Rezolvare ecuatii de gradul al doilea

Sa rezolvam ecuatii de gradul al doilea.

1) Rezolvati in multimea numerelor reale ecuatiile:

a) 42:\left(x\cdot x-58\right)+800:\left(10\cdot 28-10\cdot 18\right)=15\Rightarrow 42:\left(x^{2}-58\right)+800:\left(280-180\right)=15\Rightarrow 42:\left(x^{2}-58\right)+800:100=15\Rightarrow 42:\left(x^{2}-58\right)+8=15\Rightarrow 42:\left(x^{2}-58\right)=15-8\Rightarrow
42:\left(x^{2}-58\right)=7\Rightarrow \frac{42}{x^{2}-58}=7|\cdot \left(x^{2}-58\right)\Rightarrow \frac{42}{x^{2}-58}\cdot\left(x^{2}-58\right)=7\cdot \left(x^{2}-58\right)\Rightarrow
\frac{42}{1}\cdot 1=7x^{2}-7\cdot 58\Rightarrow 42=7x^{2}-406\Rightarrow
42+406=7x^{2}\Rightarrow 7x^{2}=448\Rightarrow x^{2}=448:7\Rightarrow
x^{2}=64\Rightarrow x=\pm\sqrt{64}\Rightarrow x=\pm 8
Deci, solutiiile ecuatiei sunt, +8, -8.

Ca sa rezolvam ecuatia de mai sus am efectuat mai intai operatiile de inmultire in parantezele rotunde, apoi am efectuat operatia de impartire dintre numerele intregi, apoi ca sa ne simplificam calculele am inmultit atat membrul drept cat si membrul drept al ecuatiei cu x^{2}-56(pentru a se simplifica numitorul fractiei din membrul stang). Iar in membrul drept am efectuat inmultirile, adica am desfintat paranteza, apoi am separat termenii asemenea, am efecutat adunarea  , iar apoi am impartit prin 7, astfel ca am obtinut o ecuatie de forma x^{2}=a si astfel am obtinut cele doua solutii 8 si -8.

b) \left(y+7\right):3=5\Rightarrow y+7=3\cdot 5\Rightarrow y+7=15\Rightarrow y=15-7\Rightarrow y=8

Ca sa rezolvam ecuatia de mai sus am  folosit Proprietatea fundamentala a proportiilor, adica intr-o proportie  produsul mezilor egla cu produsul extremilor, apoi am efectuat scaderea si astfel am obtinut rezultatul y=8.

2) Doua kg de malai costa cat un kg de orez, iar doua kg de orez costa cat un kg de ciuperci. cat costa 3 kg de orez si 5 kg de malai daca 5 kg de ciuperci costa 60 lei

Solutie:

Mai intai aflam cat costa un Kg de ciuperci si astfel efectuam:
60:5=12
Deci 12 lei costa un Kg de ciuperci

Mai stim si ca
2 Kg malai=1 Kg orez
2Kg orez =1Kg cuperci
Deci 2 Kg de orez costa 12 lei, astfel un Kg costa 12:2=6, deci un Kg de orez costa 6 lei,

Mai stim si ca:

2 Kg malai =1 Kg orez
Deci avem ca 2 Kg malai =6 lei, astfel un Kg de malai costa 6:2=3 lei, astfel am gasit ca  un Kg de malai costa 3 lei.
Astfel 3 Kg de orez si 5 Kg de malai costa:
3\cdot 6+5\cdot 3=18+15=33
Deci in total costa 33 de lei.

Sper ca ati prins ideea despre rezolvare ecuatii de gradul al doilea. Daca nu, este cazul sa mai aprofundati matematica rasfoind articolele de pe site.

Rapoarte si proportii Raport Valoarea raportului

Dupa ce am invatat sa rezolvam exercitiile cu numere rationale, dar si ecuatiile cu numere rationale a venit vremea sa discutam despre Rapoarte si proportii, astazi discutam despre Raport.

Definitie: Fiind date numerele rationale pozitive a si b, cu b\neq 0, prin raportul lor intelegem numarul rational  a:b, notat \frac{a}{b}.

