Exercitii cu radicali Exercitii cu numere reale

Dupa ce am discutat despre numere reale, adica Radacina patrata a unui numar  natural patrat perfect, Modulul unui numar real, Reprezentarea pe axa a numerelor reale, Produsul radicalilor, Catul radicalilor, Introducerea factorilor sub radicali, Scoaterea factorilor de sub radicali, Operatii cu numere reale, Rationalizarea numitorilor unei fractii, Formule de calcul prescurtat si nu in ultimul rand Media geometrica adoua numere reale nenegative astazi o sa ne reaminitm cum se efectueaza aceste exercitii, adica o recapitulare a intregului capitol al Numerelo reale. Astfel prezentam Exercitii cu radicali

 

1. Rezultatul calculului \frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{3}{2\sqrt{3}}-\frac{5}{4\sqrt{3}} este …

Ca sa aflam rezultatul acestui calcul mi intai rationalizam numitorii dupa cum am invatat si astfel obtinem:

\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{3\sqrt{3}}{2\cdot 3}-\frac{5\sqrt{3}}{4\cdot 3}=\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{5\sqrt{3}}{12}=\frac{4\sqrt{3}+6\sqrt{3}-5\sqrt{3}}{12}=\frac{5\sqrt{3}}{12}

2) Calculand \sqrt{27}\left(\frac{4}{\sqrt{3}}-\frac{5\sqrt{3}}{3}\right) se obtine….

Solutie:

3\sqrt{3}\left(\frac{4\sqrt{3}}{3}-\frac{5\sqrt{3}}{3}\right)=3\sqrt{3}\left(\frac{4\sqrt{3}-5\sqrt{3}}{3}\right)=3\sqrt{3}\left(\frac{-sqrt{3}}{3}\right)=\sqrt{3}\cdot\left(-\sqrt{3}\right)=-3

Ca sa rezolvam exercitiul de mai sus, mai intai am scos factorii de sub radicali, iar apoi am rationalizat, am efectuat calculele si astfel am gasit rezultatul final, nu inainte de a simplifica pe unde am putut.

3. Rezultatul calculului \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{1+\sqrt{2}} este egal cu …
Solutie

Ca sa afla rezultatul calculului mai intai rationalizam numitorii, cu regula care am invatat-o la lectua Rationalizarea numitorilor

a sa afla rezultatul calculului mai intai rationalizam numitorii, cu regula care am invatat-o la lectua Rationalizarea numitorilor

\frac{\sqrt{3}-\sqrt{4}}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-\left(\sqrt{4}\right)^{2}}+\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\left(\sqrt{2}\right)^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}+\frac{1-\sqrt{2}}{1^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}}=

\frac{\sqrt{3}-2}{3-4}+\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2-3}+\frac{1-\sqrt{2}}{1-2}=\frac{\sqrt{3}-2}{-1}+\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{-1}+\frac{1-\sqrt{2}}{-1}=1

4. Daca x=\sqrt{\left(2-\sqrt{5}\right)^{2}}+|\sqrt{5}-3|=|2-\sqrt{5}|+|\sqrt{5}-3|=\sqrt{5}-2+3-\sqrt{5}=-2+3=1

Ca sa rezolvam exercitiul de mai sus trebuie sa tinem cont de anumite reguli, adica:

stim \sqrt{a^{2}}=|a|=a,\;\;\;daca\;\;\; a>0 si -a\;\;\;daca \;\;\;a<0 astfel in cazul nostru stim ca \sqrt{5}\approx 2, 236 deci mai mare decat 2 si astfel obtinem:

 

\sqrt{\left(2-\sqrt{5}\right)^{2}}=|2-\sqrt{5}|=-\left(2-\sqrt{5}\right)=-2+\sqrt{5}=\sqrt{5}-2

asemanator facem si pentru |\sqrt{5}-3|.

5. Daca x=\sqrt{\left(1-\sqrt{2}\right)^{2}}, y=\sqrt{\left(\sqrt{2}-3\right)^{2}} si z=2\sqrt{6}\left(\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}}-\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right), atunci x+y-z este….

Solutie:

Calculam mai intai

x=|1-\sqrt{2}|=-\left(1-\sqrt{2}\right)=\sqrt{2}-1, iar apoi

y=|\sqrt{2}-3|=-\left(\sqrt{2}-3\right)=3-\sqrt{2}, deoarece observam ca \sqrt{2}<3, \sqrt{2}\approx 2,141

iar

z= 2\sqrt{6}\left(\frac{\sqrt{3}\cdot 4\sqrt{3}-\sqrt{2}\cdot 3\sqrt{2}}{\sqrt{6}}\right)=2\sqrt{6}\cdot \frac{4\sqrt{9}-3\sqrt{4}}{\sqrt{6}}=2\sqrt{6}\cdot\frac{4\cdot 3-3\cdot 2}{\sqrt{6}}=2\sqrt{6}\cdot\frac{12-6}{\sqrt{6}}=2\sqrt{6}\cdot\frac{6}{\sqrt{6}}=2\cdot 6=12

Observam ca la exercitiul de mai sus mai intai in paranteza am adus la acelasi numitor comun (puteam sa si rationalizam, de obiecei alegem metoda care ni se pare mai usoara), am efectuat calculele din paranteza , iar apoi am efectuat produsul dintre numarul din fata parantezei si rezultatul din paranteza, nu inainte de a simplifica.

