Probleme rezolvate cu Teorema impartirii cu rest si cu Teorema celor Trei perpendiculare

Inca cateva probleme rezolvate cu teorema impartirii cu rest si teorema celor trei perpendiculare, rezolvate special pentru vizitatorii nostri.

1. Suma a 2 numere este 568. Aflati numerele stiind ca restul impartirii celui mai mare la cel mai mic este 28 si catul 14.

Rezolvare.

Notam cu x primul numar si y cel de-al doilea numar.

Astfel formam ecuatiile: x+y=568 suma a doua numere este 568, cu x>y

x:y, c=14\;\; si r=28

Deci cu teorema impartirii cu rest obtinem: x=14\cdot y+28=14y+28 cu r<I, adica r<y

Astfel daca inlocuim in prima ecuatie obtinem: 14y+28+y=568\Rightarrow 15y=568-28\Rightarrow 15y=540\Rightarrow y=540:15\Rightarrow y=36

Si x=14\cdot y+28=14\cdot 36+28=504+28=532

Deci cel mai mare numar este: 532 si cel mai mic numar este 36.

2. Determinati fractia a supra b, stiind ca este egala cu7 supra 5 si ca a ori b =1260

Solutie

Stim ca: \frac{a}{b}=\frac{7}{5}

Si a\cdot b=1260

Astfel avem \frac{a}{b}=\frac{7}{5}\Rightarrow a=\frac{7b}{5}

Astfel daca inlocuim in cea de-a doua ecuatie obtinem:

a\cdot b=1260\Rightarrow \frac{7b}{5}\cdot b=1260\Rightarrow \frac{7}{5}\cdot b^{2}=1260\Rightarrow b^{2}=1260:\frac{7}{5}\Rightarrow b^{2}=1260\cdot\frac{5}{7}^{(7}\Rightarrow b^{2}=180\cdot\frac{5}{1}\Rightarrow b^{2}=900\Rightarrow b^{2}=30^{2}\Rightarrow b=30

Iar a\cdot b=1260\Rightarrow a\cdot 30=1260\Rightarrow a=1260:30\Rightarrow a=42

Astfel am obtinut a=42 si b=30.

3. In centrul O al unui dreptunghi se ridica perpendiculara pe planul dreptunghiului, pe care se ia punctul M. Laturile dreptunghiului au lungimile de 10 cm, respectiv 18 cm, iar OM=12 cm. Calculati distantele de la punctul M la laturile dreptunghiului.

cum calculam distanta de la un punct la o dreapta
Stim ca MO\perp {ABCD}
Deci MO\perp (ABC)
Si ON\perp BC

Mai mult, ON, BC\subset\left(ABC\right)
Cu teorema celor trei perpendiculare obtinem MN\perp BC si astfel am obtinut ca d(M, BC)=MN
Astfel triunghiul MON este dreptunghic in O.
Mai stim si ca, O este centrul dreptunghiului, adica O este mijlocul lui AC, dar si ON||DC, deci ON este linia mijlocie in triunghiul ABC astfel obtinem:
ON=\frac{DC}{2}=\frac{18}{2}=9\;\; cm astfel in triunghiul MON, obtinem: MN^{2}=MO^{2}+ON^{2}\Rightarrow MN^{2}=12^{2}+9^{2}\Rightarrow MN=\sqrt{144+81}\Rightarrow MN=\sqrt{225}=15 cm

Stim si ca (ADC)
OP\perp AD
Si cu Teorema celor trei perpendiculare: MP\perp AD
La fel ca mai sus OP este linie mijlocie in triunghiul ADC si cu teorema lui Pitagora obinem MP=15 cm.
cum calculam distanta de la un punct la o dreapta
Si astfel obtinem ca d\left(M,AD\right)=MP=MN=15 cm
Pentru a afla d(M,AB)
Stim ca MO\perp(ABCD)\Rightarrow MO\perp(ABC)
Construim OQ\perp AB