Exemplu:

Intr-o clasa sunt 16 baieti si 12 fete. Spunem ca raportul dintre  numarul baietilor si numarul fetelor este egal cu \frac{16}{12}^{(4}=\frac{4}{3}.

Scriem \frac{a}{b} este raportul, iar a si b sunt termenii raportului.

Observatie la scrierea raportului a doua marimi, de aceiasi natura, trebuie tinut seama ca aceasta trebuie obligatoriu sa fie exprimate in aceiasi unitate de masura.

Exemplu:

1)  Latimea unui dreptunghi este egala cu 180 cm, iar lungimea este egala cu 3, 6 m. Pentru a afla raportul dintre latimea l si lungimea L dreptunghiului, mai intai transformam L=3,6m=360 cm si apoi obtinem:

\frac{l}{L}=\frac{180}{360}^{(20}=\frac{9}{18}^{(9}=\frac{1}{2}

Dar putem sa formam rapoarte si cu cantitati de tipuri diferite:

Exemplu:

Daca unui om ii trebuie 4 ore pentru a parcurge 16 km, atunci se formeaza raportul dintre distanta parcura si numarul de ore

\frac{16 km}{4 h}=16km:4 h=4km/h.

In cazul de fata formarea  raportul  a dus la un nou concept dupa cum bine stiti si de la Fizica, adica de viteza km/h.

Valoarea raportului

Fiecare raport \frac{a}{b} are o valoare c, pe care o obtinem astfel a:b=c

Exemplu :

Valoarea raportului \frac{7}{2} este egala cu 3,5, deoarece avem 7:2=3,5

Exercitiu:

1) Se stie ca \frac{11a}{5b}=550. Calculati valoarea raportului \frac{a}{b}

Solutie :Stim ca

\frac{11a}{5b}=550.

Daca inmultim cu 5, egalitatea de mai sus obtinem:

\frac{11a}{5b}=550|\cdot 5\Rightarrow \frac{11a}{5b}\cdot 5=550\cdot 5\Rightarrow \frac{11a}{b}=2750

Acum cada impartim la 11 egalitatea pe care am obtinut-o mai sus obtinem:

\frac{11a}{b}=2750|:11\Rightarrow \frac{11a}{b}:11=2750:11\Rightarrow \frac{11a}{b}\cdot\frac{1}{11}=250\Rightarrow \frac{11a}{11b}^{(11}=250\Rightarrow \frac{a}{b}=250

Si astfel am obtinut ca raportul \frac{a}{b}=250.

2) Stiind ca \frac{x}{y}=0,75 aflati valoarea raportului \frac{5y-7x}{6y-8x} daca exista.

Solutie :

Ca sa rezolvam exercitiul de mai sus scoatem pe x in functie de y si astfel obtinem:

\frac{x}{y}=0,75\Rightarrow x=0,75y

Iar acum inlocuim in raportul pe care ni-l da problema:

\frac{5y-7x}{6y-8x}=\frac{5y-7\cdot 0,75 y}{6y-8\cdot 0,75y}=\frac{5y-5,25y}{6y-6y}

Observam ca nu putem sa efectuam scaderea in multimea numerelor naturale, iar la numitorul raportului obtinem 0, si din definitia raportului stim ca numitorul trebuie sa fie diferit de 0, deci raportul nu exista.

3) Un dreptunghi are aria egala cu 6 cm^{2}. Determinati lungimile laturilor sale stiind ca raportul dintre latime si lungime are valoarea 0,\left(6\right).

Solutie

Stiind aria dreptunghiului, astfel scriem:

L\cdot l=6(*)

Dar mai stim si \frac{l}{L}=0,\left(6\right)\Rightarrow \frac{l}{L}=\frac{6}{9}^{(3}=\frac{2}{3}

Astfel daca scoatem latimea in relatia de mai sus in funtie de lungime obtinem:

l=\frac{2}{3}\cdot L

Acum inlocuind in relatia (*) obtinem:

L\cdot \frac{2}{3}L=6\Rightarrow \frac{2}{3}L^{2}=6|\cdot 3\Rightarrow 2L^{2}=18|:2\Rightarrow L^{2}=9\Rightarrow L^{2}=3^{2}\Rightarrow L=3

Deci lungimea este de 3 cm.

