Rezolvarea triunghiului dreptunghic Probleme rezolvate

In cadrul acestui articol prezentam doua probleme  pe care le rezolvam cu ajutorul Teoremei lui Pitagora, Teoremei inaltimii, dar si cu ajutorul Teoremei catetei.
Astfel in cazul primei probleme, avem un triunghi dreptunghic, stim o cateta, dar si raportul dintre lungimea proiectiei si ipotenuza. Si avem sa aflam lungimile proiectiilor, ipotenuza, o cateta, dar si inaltimea AD, dusa din varful unghiului A.

1) In triunghiul ABC,mA=90 grade, AD perpendiculara pe BC, AB=14cm si BD supra BC=1 supra 4 . Calculati BD,BC,CD,AC si AD
cum aflam lungimile proiectiilor intr-un triunghi dreptunghic
Stim ca:
\frac{BD}{BC}=\frac{1}{4}
Astfel obtinem:
BD=\frac{1}{4}\cdot BC
In cazul raportului pe care il avem din ipotenuza am scosa BD
Daca aplicam in triunghiul ABC dreptunghic in A, Teorema catetei obtinem:
AB^{2}=BD\cdot BC\Rightarrow 14^{2}=\frac{1}{4}\cdot BC\cdot BC\Rightarrow 14^{2}\cdot 4=BC^{2}\Rightarrow BC=\sqrt{14^{2}\cdot 4}\Rightarrow BC=14\cdot 2\Rightarrow BC=28
Iar
BD=\frac{1}{4}\cdot BC=\frac{1}{4}\cdot 28=\frac{28}{4}=7
Acum aflam CD, astfel avem:
CD=BC-BD\Rightarrow CD=28-7=21
Acum aflam AC, in triunghiul ABC aplicam Teorema lui Pitagora:
AC^{2}=BC^{2}-AB^{2}\Rightarrow AC^{2}=28^{2}-14^{2}\Rightarrow AC^{2}=784-196\Rightarrow AC=\sqrt{588}=14\sqrt{3}
Iar AD este AD=\frac{AB\cdot AC}{BC}=\frac{14\cdot 14\sqrt{3}}{28}=\frac{1\cdot 14\sqrt{3}}{2}=\frac{7\sqrt{3}}{1}=7\sqrt{3}
Urmatoarea problema avem la fel un triunghi dreptunghic, avem inaltimea din varful unghiului A, dar problema ne ofera informatii si despre rapoartul celor doau proiectii. In cadrul acestei probleme stim aria triunghiului. Pornind de la aria triunghiului o sa aflam pentru inceput lungimea proiectiilor catetelor, lungimile catetei si lungimea inaltimii.

2.) In triunghiul ABC, mA=90 grade, AD perpendiculara pe BC, BD supra DC= 4 supra 9 si aria triunghiului este egala cu 3900cm patrati.Calculati:
a) lungimile proiectiilor catetelor pe ipotenuza:BD si DC ;
b) lungimile catetelor AB si AC ;
c) Lungimea inaltimii AD
Probleme rezolbvate cu Teorema cateteiTeorema lui Pitagora si Teorema inaltimii
Demonstratie:
Stim ca:
\frac{BD}{DC}=\frac{4}{9}, astfel obtinem BD=\frac{4}{9}\cdot DC
Mai stim si ca
A_{\Delta ABC}=3900 cm^{2}\Rightarrow \frac{AB\cdot AC}{2}=3900
Dar cu Teorema catetei stim ca:
AB=\sqrt{BD\cdot BC}
dar si
AC=\sqrt{CD\cdot BC}
Astfel obtinem:
\frac{\sqrt{BD\cdot BC}\cdot\sqrt{CD\cdot BC}}{1}=2\cdot 3900\Rightarrow
\frac{\sqrt{BD\cdot CD\cdot BC^{2}}}{1}=7800\Rightarrow BC\sqrt{BD\cdot DC}=7800\Rightarrow
BC\cdot\sqrt{\frac{4}{9}DC\cdot DC}=7800\Rightarrow BC\cdot \frac{2}{3}DC=7800\Rightarrow BC\cdot DC=7800\cdot\frac{3}{2}\Rightarrow BC\cdot DC=3900\cdot 3\rightarrow \left(BD+DC\right)\cdot DC=11700\Rightarrow\left(\frac{4}{9}DC+DC\right)\cdot DC=11700\Rightarrow \frac{13}{9}DC^{2}=11700\Rightarrow DC^{2}=11700\cdot \frac{9}{13}\Rightarrow DC^{2}=900\cdot 9\Rightarrow DC=\sqrt{900\cdot 9}\Rightarrow DC=30\cdot 3=90\;\; cm
Obsevati ca am folosit Teorema catetei pentru a afla lungimile proiectiilor catetelor pe ipotenuza.
Iar
BD=\frac{4}{9}\cdot DC=\frac{4}{9}\cdot 90=4\cdot 10=40\;\; cm
Deci am aflat lungimile proiectiilor.

