Rezolvarea inecuatiilor dar si rezolvarea problemelor cu ajutorul ecuatiilor

1.Nr. naturale care verifica inecuatia 17,83-x>16,5 sunt ?

2. Nr.naturale nenule care verifica inegalitatea 9x<15? Solutie: Rezolvam mai intai prima inecuatie, astfel avem ca: 17,83-x>16,5\Rightarrow 17,83-16,5>x\Rightarrow 1,33>x

Sau mai putem rezolva inecuatia si astfel:

17,83-x>16,5\Rightarrow -x>16,5-17,83|\cdot \left(-1\right)\Rightarrow x<-16,5+17,83\Rightarrow x<1,33
Deci solutia inecuatiei este x\in \left(-\infty,1,33\right)
Dar in cazul nostru doar in multimea numerelor naturale, astfel numerele naturale care verifica inecuatia sunt 0 si 1.
2.Ca sa aflam numerele naturale care verifica inegalitatea, rezolvam inecuatia
9x<15|:9\Rightarrow x<\frac{15}{9}^{(3}\Rightarrow x<\frac{5}{3}\Rightarrow x<5:3\Rightarrow x<1,(6)
Astfel gasim solutia inecuatiei
x\in\left(-\infty, 1,(6)\right)

Dar numerele naturale care verifica inegalitatea sunt 0 si 1.
3. Daca x=10, atunci inlocuim x in ecuatia de mai jos si apoi rezolvam ecuatia care rezulta
2a+7,3\cdot x=73\Rightarrow 2a+7,3\cdot 10=73\Rightarrow \Rightarrow a=0
Deci obtinem ca a=0
Stim ca multimea numerelor naturale este \left\{0,1, 2,...,n...\right\}
4. Soferul unui autobuz a constatat ca, dupa ce a parcus 2 supra 3 din lungimea traseului, mai are de parcus 87,65km. Determinati lungimea traseului pe care il are de parcus autobuzul.

Solutie:

Notam cu x distanta parcursa de soferul de autobuz

Acum formam ecuatia:

x-\frac{2}{3}\cdot x=87,65

Acum rezolavam ecuatia:

x-\frac{2}{3}x=87,65|\cdot 3\Rightarrow 3\cdot x-\frac{2}{3}x\cdot 3=87,65\cdot 3\Rightarrow 3x-2x=262,95\Rightarrow x=262,95

Deci lungimea traseului pe care il are de parcurs soferul este 262,95 Km.

Acum efectuam proba:

262,95-\frac{2}{3}\cdot 262,95=262,95-\frac{2\cdot 262,95}{3}=262,95-\frac{525,9}{3}=262,95-175,3=87,65

Deci se verifica.
Astfel la rezolvarea problemelor cu ajutorul ecuatilor important este sa tinem cont de etapele pe care trebuie sa le parcurgem pentru rezolvarea corecta a problemelor.

Problema rezolvata cu ajutorul Teoremei impartirii cu rest

In acest articol prezentam o problema care se rezolva cu ajutorul Teoremei impartirii cu rest, astfel avem:

Catul a doua numere naturale este 4 si restul 15. Daca din cel mai mare numar s-ar scadea nr 240,numerele ar deveni egale. Care sunt numerele?
Solutie
Pentru a rezolva problema mai intai stim ca
q=4 si r=15
Mai stim ca cele doua numere pe care trebuie sa le aflam sunt naturale.
Deci fie
a,b\in N, a>b cele doua numere naturale
Astfel daca aplicam Teorema impartirii cu rest obtinem
a:b  \\ q=4  r=15  \\a =b\cdot q+r  \\ a=b\cdot 5+15
Dar mai stim si ca daca din cel mai mare numar scadem 240, numerele ar deveni egale, astfel obtinem ecuatia
a-240=b
Acum daca inlocuim mai sus gasim ca
a=\left(a-240\right)\cdot 4+15\Rightarrow a=4\cdot a-240\cdot 4+15\Rightarrow a=4a-960+15\Rightarrow 960-15=4a-a\Rightarrow 945=3a\Rightarrow a=945:3\Rightarrow a=315
Deci am gasit numarul a, acum sa aflam b.
b=a-240\Rightarrow b=315-240\Rightarrow b=75
Observam ca cele doua numere pe care le-am gasit sunt naturale, acum sa efectuam si proba:
Daca impartim cele doua numere trebuie sa obtinem catul 4 si restul 15
problema rezolvata cu Teorema impartirii cu rest
Iar daca scadem din numarul cel mai mare 240, numerele ar deveni egale315-240=75
Deci am gasit cele doua numere.

