inmultire in parantezele rotunde, apoi am efectuat operatia de impartire dintre numerele intregi, apoi ca sa ne simplificam calculele am inmultit atat membrul drept cat si membrul drept al ecuatiei cu x^{2}-56(pentru a se simplifica numitorul fractiei din membrul stang). Iar in membrul drept am efectuat inmultirile, adica am desfintat paranteza, apoi am separat termenii asemenea, am efecutat adunarea  , iar apoi am impartit prin 7, astfel ca am obtinut o ecuatie de forma x^{2}=a si astfel am obtinut cele doua solutii 8 si -8.

b) \left(y+7\right):3=5\Rightarrow y+7=3\cdot 5\Rightarrow y+7=15\Rightarrow y=15-7\Rightarrow y=8

Ca sa rezolvam ecuatia de mai sus am  folosit Proprietatea fundamentala a proportiilor, adica intr-o proportie  produsul mezilor egla cu produsul extremilor, apoi am efectuat scaderea si astfel am obtinut rezultatul y=8.

2) Doua kg de malai costa cat un kg de orez, iar doua kg de orez costa cat un kg de ciuperci. cat costa 3 kg de orez si 5 kg de malai daca 5 kg de ciuperci costa 60 lei

Solutie:

Mai intai aflam cat costa un Kg de ciuperci si astfel efectuam:
60:5=12
Deci 12 lei costa un Kg de ciuperci

Mai stim si ca
2 Kg malai=1 Kg orez
2Kg orez =1Kg cuperci
Deci 2 Kg de orez costa 12 lei, astfel un Kg costa 12:2=6, deci un Kg de orez costa 6 lei,

Mai stim si ca:

2 Kg malai =1 Kg orez
Deci avem ca 2 Kg malai =6 lei, astfel un Kg de malai costa 6:2=3 lei, astfel am gasit ca  un Kg de malai costa 3 lei.
Astfel 3 Kg de orez si 5 Kg de malai costa:
3\cdot 6+5\cdot 3=18+15=33
Deci in total costa 33 de lei.

Sper ca ati prins ideea despre rezolvare ecuatii de gradul al doilea. Daca nu, este cazul sa mai aprofundati matematica rasfoind articolele de pe site.