Acum sa aflam latimea

Stim ca :

l=\frac{2}{3}\cdot 3=\frac{6}{3}=6:3=2

Deci lungimea este egala cu 2 cm.

Calculul algebric Adunarea si scaderea numerelor reale

Adunarea si scaderea numerelor reale reprezentate prin litere

Stim inca de la operatii cu numere reale ca 2\sqrt{3}+3\sqrt{3}=\left(2+3\right)\cdot\sqrt{3}=5\sqrt{3}.
In general 3x+7x=x\left(3+7\right)=x\cdot 10=10x, unde x este un numar real. Numerele 3x si 7x se numesc termenii sumei, iar 3 si 7 poarta numele de coeficienti lui x.In suma 5x+2y, numerele reale 5 si 2 se numesc coeficienti, iar x si y reprezinta partea literala.

Astfel discutam despre :

Adunarea si scaderea numerelor reale  reprezentate prin litere

O suma algebrica este o suma in care unele numere reale sunt reprezentate prin litere.
Termenii asemenea ai unei sume algebrice sunt acei termeni in care apar aceleasi litere ridicate la aceleasi puteri.
Exemplu:
Efectuati:
a)2x+3x-7x+12x=x\left(2+3-7+12\right)=x\cdot 10=10x, am dat factor comun pe x iar apoi am efectuat suma respectiv diferenta numerelor.
b) \left(2x+3y\right)-\left(4x+5y\right)-\left(10-4y\right)
Mai intai desfintam parantezele si astfel obtinem:
2x+3y-4x-5y-10+4y=x\left(2-4\right)+y\left(-5+4\right)-10=-2\cdot x-1\cdot y-10=-2x-y-10

c) \left(4\sqrt{2}-2\sqrt{2}\right)x+\left(6\sqrt{2}-3\sqrt{2}\right)x-\left(8\sqrt{2}-\sqrt{2}\right)+3\sqrt{2}x=    2\sqrt{2}x+3\sqrt{2}x-7\sqrt{2}x+3\sqrt{2}x=\sqrt{2}x\left(2+3-7+6\right)=4\sqrt{2}x

In primul rand la exercitiul de mai sus am efectuat mai intai operatiile din paranteza, iar apoi am dat factor comun pe x\sqrt{2} pentru a efectua calculele.

d) \left(\frac{6}{\sqrt{2}}x-\frac{9}{\sqrt{3}}x\right)+\left(\frac{3}{\sqrt{18}}x+\frac{10}{\sqrt{75}}x\right)-\left(\frac{24}{2\sqrt{48}}x-\frac{12}{\sqrt{108}}x\right)=

\left(\frac{6\sqrt{2}}{2}^{(2}\cdot x-\frac{9\sqrt{3}}{3}^{(3}\cdot x\right)+\left(\frac{3\sqrt{18}}{18}x+\frac{10\sqrt{75}}{75}x\right)-\left(\frac{24\sqrt{48}}{2\cdot 48}x-\frac{12\sqrt{108}}{108}x\right)=

\left(3\sqrt{2}x-3\sqrt{3}x\right)+\left(\frac{3\cdot 3\sqrt{2}}{18}x+\frac{10\cdot 5\sqrt{3}}{75}x\right)-\left(\frac{24\cdot 4\sqrt{3}}{96}x-\frac{12\cdot 6\sqrt{3}}{108}x\right)=

3\sqrt{2}x-3\sqrt{3}x+\left(\frac{9\sqrt{2}}{18}^{(9}\cdot x+\frac{50\sqrt{3}}{75}^{(25}\cdot x\right)-\left(\frac{96\sqrt{3}}{96}^{(96}x-\frac{72\sqrt{3}}{108}x\right)=

3\sqrt{2}x-3\sqrt{3}x+\frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{2\sqrt{3}}{3}x-\sqrt{3}x+\frac{2\sqrt{3}}{3}x=

\left(3\sqrt{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2}x\right)+\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}x-\sqrt{3}x+\frac{2\sqrt{3}}{3}x-3\sqrt{3}x\right)=    \sqrt{2}x\left(3+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{3}x\left(\frac{2}{3}-1+\frac{2}{3}-3\right)=    \sqrt{2}x\left(\frac{2\cdot 3+1\cdot 1}{2}\right)+\sqrt{3}x\left(\frac{2+2}{3}-4\right)=\sqrt{2}x\frac{7}{2}+\sqrt{3}x\left(\frac{4}{3}-4\right)=\frac{7\sqrt{2}}{2}x+\sqrt{3}x\cdot\left(\frac{4-3\cdot 4}{3}\right)=\frac{7\sqrt{2}}{2}x+\sqrt{3}x\cdot\left(\frac{-8}{3}=\right)\frac{7\sqrt{2}}{2}x-\frac{8\sqrt{3}}{3}x.