Stim si ca OQ, AB\subset(ABC)
Deci cu Teorema celor trei perpendiculare obtinem:
MQ\perp AB
Si astfel obtinem: d(M, AB)=MQ
Stim ca O mijlocul lui AC si OQ||BC, deci cu Teorema liniei mijlocii obtinem OQ linie mijlocie OQ=\frac{AB}{2}=\frac{10}{2}=5\;\; cm

Deci in triunghiul MOQ aplicam Teorema lui Pitagora
MQ^{2}=MO^{2}+OQ^{2}\Rightarrow MQ^{2}=12^{2}+5^{2}\Rightarrow MO=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13\;\; cm
La fel obtinem si pentru d(M, DC)=MQ.

cum calculam distanta de la un punct la o dreapta

Probleme rezolvate cu divizibilitatea si Teorema impartirii cu rest

Prezentam doua probleme care se rezolva cu ajutorul divizibilitatii, adica folosind cel mai mare divizor comun a doua numere respectiv cu teorema impartirii cu rest .

1. Aflati numerele naturale a si b stiind ca (a,b)=12 si 2a+3b=240

Solutie:
Stim ca cel mai mare divizor comun al celor doua numere a si b este 12, adica factorii comuni ale numerelor sunt numerele prime 2^{2}\cdot 3
Deci a=2^{2}\cdot 3\cdot x=12\cdot x, unde x este un numar natural si b=2^{2}\cdot 3\cdot y=12\cdot y, unde y este numar natural.

Astfel relatia de mai sus devine:
2\cdot a+3\cdot b=240\Rightarrow 2\cdot 12x+\cdot 12\cdot y=240\Rightarrow 12\left(2x+3y\right)=240\Rightarrow 2x+3y=240:12\Rightarrow 2x+3y=20
Pentru x=1, obtinem 2\cdot 1+3y=20\Rightarrow 2+3y=20\Rightarrow 3y=20-2\Rightarrow 3y=18|:3\Rightarrow y=6
Deci a=12\cdot 1=12
Si b=12\cdot 6=72

Pentru x=4 obtinem 2\cdot 4+3y=20\Rightarrow 8+3y=20\Rightarrow 3y=20-8\Rightarrow 3y=12\Rightarrow y=12:3\Rightarrow y=4 si obtinem a=12\cdot 4=48 si 12\cdot 4=48 dar aici gasim cel mai mare divizor comun al numerelor ca fiind 48 si astfel nu se mai indeplineste conditia de mai sus, adica (a,b)=48

Pentru x=7\Rightarrow 2\cdot 7+3y=20\Rightarrow 14+3y=20\Rightarrow 3y=20-14\Rightarrow 3y=6\Rightarrow y=2
Si obtinem a=12\cdot 7=84 si b=12\cdot 2=24 deci conditia ca sa rezolvam aceste exercitiu sa tinem cont la la cel mai mare divizor comun ca se iau toti factorii comuni o singura data la puterea cea mai mica.

Si astfel numerele gasite sunt a=12 si b=72, dar si a=84 si b=24

2. Aflati numerele a si b, stiind ca suma lor este 86, iar daca impartim numarul a la b obtinem catul 3 si restul 2.

Solutie:
Ca sa rezolvam aceste exercitiu trebuie sa folosim teorema impartirii cu rest.
Suma celor doua numere este:
a+b=86
a:b=3 rest 2
Iar cu teorema impartirii cu rest obtinem a=b\cdot 3+2\Rightarrow a=3b+2
Daca inlocuim mai sus obtinem a+b=86\Rightarrow 3b+2+b=86\Rightarrow2 3b+b=86-2\Rightarrow 4b=84\Rightarrow b=84:4\Rightarrow b=21
Iar a=3\cdot b+2\Rightarrow a=3\cdot 21+2=63+2=65