Acum sa aflam lungimile catetelor
Stim ca
BC\cdot DC=11700
Dar stim cu Teorema inaltimii ca BC\cdot DC=AC^{2}

Astfel avem ca AC^{2}=11700\Rightarrow AC=\sqrt{11700}=30\sqrt{13}

Acum pentru a afla AB stim ca BC=BD+DC=90+40=130
Iar daca aplicam Teorema catetei obtinem ca
AB^{2}=BD\cdot BC\Rightarrow AB^{2}=40\cdot 130\Rightarrow AB=\sqrt{40\cdot 130}\Rightarrow AB=\sqrt{5200}\Rightarrow AB=20\sqrt{13}
Acum ca sa aflam lungimea inaltimii stim ca
AD=\sqrt{BD\cdot DC}=\sqrt{40\cdot 90}=\sqrt{3600}=60\;\; cm

Teorema catetei

Teorema catetei

Astazi o sa vorbim despre teorema catetei, care de asemenea joaca un rol important pentru a rezolva probleme in cazul in care stim o cateta si proiectia acesteia pe ipotenuza sau daca stim proiectia unei catete pe ipotenuza si ipotenuza. Astfel enuntul teoremei catetei este:
Intr-un triunghi dreptunghic patratul lungimii unei catete este egal cu produsul dintre lungimea ipotenuzei si proiectia acesteia pe ipotenuza.
 Teorema catetei
<br /> AB^{2}=BD\cdot BC<br />
in cazul in care vrem sa aflam cateta AB si stim BD, BC sau stim BD, AB si vrem sa aflam BC
sau
<br /> AC^{2}=CD\cdot BC<br /> .
in cazul in care vrem sa aflam cateta AC si stim DC, BC.
Exemplu:
In triunghiul dreptunghic ABC,  m(\prec A)=90^{0} , mediana AM, M\in (BC) este egala cu latura AB, Stiind ca AM=12 cm calculati:
a) lungimea proiectiilor BD si CD
b) lungimea catetei AC
Ip:
\\\Delta ABC dreptunghic
\\m(\prec A)=90^{0}
AM=12 cm
Cz: a) BD=?; DC=?
b) AC=?
Dem:
Teorema catetei aplicatie

AB=AM (din ipoteza), atunci triunghiul ABM isoscel, deci AB=12 cm. Stiim din clasa a VI-a teorema medianei, care ne spune ca ” Intr-un triunghi dreptunghic mediana dusa din varful unghiului drept masoara jumatate din ipotenuza”. Astfel ipoteza la noi este verificata, avem un triunghi dreptunghic, astfel aflam BC
<br /> \\AM=\frac{1}{2}\cdot BC<br /> \\ 12=\frac{1}{2}\cdot BC<br /> \\ BC=24 cm.<br />
Stim ca AM=AB, dar AM=BM deoarece AM mediana (se numeste mediana unui triunghi segmentul care uneste un triunghi cu mijlocul laturii opuse), deci  AM=BM=AB=12 cm, deci triunghiul ABM este echilateral.

