Inca 3 rezolvari probleme cu ecuatii

Prezentam inca un un articol cu probleme cu ecuatii prin care aratam cum rezolvam problemele cu ajutorul ecuatiilor.

1) Suma a trei numere este 1141. Aflati numerele stiind ca daca din primul numar scadem 65, din al doilea 72 si al treilea 80, raman numere egale.
Solutie
Notam cu
– x primul numar
– y cel de-al doilea numar
– z cel de-al treilea numar
Astfel formam ecuatiile:
x+y+z=1141
x-65=y-72=z-80
Acum ca sa aflam cele trei numere din primele doua egalitati obtinem :
x-65=y-72\Rightarrow y=x-65+72\Rightarrow y=x+7
Iar din prima si a treia egalitate gasim ca:
x-65=z-80\Rightarrow z=x-65+80\Rightarrow z=x+15
Acum daca inlocuim in prima ecuatie obtinem :
x+x+7+x+15=1141\Rightarrow 3x=1141-15-7\Rightarrow 3x=1141-22\Rightarrow 3x=1119\Rightarrow x=1119:3\Rightarrow x=373
Acum stim si ca y=x+7\Rightarrow y=373+7\Rightarrow y=380
Iar pentru z stim ca :
z=x+15\Rightarrow z=373+15\Rightarrow z=388
Acum sa efectuam proba:
x+y+z=1141\Rightarrow 373+380+388=1141
Dar mai stim si ca :
x-65=373-65=308  \\y-72=380-72=308  \\ z-80=388-80=308
Si astfel am gasit si numerele, dar am efectuat si proba.
2) Mama este mai in varsta decat fiica ei cu 20 ani . Acum 4 ani varsta mamei era de 3 ori mai mare decat a fiicei. Sa se afle varsta mamei si a fiicei.
Solutie
Notam cu x varsta mamei
y varsta ficei
Acum formam ecuatiile:
x=y+20  \\ x-4=3\left(y-4\right)
Acum daca inlocuim in cea de-a doua ecuatie obtinem:
y+20-4=3y-12\Rightarrow y+16=3y-12\Rightarrow y-3y=-16-12\rightarrow -2y=28\Rightarrow y=14
Deci fiica are 14 ani. Acum sa calculam si varsta mamei:
x=y+20\Rightarrow x=14+20\Rightarrow x=34
Deci mama are 34 de ani.
Acum sa efectuam proba:
x-4=34-4=30
Dar mai stim si ca
3\left(y-4\right)=3\left(14-4\right)=3\cdot 10=30
Deci mama are 34 de ani, iar fiica 14 ani.

3)Pentru o cabana s-au folosit 195 grinzi de brad si de stejar care cantaresc in total 17820 kg. O grinda de brad cantareste 72 kg, iar una de stejar cat 3/2 din una de brad. Cate grinzi din fiecare fel s-au folosit?
Solutie:
Notam cu
x-grinzile de brad
y- grinzile de stejar
Formam ecuatiile:
x+y=195 (stim ca grinzile sunt in numar de 195)
Stim ca o grinda de grad cantareste 72 kg, iar una de stejar cantareste
\frac{3}{2}\cdot 72=\frac{3\cdot 72}{2}=\frac{216}{2}=108
Astel mai stim si ca
72x+108y=17820
Din prima ecuatie estim ca
x+y=195\Rightarrow x=195-y
Acum daca inlocuim in cea de-a doua ecuatie obtinem:
72\left(195-y\right)+108y=17820\Rightarrow 72\cdot 195-72\cdot y+108y=17820\Rightarrow 14040-72y+108y=17820\Rightarrow 14040+36y=17820\Rightarrow 36y=17820-14040\Rightarrow 36y=3780\Rightarrow y=\frac{3780}{36}\Rightarrow y=105
Deci am aflat numarul grinzilor de stejar, acum sa aflam si numarul grinzilor de brad
x=195-105\Rightarrow x=90
Deci numarul grinzilor de brad este de 90.
Acum efectuam proba:
72\cdot x+108\cdot y=72\cdot 90+108\cdot 105=6480+11340=17820
Deci am gasit 17820 kg.
4) Calculati 5% din 25
\frac{5}{100}\cdot 25=\frac{5\cdot 25}{100}=\frac{125}{100}^{(25}==\frac{125:25}{100:25}\frac{5}{4}
Ca sa rezolvam exercitiu prima data am scris procentul sub forma de fractie, iar apoi am inmultit numaratorul cu numarul 25 si numitorul l-am copiat, rezultatul pe care l-am obtinut l-am simplificat prin 25

Ordinea efectuarii operatiilor Folosirea parantezelor la rapoarte algebrice

Dupa ce am invatat sa inmultim doua rapoarte sa impartim doua rapoarte sa scadem si sa adunam doua rapoarte algebrice, astazi o sa efectuam operatii cu rapoarte algebrice, care dupa cum v-am spus joaca un rol important pentru examenul de Evaluare Nationala .

Cu rapoartele algebrice efectuam urmatoarele tipuri de operatii:

– de ordinul I (adunarea si scderea)

– de ordinul II (inmultirea si impartirea )

-de  ordinul III (ridicarea la putere).

Calculul cu rapoarte algebrice se face respectand regulile pe  care le respectam si cand efctuam operatii cu numere rationale.