Ca sa rezolvam exercitiul de mai sus, mai intai am rationalizat numitorii fiecarei fractii, dupa rationalizare am simplificat fiecare fractie unde s-a putut, dar am si scos si  factori de sub radical unde s-a putut. Apoi am efectuat calculele, adica am folosit adunarea si scaderea numerelor reale reprezentate prin litere.

e) 0,\left(3\right)x+1\frac{1}{3}x-\left[1,\left(3\right)x-\frac{2}{3}x\right]=

\frac{3}{9}^{(3}x+\frac{1\cdot 3+1}{3}x-\left(\frac{13-1}{9}x-\frac{2}{3}x\right)=

\frac{1}{3}x+\frac{4}{3}x-\left(\frac{12}{9}^{(3}x-\frac{2}{3}x\right)=

\frac{x}{3}+\frac{4x}{3}-\left(\frac{4}{3}x-\frac{2}{3}x\right)=

\frac{x}{3}+\frac{4x}{3}-\frac{4x}{3}+\frac{2x}{3}=\frac{1}{3}\left(x+4x-4x+2x\right)=\frac{1}{3}\cdot 3x=\frac{3x}{3}=x.

Ca sa rezolvam exercitiul de mai sus mai intai am transformat fractiile zecimale periodice mixte in fractii ordinarea, apoi am simplificat fiecare fractie ordinara obtinuta, apoi am efectuat adunarea si scaderea numerelor reale reprezentate prin litere.

2) Determinati valorile lui x, astfel incat numarul A sa fie natural, unde :

A=\sqrt{\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}}x+\sqrt{\left(3-\sqrt{3}\right)^{2}}x-\sqrt{\left(4-2\sqrt{3}\right)^{2}x}=    \left(2-\sqrt{3}\right)\cdot x+\left(3-\sqrt{3}\right)\cdot x-\left(4-2\sqrt{3}\right)\cdot x=    2x-\sqrt{3}x+3x-\sqrt{3}x-4x+2\sqrt{3}x=x\left(2-\sqrt{3}+3-\sqrt{3}-4+2\sqrt{3}\right)=x\left(1-2\sqrt{3}+2\sqrt{3}\right)=x\cdot 1=x

A\in N\Rightarrow x\in N, unde N-este multimea numerelor naturale.

 

Adunarea si scaderea unor fractii ordinare care au acelasi numitor

Despre notiunea de fractie am mai invatat pana acum.Stim ca am invatat sa calculam o fractie dintr-un numar, cand o fractie este subunitara sau supraunitare sau echiunitara, dar si sa simplificam sau sa amplificam o fractie, acum a venit vremea sa discutam despre  Adunarea si scaderea unor fractii ordinare care au acelasi numitor .

O notiunea noua fractie ordinara? Pana acum am vorbit doar despre fractii, iar acum a venit vremea sa stiti ca fractiile sunt de doua feluri:

fractii  ordinare

Exemplu: \frac{1}{2}; \frac{3}{4} si asa mai departe

fractii zecimale

Mai tarziu o sa invatam ca fractiile zecimale se impart si ele in alte subcategorii, dar acestea o sa le invatam mai tarziu .

Exemplu:

0,7; 0,34….

Acum sa revenim la ce o sa discutam noi acum:

Adunarea si scaderea unor fractii ordinare care au acelasi numitor

Incepem cu Adunarea fractiilor ordinare

Pentru a aduna doua fractii ordinare care au acelasi numitor se procedeaza astfel: se copiaza numitorul si se aduna numaratorii.