Acum calculam x+y-z=\sqrt{2}-1+3-\sqrt{2}-12=2-12=-10

6. Calculand \frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}+\frac{6}{\sqrt{3}}-\frac{5}{\sqrt{5}}, se obtine…

Solutie

\frac{2\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)}{\left(\sqrt{5}\right)^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}+\frac{6\sqrt{3}}{3}-\frac{5\sqrt{5}}{5}=    \frac{2\sqrt{5}+2\sqrt{3}}{5-3}+2\sqrt{3}-\sqrt{5}=\frac{2\sqrt{5}+2\sqrt{3}}{2}+2\sqrt{3}-\sqrt{5}=\frac{2\sqrt{5}+2\sqrt{3}+4\sqrt{3}-2\sqrt{5}}{2}=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}.

Observati  ca acum am rationalizat pare mai usor de calculat si gasim cam greu numitorul comun, iar apoi am efectuat calculele cu numere reale, adica am folosit regulile de calcul cu radicali si astfel am gasit rezultatul.

7. Daca a=\sqrt{\left(\sqrt{3}-3\right)^{2}} si b=\sqrt{\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}} atunci media aritmetica a lor este egal cu….

Solutie:

Mai intai calculam a=|\sqrt{3}-3|=-\left(\sqrt{3}-3\right)=3-\sqrt{3}, iar

b=|2+\sqrt{3}|=2+\sqrt{3}, astfel media aritmetica a celor doua numere este:

m_{a}=\frac{a+b}{2}=\frac{3-\sqrt{3}+2+\sqrt{3}}{2}=\frac{3+2}{2}=\frac{5}{2}.

8. Calculand

\left(\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}}-\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}\right)^{12}+\sqrt{\left(1-\sqrt{5}\right)^{2}}-|2-\sqrt{5}| se obtine…

Solutie:

\left(\frac{\sqrt{3}\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)}{3}-\frac{\sqrt{3}\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)}{\left(\sqrt{5}\right)^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}}\right)^{12}+|1-\sqrt{5}|-\left[-\left(2-\sqrt{5}\right)\right]=

\left(\frac{\sqrt{15}-\sqrt{6}}{3}-\frac{\sqrt{15}-\sqrt{6}}{5-2}\right)^{12}+\sqrt{5}-1-\left(-2+\sqrt{5}\right)=

\left(\frac{\sqrt{15}-\sqrt{6}}{3}-\frac{\sqrt{15}-\sqrt{6}}{3}\right)^{12}+\sqrt{5}-1+2-\sqrt{5}=\left(\frac{\sqrt{15}-\sqrt{6}-\sqrt{15}+\sqrt{6}}{3}\right)^{12}+1

Ca sa rezolvam exercitiul de mai sus  observam ca am rationalizat fractiile, iar apoi am efectuat calculele si astfel am observat ca ni s-au redus toti termenii, iar modulele le-am rezolvat cum am facut mai sus .Astfel am obtinut rezultatul 1.

9. Calculand \sqrt{4-\sqrt{7}}\cdot\sqrt{4+\sqrt{7}}-\sqrt{2-\sqrt{3}}\cdot\sqrt{2+\sqrt{3}} se obtine….

Solutie

\sqrt{\left(4-\sqrt{7}\right)\cdot\left(4+\sqrt{7}\right)}

-\sqrt{\left(2-\sqrt{3}\right)\cdot\left(2+\sqrt{3}\right)}=

\sqrt{4^{2}-\sqrt{7}^{2}}-\sqrt{2^{2}-\sqrt{3}^{2}}=    \sqrt{16-7}-\sqrt{4-3}=\sqrt{9}-\sqrt{1}=3-1=2

Ca sa rezolvam exercitiul de mai sus am folosit produsul radicalilor, dar si formulele de calcul prescurtat, adica formula a^{2}-b^{2}=\left(a-b\right)\cdot\left(a+ \right) precum si radacina patrata a unui numar natural.

Deci e important ca la exercitii cu radicali sa invatam toate notiunile care tin de acest capitol.

 

 

 

Operatii cu numere reale. Formule de calcul prescurtat

Inca din generala ati invatat sa efectuati operatii cu numere reale, dar sa si folositi formulele de calcul prescurtat. Incercam sa rezolvam exercitii astfel incat sa ne reamintim cum sa folosim numerele reale si formulele de calcul prescurtat.

