Probleme rezolvate cu ajutorul ecuatiilor

La un concurs se acorda 6 puncte pentru o problema rezolvata corect si se scad 2 puncte pentru o problema rezolvata gresit.Maria a trimis la concurs 12 probleme rezolvate si a primit 48 de puncte .Cate probleme a rezolvat corect si cate a rezolvat gresit

Solutie:

Notam cu x problemele rezolvate corect

y problemele rezolvate gresit

Si acum formam ecutiile

x+y=12 (12 probleme rezolvate corecte sau incorecte)

6x-2y=48 (se acorda 6 puncte pentru un raspuns corect si se scad 2 puncte pentru un raspuns gresit)

Deci avem ecuatiile

x+y=12

dar si

6x-2y=48|:2\Rightarrow 3x-y=24

Acum din prima ecuatie avem:

x+y=12\Rightarrow y=12-x

Si daca inlocuim in cea de-a doua obtinem:

3x-y=24\Rightarrow 3x-\left(12-x\right)=24\Rightarrow 3x-12+x=24\Rightarrow 4x-12=24\Rightarrow 4x=24+12\Rightarrow 4x=36\Rightarrow x=36:4\Rightarrow x=9

Deci numarul problemelor rezolvate corect sunt 9, iar cele incorecte sunt in numar de:

y=12-9=3

Asadar numarul problemelor rezolvate incorect sunt in numar de 3

Acum daca efectuam proba obtinem:

6x-2y=48 ?

Adica 6\cdot 9-2\cdot 3=54-6=48 (Adica punctajul obtinut de Maria la concurs)

Probleme rezolvate cu divizibilitatea si Teorema impartirii cu rest

Prezentam doua probleme care se rezolva cu ajutorul divizibilitatii, adica folosind cel mai mare divizor comun a doua numere respectiv cu teorema impartirii cu rest .

1. Aflati numerele naturale a si b stiind ca (a,b)=12 si 2a+3b=240

Solutie:
Stim ca cel mai mare divizor comun al celor doua numere a si b este 12, adica factorii comuni ale numerelor sunt numerele prime 2^{2}\cdot 3
Deci a=2^{2}\cdot 3\cdot x=12\cdot x, unde x este un numar natural si b=2^{2}\cdot 3\cdot y=12\cdot y, unde y este numar natural.

Astfel relatia de mai sus devine:
2\cdot a+3\cdot b=240\Rightarrow 2\cdot 12x+\cdot 12\cdot y=240\Rightarrow 12\left(2x+3y\right)=240\Rightarrow 2x+3y=240:12\Rightarrow 2x+3y=20
Pentru x=1, obtinem 2\cdot 1+3y=20\Rightarrow 2+3y=20\Rightarrow 3y=20-2\Rightarrow 3y=18|:3\Rightarrow y=6
Deci a=12\cdot 1=12
Si b=12\cdot 6=72

Pentru x=4 obtinem 2\cdot 4+3y=20\Rightarrow 8+3y=20\Rightarrow 3y=20-8\Rightarrow 3y=12\Rightarrow y=12:3\Rightarrow y=4 si obtinem a=12\cdot 4=48 si 12\cdot 4=48 dar aici gasim cel mai mare divizor comun al numerelor ca fiind 48 si astfel nu se mai indeplineste conditia de mai sus, adica (a,b)=48

Pentru x=7\Rightarrow 2\cdot 7+3y=20\Rightarrow 14+3y=20\Rightarrow 3y=20-14\Rightarrow 3y=6\Rightarrow y=2
Si obtinem a=12\cdot 7=84 si b=12\cdot 2=24 deci conditia ca sa rezolvam aceste exercitiu sa tinem cont la la cel mai mare divizor comun ca se iau toti factorii comuni o singura data la puterea cea mai mica.

Si astfel numerele gasite sunt a=12 si b=72, dar si a=84 si b=24

2. Aflati numerele a si b, stiind ca suma lor este 86, iar daca impartim numarul a la b obtinem catul 3 si restul 2.

Solutie:
Ca sa rezolvam aceste exercitiu trebuie sa folosim teorema impartirii cu rest.
Suma celor doua numere este:
a+b=86
a:b=3 rest 2
Iar cu teorema impartirii cu rest obtinem a=b\cdot 3+2\Rightarrow a=3b+2
Daca inlocuim mai sus obtinem a+b=86\Rightarrow 3b+2+b=86\Rightarrow2 3b+b=86-2\Rightarrow 4b=84\Rightarrow b=84:4\Rightarrow b=21
Iar a=3\cdot b+2\Rightarrow a=3\cdot 21+2=63+2=65

Problema rezolvata cu ecuatii (Inca una)

Stela a procurat 18 albume si 24 de carti pentru copii la acelasi pret. A achitat cumparaturile cu o bancnota de 500 lei si a primit rest 17 lei. Cit costa un album si cit costa o carte?

Rezolvarea este simpla. Trebuie sa stim regulile de rezolvare a problemelor cu ajutorul ecuatiilor. Cu ajutorul datelor din problema se stabilesc necunoscutele si se formeaza ecuatiile.

Solutie:

Notam

x- pretul unui albun

y- pretul unei carti

Stim ca a achitat cumparatura cu 500 de lei si a primit rest 17 lei, adica 500-17=483 lei

Astfel avem ecuatia 18x+24y=483\;\; lei

Dar stim ca albumul si cartea au acelasi pret, adica x=y

Deci ecuatia devine 18y+24y=483\Rightarrow 42y=483\Rightarrow y=483:42\Rightarrow y=11, 5\;\; lei

Cum x=y, obtinem si ca pretul albumului este tot de 11,5 lei.

Simplu, nu. Incercati si voi sa rezolvati probleme cu ecuatii folosind modele asemanatoare rezolvate pe MatePedia.

Problema rezolvata cu ajutorul ecuatiilor

Prezentam o problema rezolvata cu ajutorul ecuatiilor

Intr-un tren se urca la Bucuresti un numar de persoane, la Titu coboara 37, iar la Pitesti se urca 18. Cate persoane s-au urcat la Bucuresti, daca la Craiova au ajuns 27?
Solutie:

Fie x-numarul de persoane

Obtinem ecuatia
x-37+18=27
Rezolvam ecuatia obtinuta:

x=37-18+27 (am trecut termenii liberi cu semn schimbat)
Si obtinem:

x=19+27\Rightarrow x=46

Deci de la Bucuresti s-au urcat 46 de persoane.

Efectuam proba

P: Din numarul persoanelor care s-au urcat la Bucuresti 37 au coborat la Titu, astfel obtinem
46-37=9 persoane au ramas dupa statia Titu, apoi la Pitesti s-au mai urcat 18 persoane, deci dupa Pitesti in tren avem 18+9=27 de persoane, adica numarul persoanelor care au coborat la Craiova.
Si mai stim ca 9 persoane au mers de la Bucuresti la Craiova.