Subiecte posibile Evaluarea Nationala Matematica

Subiectul II
1. Desenati o prisma patrulatera regulata ABCDA’B’C’D’
2. Aflati trei numere naturale consecutive impare, stiind ca daca suma lor se imparte la 8 obtinem catul 15 si restul 3.
3. Cate numere de forma \bar{4ab} sunt divizibile cu 41.
4. Consideram functia f:R\rightarrow R, f\left(x\right)=\left(2a+3\right)x-3a+2. Stiind ca graficul lui f contine punctul A\left(-1,-6\right) se cere:
a) Aratati ca a=1 si reprezentati grafic functia obtinuta
b) Determinati punctul de pe graficul functiei f care are abscisa egala cu un sfert din ordonata.
5. Se considera expresia E\left(x\right)=\left(\frac{2x}{x-1}-\frac{x}{x+1}\right):\frac{x^{2}+3x^{2}}{x^{3}+2x^{2}+x}, unde x\in R-\left\{-3,-1,0,1\right\}. Aduceti expresia data la forma cea mai simpla.
Solutie:
1. Mai intai desenam prisam patrulatera regulata ABCDA’B’C’D’
Cum desenam o prisma patrulater regulata
2. Cum aflam trei numere naturale consecutive impare? cand avem anumite conditii in ipoteza. In primul rand folosim teorema impartirii cu rest, dar trebuie sa mai tinem cont ca avem si numere naturale impare consecutive, astfel fiem numerele impare consecutive:
n, n+2, n+4
Stim ca suma numerelor se imparte la 8, astfel suma lor este
n+n+2+n+4=3n+6
Suma lor se imparte la 8
\left(3n+6\right):8 se obtine q=15 si restul r=3
Astfel folosim Teorema impartirii cu rest:
3n+6=15\cdot 8+3
Acum rezolvam ecuatia:
3n+6=15\cdot 8+3\Rightarrow 3n+6=120+3\Rightarrow 3n+6=123\Rightarrow 3n=123-6\Rightarrow 3n=117\Rightarrow n=117:3\Rightarrow n=39
Deci am gasit n=39 si este un numar impar.
Deci primul numar este 39, acum sa aflam si celelate 2 numere.
n+2=39+2=41
Dar si
n+4=39+4=43
Deci numerele impare consecutive sunt 39,41,43
Acum daca efectuam proba obtinem:
39+41+43=123
Acum daca impartim
123:8 obtinem catul q=15si restul r=3
3. Cum gasim numerele de form \bar{4ab} devizibile cu 41
Cautam numerel divizibile 41 intre 400\;\; si\;\; 499
Observam ca numarul 41 este un numar prim, deci numerele divizibile trebuie sa fie de form 41\cdot x
Iar daca luam pentru x=10 obtinem 41\cdot 10=410 divizibil cu 41, deci primul numar este: 410, deci a=1 si b=0
Pentru x=11 obtinem 41\cdot 11=451divizibil cu 41, al dolile numar divizibil cu 41 este 451, astfel a=5 si b=1
Pentru x=12 obtinem 41\cdot 12=492 divizibil cu 41, al treilea numar divizibil cu 41 este 492, astfel a=9 si b=2.
Deci avem trei numere divizibile cu 41 de forma \bar{4ab}
Pentru x=13 obtineam un numar mai mare decat 4ab si astfe nu se mai indeplinea conditia aceasta, la fel si pentru x<10 se obtinea un numar mai mic decat de forma 4ab. 4. a) Pentru a obtine a=1 stim ca $latex A\left(-1,-6\right)$ apartine graficului functiei, astfel avem ca: $latex f\left(-1\right)=-6\Rightarrow \left(2a+3\right)\cdot\left(-1\right)-3a+2=-6\Rightarrow -2a-3-3a+2=-6\Rightarrow-5a-1=-6\Rightarrow -5a=-6+1\Rightarrow -5a=-5\Rightarrow a=1$ Pentru a=1 sa reprezentam grafic functia, astfel obtinem