\frac{a}{n}+\frac{b}{n}=\frac{a+b}{n}

Exemplu:

\frac{7}{10}+\frac{8}{10}=\frac{7+8}{10}=\frac{15}{10}^{(5}=\frac{15:5}{10:5}=\frac{3}{2}

Observam ca dupa ce am adunat cele doua fractii care au acelasi numitor, am simplificat fractia obtinuta prin 5, folosind criteriul de divizibilitate cu 5.

Scaderea fractiilor ordinare

Pentru a scadea doua fractii ordinare procedam astfel: se copiaza numitorul si se scad numaratorii .

\frac{a}{m}-\frac{b}{m}=\frac{a-b}{m}

Exemplu:

\frac{7}{16}-\frac{3}{16}=\frac{7-3}{16}=\frac{4}{16}^{(4}=\frac{4:4}{16:4}=\frac{1}{4}.

Observati ca si la exemplul de mai sus am simplificat fractia obtinuta prin 4.

Exercitii

1) Scrieti fractiile \frac{5}{6}; \frac{37}{54}; \frac{109}{324} ca:

a) suma de fractii ordinare cu acelasi numitor ; gasiti trei posibilitati

b) diferenta de fractii ordinare cu acelasi numitor; gasiti trei posibilitati

Solutie

a)  \frac{5}{6}=\frac{2}{6}+\frac{3}{6}

\frac{5}{6}=\frac{4}{6}+\frac{1}{6}

\frac{5}{6}=\frac{0}{6}+\frac{5}{6}

\frac{37}{54}=\frac{30}{54}+\frac{7}{54}

\frac{37}{54}=\frac{28}{54}+\frac{9}{54}

\frac{37}{54}=\frac{1}{54}+\frac{36}{54}

b) \frac{5}{6}=\frac{7}{6}-\frac{2}{6}

\frac{5}{6}=\frac{8}{6}-\frac{3}{6}

\frac{5}{6}=\frac{9}{6}-\frac{4}{6}

\frac{37}{54}=\frac{38}{54}-\frac{1}{54}

\frac{37}{54}=\frac{39}{54}-\frac{2}{54}

\frac{37}{54}=\frac{40}{54}-\frac{3}{54}

Analog se rezolva si ultima fractie.

2) Efectuati calculele si simplificati rezultatul final:

a) \frac{1}{2^{2}\cdot 3}+\frac{5}{6\cdot 2}-\frac{4}{12}

Observam ca la exercitiul de mai sus momentan nu avem acelasi numitor, astfel efectuam produsul la numitori:

\frac{1}{12}+\frac{5}{12}-\frac{4}{12}=\frac{1+5-4}{12}=\frac{2}{12}^{(2}=\frac{2:2}{12:2}=\frac{1}{6}

Observati ca am efectuat prima data adunarea numaratorilor, iar apoi scaderea numaratorilor copiind numitorul, iar apoi am simplificat prin 4.

b) \frac{1}{13}+\frac{2}{13}+\frac{3}{13}+...+\frac{12}{13}=\frac{1+2+3+...+12}{13}=\frac{78}{13}^{(13}=\frac{78:13}{13:13}=\frac{6}{1}=6

Calculam separat:

1+2+3+...+12=\frac{12\cdot\left(12+1\right)}{2}=\frac{12\cdot 13}{2}=\frac{156}{2}=78 si inlocuim mai sus.

Deci important la adunarea si scaderea fractiilor ordinare cu acelasi numitor sa stim cand se aduna fractiile cand se scad si cand putem sa le simplificam.

 

 

 

Multimea numerelor rationale pozitive, transformarea fractiilor zecimale in fractii ordinare si transformarea fractiilor ordinare in fractii zecimale

Dupa multimea numerelor naturale care ati invatat-o in clasa a V-a astazi o sa invatam multimea numerelor rationale pozitive, dar si adunarea numerelor rationale pozitive.
Definim multimea numerelor rationale pozitive astfel:
Q_{+}=\left\{\frac{a}{b}|a,b\in N\;\; si\;\; b\neq 0\right\}
Deci Q_{+}= multimea numerelor rationale pozitive, dar daca va aduceti aminte am discutat si in clasa a V-a despre aceste numere.
Multimea numerelor rationale pozitive cuprinde:
-fractiile zecimale
-fractiile ordinare
Numerele rationale se reprezinta cu ajutorul fractiilor ordinare dar si cu ajutorul fractiilor zecimale finite sau fractiile zecimale infinite periodice.
Despre fractiile zecimale am invatat in clasa a V-a atunci cand transformam o fractie zecimala in fractie ordinara dar si invers, o fractie ordinara in fractie zecimala.