1) Calculati:
a) <br /> \left(\frac{2}{5\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{12}}+\frac{3}{\sqrt{75}}\right):\left(2\sqrt{3}\right)^{-1}=\\</p> <p>\left(\frac{2\sqrt{3}}{15}-\frac{\sqrt{12}}{12}+\frac{3\sqrt{75}}{75}\right): \frac{1}{2\sqrt{3}}=\\<br /> \left(\frac{2\sqrt{3}}{15}-\frac{2\sqrt{3}}{12}+\frac{3\sqrt{75}}{75}\right)\cdot 2\sqrt{3}=\\<br /> \left(\frac{2\sqrt{3}}{15}-\frac{\sqrt{3}}{6}+\frac{5\sqrt{3}}{25}\right)\cdot 2\sqrt{3}=\\<br /> \left(\frac{2\sqrt{3}}{15}-\frac{\sqrt{3}}{6}+\frac{\sqrt{3}}{5}\right)\cdot 2\sqrt{3}=\\<br /> \left(\frac{2\cdot 2\sqrt{3}-5\cdot\sqrt{3}+6\cdot\sqrt{3}}{30}\right)\cdot 2\sqrt{3}=\\<br /> \left(\frac{4\sqrt{3}-5\sqrt{3}+6\sqrt{3}}{30}\right)\cdot 2\sqrt{3}=<br /> \left(\frac{5\sqrt{3}}{30}\right)\cdot 2\sqrt{3}=<br /> \frac{5\cdot 3}{15}=1.</p> <p>

Ca sa rezolvam exercitiul de mai sus am rationalizat numitorii, am scos factorii de sub radicali (stim ca \sqrt{a^{2}}=|a|, \sqrt{a^{2}\cdot b}=|a|\sqrt{b}), iar apoi am simplificat pe unde s-a putut, pentru a ne simplifica calculele, am adus la acelasi numitor, am efectuat calculele iar apoi am facut produsul celor doua rezultate, stim ca a^{-1}=\frac{1}{a} si de aici obtinem \left(2\sqrt{3}\right)^{-1}=\frac{1}{2\sqrt{3}},iar de la impartirea a doua numere rationale stim ca este egal cu produsul dintre primul si inversul celui de-al doilea, de unde obtinem rezultatul.

b) <br /> \sqrt{7-4\sqrt{3}}+\sqrt{4-2\sqrt{3}}+\sqrt{3-2\sqrt{2}}=\sqrt{\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}}+\sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}}+\sqrt{\left(1-\sqrt{2}\right)^{2}}=\\<br /> \left|2-\sqrt{3}\right|+\left|1-\sqrt{3}\right|+\left|1-\sqrt{2}\right|=2-\sqrt{3}+\sqrt{3}-1+\sqrt{2}-1=\sqrt{2}.<br />

Dupa cum stiti din clasa a VIII-a trebuie sa sa gasim o forma astfel incat sa putem sa scriem numerele de sub radical la patrat pentru ca stim ca  \sqrt{a}=\left|a\right|, astfel folosim formulele de calcul prescurtat, pentru a putea scoate factorii de sub radicali, iar apoi folosim definitia modulului, iar apoi restul este un simplu calcul.
c)</p> <p>2\sqrt{7-\sqrt{48}}+3\sqrt{43-30\sqrt{2}}+9\sqrt{25-4\sqrt{6}}=<br /> 2\sqrt{\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}}+3\sqrt{\left(5-3\sqrt{2}\right)^{2}}+9\sqrt{\left(1-2\sqrt{6}\right)^{2}}=<br /> \\2\left|2-\sqrt{3}\right|+3\left|3\sqrt{2}-5\right|+9\left|2\sqrt{6}-1\right|=<br /> \\2\left(2-\sqrt{3}\right)+3\left(5-3\sqrt{2}\right)+9\left(2\sqrt{6}-1\right)=<br /> 4-2\sqrt{3}+15-9\sqrt{2}+18\sqrt{6}-9=10-2\sqrt{3}-9\sqrt{2}+18\sqrt{6}

Ca sa rezolvam exercitiile ca si la exercitiul b) trebuie sa folosim formulele de calcul prescurtat ca sa scriem numarul de sub radical ca un numar la patrat. Observam cum sa-l scriem de exemplu la primul radical 7-\sqrt{48}, trebuie sa ne gandim ca suma la patrat a celor doua numere trebuie sa obtinem, iar produsul celor doua numere trebuie sa fie \sqrt{48}, cum stim ca folosim formula de calcul prescurtat (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, dar la noi 2 este introdus sub radical, iar daca scoatem factorul de sub radicalul \sqrt{48}=2\sqrt{12}, deci produsul dintre a si b este a\cdot b=\sqrt{12}, iar singura posibilitate este ca a=\sqrt{3}, b=\sqrt{4}=2.

Sau putem folosi formulaele
<br /> \sqrt{a+\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^{2}-b}}{2}}+\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^{2}-b}}{2}}<br /> \\\sqrt{a-\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^{2}-b}}{2}}-\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^{2}-b}}{2}}<br />

Formulele de mai sus se numesc formulele radicalilor compusi, si ne ajuta sa scriem radicali chiar daca necesita mai mult calcul.