functia: $latex f\left(x\right)=\left(2\cdot 1+3\right)x-3\cdot 1+2\Rightarrow f\left(x\right)=\left(2+3\right)x-3+2=5x-1$ DEci functia obtinuta este $latex f\left(x\right)=5x-1$ Acum reprezentam grafic functia: Astfel avem $latex G_{f}\cap Ox$ avem ca $latex f\left(x\right)=0\Rightarrow 5x-1=0\Rightarrow 5x=1\Rightarrow x=\frac{1}{5}$ Deci avem $latex A\left(\frac{1}{5}, 0\right)$ Acum calculam $latex G_{f}\cap Oy$, astfel calculam $latex f\left(0\right)=5\cdot 0-1=0-1=-1$ Deci $latex B\left(0,-1\right)$ Acum reprezentam grafic functia. reprezentarea grafica a functie
b) Acum trebuie sa determinam punctul de pe graficul functie f care are absscisa egala cu un sfer de ordonata.
Astfel fie punctul M\left(x,y\right), dar stim ca abscisa este egala cu un sfert de ordonata, astfel avem ca
x=\frac{1}{4}\cdot y, astfel obtinem acum M\left(\frac{1}{4}y,y\right)
astfel obtinem ca:
f\left(\frac{1}{4}y\right)=y\Rightarrow 5\cdot \frac{1}{4}y-1=y\Rightarrow \frac{5y}{4}-1=y\Rightarrow \frac{5y}{4}-y=1\Rightarrow \frac{5y-4y}{4}=1\Rightarrow\frac{y}{4}=1\Rightarrow y=4
Iar x=\frac{1}{4}\cdot y=\frac{1}{4}\cdot 4=1
Deci obtinem
M\left(1,4\right)
5. Cum aducem expresia la forma cea mai simpla, astfel avem ca:
E\left(x\right)=\left(\frac{2x}{x-1}-\frac{x}{x+1}\right):\frac{x^{2}+3x^{2}}{x^{3}+2x^{2}+x}, unde x\in R-\left\{-3,-1,0,1\right\}
Mai intai in partanteza rotuda aducem la acelasi numitor:
E\left(x\right)=\left(\frac{2x\left(x+1\right)-x\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\right):\frac{x^{2}\left(x+3\right)}{x\left(x^{2}+2x+1\right)}
E\left(x\right)=\frac{2x^{2}+2x-x^{2}+x}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\cdot\frac{x\left(x+1\right)^{2}}{x^{2}\left(x+3\right)}
E\left(x\right)=\frac{x^{2}+3x}{x-1}\cdot\frac{x\left(x+1\right)}{x^{2}\left(x+3\right)}
E\left(x\right)=\frac{x\left(x+3\right)}{x-1}\cdot \frac{x\left(x+1\right)}{x^{2}\left(x+3\right)}
E\left(x\right)=\frac{x^{2}\left(x+3\right)\left(x+1\right)}{x^{2}\left(x+1\right)\left(x+3\right)}^{(x^{2}\left(x+3\right)}
Dupa ce am adus la acelasi numitor in paranteza rotunda, am efectuat calculele si am efectuat impartirea celor doua fractii, adica am inmultit prima fractie cu inversul celei de-a doua, iar apoi am simplificat, unde observati ca am adus expresia la forma cea mai simpla.

E\left(x\right)=\frac{x+1}{x-1}

b) determinati valorile lui x\in Z, pentru care E\left(x\right)\in Z
Stim ca E\left(x\right)\in Z\Rightarrow \frac{x+1}{x-1}\in Z

Mai intai punem conditia ca numitorul divide numaratorul si obtinem:
$latex\left(x-1\right)|\left(x+1\right)$
Astfel rescriid raportul obtinem:

\frac{x+1}{x-1}=\frac{x-1+2}{x-1}=\frac{x-1}{x-1}^{(\left(x-1\right)}+\frac{2}{x-1}=\frac{1}{1}+\frac{2}{x-1}=1+\frac{2}{x-1}

Astfel punand conditia ca numitorul divide numaratorul obtinem:
x-1|2
Si scriind divizorii intreigi ai lui 2 avem:
D_{2}=\left\{\pm 1; \pm 2\right\}
Astfel egaland numitorul cu fiecare divizor obtinem:

x\in\left\{-1; 0; 2; 3\right\}