Astfel avem urmatoarele reguli:

– daca avem operatii de acelasi ordin, se efectueaza operatiile in care apar, in ordinea in care sunt scrise

– daca avem operatii de ordin diferit, se efectueaza mai intai operatiile de gradul III, apoi cele de gradul II si in final cele de gradul I, iar daca apar si paranteze , efectuam mai intai operatiile din parantezele rotunde, apoi cele patrate, si, ultima data cele din acolade.

Prezentam cateva exemple care sa ne faca sa intelegem ce am spus mai sus:

Exemplu:

1) Efectuati:

a) \frac{x^{2}+1}{x}-\frac{x^{2}}{x+1}-\frac{1}{x+x^{2}}-\frac{x^{2}-1}{x^{2}+2x+1}:\frac{x-1}{x+1}=    \frac{x^{2}+1}{x}-\frac{x^{2}}{x+1}-\frac{1}{x\left(1+x\right)}-\frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{\left(x+1\right)^{2}}\cdot\frac{x+1}{x-1}=\frac{x^{2}+1}{x}-\frac{x^{2}}{x+1}-\frac{1}{x\left(1+x\right)}-\frac{1}{x+1}\cdot\frac{x+1}{1}=\frac{x^{2}+1}{x}-\frac{x^{2}}{x+1}-\frac{1}{x\left(1+x\right)}-\frac{x+1}{x+1}=\frac{x^{2}+1}{x}-\frac{x^{2}}{x+1}-\frac{1}{x\left(1+x\right)}-1=\frac{\left(x^{2}+1\right)\cdot\left(x+1\right)-x\cdot x^{2}-1-x\left(x+1\right)}{x\left(x+1\right)}=\frac{x^{3}+x^{2}+x+1-x^{3}-1-x^{2}-x}{x\left(x+1\right)}=\frac{0}{x\left(x+1\right)}=o

Ca sa rezolvam raportul de mai sus prima data am tinut cont de ordinea efectuarii operatiilor, adica am efectuat prima data impartirea, am dat factor comun pe unde am putut iar apoi am simplificat la produs unde am putut.  Apoi am adus la acelasi numitor rapoartele rezultate (adica am descompus numitorii in produs de factorii primii si am gasit c.m.m.m.c al numitorilor si apoi am amplificat fiecare fractie), am efectuat calculele si am observat ca la numaratori  s-au redus toti termenii si am obtinut rezultatul 0.

2) Fie expresia

E\left(x\right)=\left(\frac{x+2}{x+3}+\frac{x-2}{x-3}-\frac{x^{2}-3}{x^{2}-9}\right)\cdot\frac{x^{2}-4}{x^{2}+4x+4}

a) Determinati valorile lui x pentru care expresia este bine definita.

b) Aratati ca E\left(x\right)=\frac{x-2}{x+2}

c) Rezolvati ecuatia 2\cdot E\left(x\right)=1

a) Ca sa aflam valorile lui x pentru care expresia este bine definita punem conditia ca numitorii sa fie diferiti de 0:

x+3\neq 0 \Rightarrow x\neq -3    \\ x-3\neq 0\Rightarrow x\neq 3    \\ x^{2}+4x+4\neq 0\Rightarrow \left(x+2\right)^{2}\neq 0\Rightarrow x=-2

Deci domeniul de definitie al raportului este x\in R-\left\{3, -3, -2\right\}

Ca sa aflam valorile lui x rezolvam toate ecuatiile de la numitorii rapoartelor si astfel le aflam.

b) Ca sa aducem expresia la forma procedam astfel:

Rezolvam mai intai  paranteza, iar in paranteza descompunem numitorii in produs de factori primi si gasim numitorul comun:

E\left(x\right)=\left(\frac{x+2}{x+3}+\frac{x-2}{x-3}-\frac{x^{2}-3}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}\right)\cdot\frac{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}{\left(x+2\right)^{2}}=

 

\left(\frac{\left(x-3\right)\left(x+2\right)+\left(x+3\right)\left(x-2\right) -1\cdot \left(x^{2}-3\right)}{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}\right)\cdot\frac{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}{\left(x+2\right)^{2}}=

\left(\frac{x^{2}+2x-3x-6+x^{2}-2x+3x-6-x^{2}+3}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}\right)\frac{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}{\left(x+2\right)^{2}}=

\left(\frac{x^{2}-9}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}\right)\frac{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}{\left(x+2\right)^{2}}=    \left(\frac{x^{2}-9}{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}\right)\frac{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}{\left(x+2\right)^{2}}=    \left(\frac{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}\right)\frac{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}{\left(x+2\right)^{2}}=\frac{x-2}{x+2}

c) Rezolvam ecuatia 2\cdot E\left(x\right)=1\Rightarrow 2\cdot\frac{x-2}{x+2}=1\Rightarrow \frac{x-2}{x+2}=\frac{1}{2}\Rightarrow 2\cdot\left(x-2\right)=1\cdot\left(x+2\right)\Rightarrow 2x-4=x+2\Rightarrow x=6

Ca sa rezolvam ecuatia de mai sus in locul expresiei am pus valoarea pe care am gasit-o la b, apoi am facut produsul mezilor egal cu produsul extremilor, iar restul este o rezolvare de clasa a V-a  si astfel am gasit solutia ecuatiei.

Deci, important la operatii cu rapoarte , este sa stim foarte bine descompunerea rapoartelor, formulele de calcul prescurtat (ca sa putem sa restrangem patratele) si sa gasim corect numitorul comun.