Masura unghiului
Cum triunghiul ABM echilateral rezulta ca  m(\prec ABM)=60^{0}. Deci m(\prec ACB)= 30^{0}. Acum in triunghiul ADB dreptunghic in D, cu  m(\prec BAD)=30^{0} aplicam teorema 30^{0}-60^{0}-90^{0}, deci  BD=\frac{1}{2} \cdot AB. Deci BD=6 cm. Sau aplicam teorema catetei AB^{2}=BD\cdot BC\Rightarrow 144=BD\cdot 24\Rightarrow BD=\frac{144}{24}\Rightarrow BD=6 cm.
Cum BC=24 cm, BD=6 cm. Deci DC=24-6 =18 cm, iar pentru a afla AC aplicam teorema catetei AC^{2}=DC\cdot BC \Rightarrow AC^{2}=18\cdot 24\Rightarrow AC=\sqrt{18\cdot 24}\Rightarrow AC=12\sqrt{3} cm.
Deci ca sa rezolvam probleme ca cele de mai sus trebuie sa stim si cunostintele pe care le-am invatat in clasele anterioare.

D E LINIE MIJLOCIE IN TRIUNGHIUL ISOSCEL

Recapitulare clasa a VII-a Proprietatile triunghiului

Un rol important in clasa a VII-a o sa-l joace proprietatile triunghiului. Poate ati auzit ca ca anul acesta o sa invatati Teorema lui Pitagora, Teorema inaltimii, Teorema catetei. Ca sa putem intelege aceste trei teoreme trebuie sa stim proprietatile triunghiului. Incepem prin a ne reaminti cum se rezolva problemele si teoria pe care o folosim o sa o enuntam.
1) In triunghiul ABC isoscel de baza BC, D mijlocul laturii AC, E mijlocul laturii AB , iar DE=12 cm si perimetrul triunghiului ABC este egal cu 88 cm.
Calculati masura laturilor congruente ale triunghiului isoscel ABC.
Ip:
<br /> \Delta ABC isoscel AB=AC
BC baza
 D\in AC a.i AD=DC
E\in AB a.i AE=EB
 DE=12 cm
P_{\Delta ABC}=88 cm
Cz:
<br /> AB=?; AC=?<br />
Dem:D E LINIE MIJLOCIE IN TRIUNGHIUL ISOSCEL
<br /> P_{\Delta ABC}=88 cm
 AB+AC+BC=88 cm
\\DE– linie mijlocie, atunci
 DE=\frac{1}{2}\cdot BC \Rightarrow 12 cm =\frac{1}{2}BC \Rightarrow BC=24 cm.
 AB+AC+24=88 cm \Rightarrow AB+AC=88-24\Rightarrow AB+AC=64 cm<br />
Cum <br /> AB=AC\Rightarrow AB=AC=\frac{1}{2}\cdot 64\Rightarrow AB=AC=32 cm<br />
Important la problemele de geometrie sunt datele problemei pe care trebuie sa le inteledem deoarece o sa ne ajute la rezolvarea problemei.
De asemenea si figura este foarte important sa fie realizata corect.
In cazul nostru de fata stim ca D este mijlocul lui AC, iar E mijlocul lui AB.
Astfel daca ne reamintim din clasa a VI-a definitia liniei mijlocii(segmentul care uneste mijloacele a doua laturi ale uni triunghi se numeste linie mijlocie) si teorema care am invatat-o ( Orice linie mijlocie a unui triunghi:
– este paralela cu latura care nu are nici un punct in comun cu ea
– are lungimea egala cu jumatate din lungimea laturii paralela cu ea ). Ce aici obtine lungimea laturii BC=24 cm.
Cum stim ca perimetrul oricarei figuri geometrice este egal cu suma tuturor laturilor, obtinem  AB+AC=64 cm.
Stim de cand am invatat proprietatile triunghiului isoscel ca AB=AC (triunghiul isoscel are doua laturi egale) si atunci 64:2=32, deci AB=AC=32 cm.