Astfel:
-fractiile zecimale finite sunt:0,1; 0,7; 5,8
-fractiile zecimle infinite periodice simple sunt: 0,(1); 0,(7); 3,(4)
-fractiile zecimale infinite periodice mixte sunt: 0,1(3); 7,3(5); 2,01(47)
Ca sa transformam o fractie periodica in fractie zecimala aplicam algoritmul de impartire a numaratorului la numitor.
Daca trebuie sa trasformam o fractie zecimala in fractie ordinara procedam astfel:
1) \overline{a_{0},a_{1}a_{2}...a_{n}}=\frac{\overline{a_{0},a_{1}a_{2}...a_{n}}}{10^{n}}
2) \overline{a_{0},\left(a_{1}a_{2}...a_{n}\right)}=a_{0}+\frac{\overline{a_{1}a_{2}...a_{n}}}{\underbrace{99...9}_{n cifre}}
3) \overline{a_{0},a_{1}a_{2}...a_{k}\left(a_{k+1}, a_{k+2}...a_{k+n}\right)}=a_{0}+\frac{\overline{a_{1}a_{2}...a_{k}a_{k+1}a_{k+2}...a_{k+n}}-\overline{a_{1}a_{2}...a_{k} } }{\underbrace{99...9}_{n cifre}\underbrace{00...0}_{n cifre}}
Prezentam mai multe exemple care sa ne reaminteasca cum transformam fractiile zecimale in fractii ordinare
Transformati fractiile zecimale in fractii ordinare ireductibile:
a) 5,\left(2\right)=5\frac{2}{9}=\frac{5\cdot 9+2}{9}=\frac{47}{9}
Am transformat fractia zecimala periodica simpla de mai sus in fractie ordinara asa cum spune si teoria de mai sus.
Sau mai usor 5,\left(2\right)=\frac{52-5}{9}=\frac{47}{9}, deci am scris fractia zecimala asa cum este si am scazut cifa din fata perioadei si am scris atatia de 9 cate cifre avem in perioada.
b) 3,\left(23\right)=\frac{323-3}{99}=\frac{320}{99}
Sau
3,\left(23\right)=3+\frac{23}{99}=\frac{3\cdot 99+23}{99}=\frac{297+23}{99}=\frac{320}{99}
Mai usoara pare a doua varianta pentru ca avem mai putin de calcul.
Ambele fractii de mai sus sunt fractii periodice simple ireductibile.

c) 0,1\left(32\right)=\frac{132-1}{990}=\frac{131}{990}
Fractia de mai sus este o fractie periodica mixta.
d) 21,3 \left(7\right)=\frac{2137-213}{90}=\frac{1924}{90}=\frac{962}{45}
Sau
21,3 \left(7\right)=21+\frac{37-3}{90}=21+\frac{33}{90}=\frac{21\cdot 90+34}{90}=\frac{1890+34}{90}=\frac{1924}{90}=\frac{962}{45} .
Fractia de mai sus este o fractie periodica mixta.
Am transformat-o in fractie ordinara prin aplicarea celei de-a treia reguli, iar rezultatul pe care l-am obtinut l-am simplificat prin 2 (adica am impartit si numitorul si numaratorul prin 2, aplicand criteriile de divizibilitate).