Rezolvare probleme cu ecuatii clasa a VI-a

Dupa cum bine stiti am mai rezolvat probleme cu ecuatii, in clasa a V-a cu rezolvarea ecuatiilor in multimea numerelor naturale. Dar acum o sa invatam probleme care se rezolva cu ajutorul ecuatiilor in multimea numerelor rationale pozitive. Despre Multimea numerelor rationale pozitive am mai discutat, cei care nu va mai remintiti, cititi aici. Astfel ne reamintim etapele pe care trebuie sa le parcurgem pentru rezolvarea problemelor cu ajutorul ecuatiilor.

Pasi ca sa rezolvam probleme cu ecuatii

– Stabilim necunoscuta/necunoscutele si le notam

– Scriem datelor si relatiilor din problema pana la obtinerea ecuatiei/ecuatiilor

– Rezolvarea ecuatiei/ecuatiilor

– Interpretarea solutiei si formularea raspunsului la problema

– Proba Probleme cu ecuatii: Incepem cu o problema distractiva

1) Ma gandesc la un numar. Il adun cu 14,3. Rezultatul il inmultesc cu 2,5. Din noul rezultata scad 21,83 si obtin 20,17. Care este numarul la care m-am gandit?

Fie x- numarul la care m-am gandit x+14,3 numarul il adunam cu 14,3, apoi il inmultim cu 2,5

 

\left(x+14,3\right)\cdot 2,5 Acum din noul rezultat scad 21,83, deci obtinem:

\left(x+14,3\right)\cdot 2,5-21,83 si obtinem 20,17 \left(x+14,3\right)\cdot 2,5-21,83=20,17

Astfel dupa ce am obtinut ecuatia o rezolvam

\left(x+14,3\right)\cdot 2,5-21,83=20,17\Rightarrow \left(x+14,3\right)\cdot 2,5=20,17+21,83\Rightarrow \left(x+14,3\right)\cdot 2, 5=42,00\Rightarrow x+14,3=42:2, 5\Rightarrow x+14,3=420:25\Rightarrow x+14,3=16,8\Rightarrow x=16,8-14,3\Rightarrow x=2,5

Deci numarul la care m-am gandit este 2,5.

Acum efectuam proba :

\left(x+14,3\right)\cdot 2,5-21,83=20,17\Rightarrow \left(2,5+14,3\right)\cdot 2,5-21,83=16,8\cdot 2,5-21,83=42-21,83=20,17 ceea ce trebuie sa obtinem.

2) Diferenta a doua numere este 12,2, iar media lor aritmetica este egala cu 34,2. determinati numerele.

SolutieȘ

Fie a si b cele doa numere, astfel diferenta numerelor o scriem:

a-b=12,2 si media aritmetica a celor doua numere este 34,2 adica \frac{a+b}{2}=34,2,

Deci am obtinut ecuatiile:

a-b=12,2(**) si \frac{a+b}{2}=34,2\Rightarrow a+b=34,2\cdot 2\Rightarrow a+b=68,4 (**)

Din  (*) scoatem a si obtinem: a-b=12,2\Rightarrow a=12,2+b (***)

Si ca inlocuim in (**) obtinem:

12,2+b+b=68,4\Rightarrow 12,2+2b=68,4\Rightarrow 2b=68,4-12,2\Rightarrow 2b=56,2|:2\Rightarrow b=\frac{56,2}{2}\Rightarrow b=28,1

deci am gasit b=28,1

Acum ca sa aflam a inlocuim b in (***) si obtinem:

a=12,2+28,1\Rightarrow a=40,3 Si astfel am obtinut si a.

Acum efectuam proba, adica diferenta celor doua numere este 12,2 a-b=40,3-28,1=12,2

Iar media aritmetica a celor doua numere este 34,2, astfel

\frac{a+b}{2}=\frac{40,3+28,1}{2}=\frac{68,4}{2}=34,2.