Scaderea numerelor rationale

Dupa ce am am vorbit despre adunarea numerelor rationale, astazi vom vorbi despre scaderea numerelor rationale.
Dupa cum stim de la adunarea numerelor rationale ca adunarea a doua numere rationale este tot un numar rational asa si diferenta a doua numere rationale este tot un numar rational. Incepem prin a rezolva cateva exercitii:

1) Efectuati:
a) <br /> -1\frac{3}{7}-\left[\left(-\frac{5}{42}\right)-\left(-\frac{3}{14}\right)-\left(+\frac{4}{21}\right)\right]=\\<br /> -\frac{1\cdot 7+3}{7}-\left(-\frac{5}{42}+\frac{3}{14}-\frac{4}{21}\right)=\\<br /> -\frac{10}{7}-\left(\frac{-1\cdot 5+3\cdot 3-2\cdot 4}{42}\right)=\frac{10}{7}-\left(\frac{-5+9-8}{42}\right)=<br /> -\frac{10}{7}-\left(\frac{-4}{42}\right)=-\frac{10}{7}-\left(\frac{-2}{21}\right)=-\frac{10}{7}+\frac{2}{21}=\frac{-10\cdot 3+1\cdot 2}{21}=\frac{-30+2}{21}=\frac{-28}{21}=-\frac{4}{3}<br /> .

Pentru a calcula exercitiul de mai sus am introdus intregii in fractii unde a fost nevoie, iar apoi am efectuat calculele din paranteza cu mare grija sa nu gresim semnele, am adus la acelasi numitor prima data in paranteza iar apoi primul termen cu ce am obtinut din paranteza, rezultatul obtinut l-am simplificat prin 7.

b) <br /> \left[1,3(5)-0,0(2)+0,(6)\right]-\left(1\frac{7}{15}-\frac{1}{5}\right)=\\<br /> \left(\frac{135-13}{90}-\frac{2}{90}+\frac{6}{9}\right)-\left(\frac{22}{15}-\frac{1}{5}\right)=\\<br /> \left(\frac{122}{90}-\frac{1}{45}+\frac{2}{3}\right)-\left(\frac{1\cdot 22-3\cdot 1}{15}\right)=\\<br /> \left(\frac{122\cdot 1-2\cdot 1+30\cdot 2}{90}\right)-\left(\frac{22-3}{15}\right)=\\<br /> \left(\frac{122-2+60}{90}\right)-\frac{19}{15}=\frac{180}{90}-\frac{19}{15}=\\<br /> 2-\frac{19}{15}=\frac{15\cdot 2-1\cdot19}{15}=\frac{30-19}{15}=\frac{11}{15}<br />

La exercitiul b) am transformat fractiile periodice simple si mixte in fractii ordinare, am simplificat pe unde s-a putut, apoi am adus la acelasi numitor (am gasit numitorul comun) in fiecare parnteza rezultatele obtinute din cele doua paranteze le-am gasit numitorul comun si am efectuat calculele obtinand o fractie subunitara (numaratorul mai mic decat numitorul).

c) \left[2,08(3)-3\frac{5}{6}\right]-\left(3\frac{3}{4}-2\frac{1}{8}-2\frac{1}{6}\right)=\\<br /> \left(\frac{2083-208}{900}-\frac{3\cdot 6+5}{6}\right)-\left(\frac{3\cdot 4+3}{4}-\frac{2\cdot 8+1}{8}-\frac{2\cdot 6+1}{6}\right)=\\<br /> \left(\frac{1875}{900}-\frac{23}{6}\right)-\left(\frac{15}{4}-\frac{17}{8}-\frac{13}{6}\right)=\\<br /> \left(\frac{75}{36}-\frac{23}{6}\right)-\left(\frac{6\cdot 15-3\cdot 17-4\cdot 13}{24}\right)=\\<br /> \left(\frac{25}{12}-\frac{23}{6}\right)-\left(\frac{90-51-52}{24}\right)=\\<br /> \frac{1\cdot 25-2\cdot 23}{12}-\left(\frac{-13}{24}\right)=\frac{25-46}{12}-\left(-\frac{13}{24}\right)=\\<br /> \frac{-21}{12}+\frac{13}{24}=\frac{2\cdot(-21)+1\cdot 13}{24}=\frac{-42+13}{24}=\frac{-29}{24}=-\frac{29}{24}=-1\frac{5}{24}

La exercitiul c) am transformat fractiile periodice mixte in fractii ordinare, am simplificat pe unde am putut pentru a ne simplifica calculele, iar apoi am adus la acelasi numitor si am calculat folosind regulile de calcul cu numere intregi, iar apoi am scos intregii din fractie.
Deci foarte important sa calculam corect, sa stim regulile de calcul cu numere intregi.