Teorema inaltimii

Astazi o sa discutam despre Teorema inaltimii. Dar mai intai, ca sa stim sa aplicam teorema inaltimii, trebuie sa stim notiunea de ”proiectia ortogonala pe o dreapta”, astfel incepem prin a defini  aceasta notiune:

Definitie: Proiectia ortogonala a unui punct pe o dreapta este piciorul perpendicularei dusa din acel punct pe dreapta.

care este proiectia unui punct pe o dreapta

Astfel
pr_{d} A=A'  \\ A\notin d
si pr_{d} N=N', N\in d
Teorema: Proiectia unui segment pe o dreapta este un segment sau un punct.

care este proiectia unui segment pe o dreapta
Acum enuntam Teorema inaltimii

Teorema : Intr-un triunghi dreptunghic patratul lungimii inaltimii corespunzatoare ipotenuzei este egala cu produsul lungimii proiectiilor catetelor pe ipotenuza.

Sau
Intr-un triunghi dreptunghic lungimea inaltimii corespunzatoare ipotenuzei este media geometrica a lungimii proiectiilor catetelor pe ipotenuza.
Cum aplicam Teorema inaltimii
Cu notatile din figura avem:
AD^{2}=CD\cdot DC
Sau
AD=\sqrt{CD\cdot DC}
Lungimea inaltimii corespunzatoare ipotenuzei este raportul dintre produsul lungimilor catetelor si lungimea ipotenuzei.
AD=\frac{AB\cdot AC}{BC}.

Problema

1) In triunghiul ABC cu m\left(\widehat{A}\right)=90^{0} si BC=20 cm. Daca masura unghiului dintre inaltimea si mediana duse din A este de 30^{0}, calculati lungimea inaltimii si aria triunghiului ABC.

Demonstratie:
Fie AD inaltimea, si AM mediana triunghiului duse din varful unghiului drept, deci unghiul care l-am format este
m\left(\widehat{DAM}\right)=30^{0}.
Teorema inaltimii
Dupa cum observati stim ca m\left(\widehat{DAM}\right)=30^{0}., dar mai stim si ca AD este inaltime, deci m\left(\widehat{ADM}\right)=90^{0} si astfel putem sa aflam si masura unghiului AMD, adica
m\left(\widehat{ADM}\right)+m\left(\widehat{DAM}\right)+m\left(\widehat{AMD}\right)=180^{0}\Rightarrow
90^{0}+30^{0}+m\left(\widehat{AMD}\right)=180^{0}\Rightarrow
m\left(\widehat{AMD}\right)=180^{0}-120^{0}\Rightarrow
m\left(\widehat{AMD}\right)=60^{0}
Dar stim ca AM este mediana in triunghiul dreptunghic ABC, deci putem aplica Teorema Medianei, adica
AM=\frac{BC}{2}=\frac{20}{2}=10, dar daca AM este medina stim si ca
BM=MC=10 cm dar si cu Teorema Medianei avem ca BM=MC=AM=10 cm.

Astfel gasim ca triunghiul AMC este isoscel, dar si triunghiul AMB este isoscel, cu un unghi de m\left(\widehat{AMB}\right)=60^{0} deci triunghiul AMB este echilateral, deci daca triughiul AMB este echilateral gasim ca AM=MB=AB=10 cm.
Dar mai stim si ca triunghiul AMC este isoscel, stim masura unghiului AMB, deci putem afla masura unghiului AMC, deoarece suma masurii unghiurilor pe o drepata este de 180^{0}, astfel avem
180^{0}=m\left(\widehat{BMA}\right)+m\left(\widehat{AMC}\right)\Rightarrow 180^{0}=60^{0}+m\left(\widehat{AMC}\right)\Rightarrow m\left(\widehat{AMC}\right)=180^{0}-60^{0}\Rightarrow m\left(\widehat{AMC}\right)=120^{0}, dar mai stim si ca triunghiul AMC este isocel, deci gasim ca
m\left(\widehat{MAC}\right)=m\left(\widehat{MCA}\right)=\frac{180^{0}-120^{0}}{2}\Rightarrow m\left(\widehat{MAC}\right)=m\left(\widehat{MCA}\right)=30^{0}
Acum ca sa aflam DM in triunghiul DAM, aplicam Teorema 30^{0}-60^{0}-90^{0}
DM=\frac{AM}{2}=\frac{10}{2}=5 cm
Observam ca m\left(\widehat{DAC}\right)=60^{0}
Deci stim ca BC=BD+DM+MC, noi trebuie sa aflam BD si DC, astfel avem
20=BD+5+10\Rightarrow BD=20-15\Rightarrow BD=5 cm, iar
DC=DM+MC=5+10\Rightarrow DC=15 cm
Stim ca triunghiul ABC este dreptunghic, deci putem aplica Teorema inaltimii
AD^{2}=BD\cdot DC\Rightarrow AD^{2}=5\cdot 15\Rightarrow AD=\sqrt{5\cdot 15}\Rightarrow AD=5\sqrt{3}
Deci inaltimea in triunghiul ABC este 15\sqrt{3}.
Acum ca sa aflam aria triunghiului ABC, aplicam formula pentru arie a unui triunghi
A_{\Delta ABC}=\frac{baza\cdot h}{2}=\frac{BC\cdot AD}{2}=\frac{20\cdot 15\sqrt{3}}{2}=10\cdot 15\sqrt{3}=150\sqrt{3}.
Altfel putem afla aria triunghiului daca aplicam formula pentru aria triunghiului dreptunghic, adica
A_{\Delta ABC}=\frac{c_{1}\cdot c_{2}}{2}
Dar noi observam ca nu stim cateta AC.
Cateta AC o sa invatam sa o calculam cu Teorema catetei sau cu Teorema lui Pitagora, dar intr-un alt articol.

Problema rezolvata cu Teorema celor trei perpendiculare cand baza este Patratul

Enunt problema

Pe planul patratului ABCD de latura AB = 24\;\;cm se ridica perpendiculara MO\perp\left(ABC\right), MC = 12\sqrt{3}\;\; cm, unde O este centrul
patratului. Calculati distantele de la punctul M la laturile patratului.

Demonstratie:

Ipoteza

ABCD patrat

MO\perp\left(ABC\right)    \\MC=12\sqrt{3} cm

AC\cap BD=\left\{O\right\}

Concluzie

d\left(M, AB\right)=?    \\d\left(M, BC\right)=?    \\d\left(M, CD\right)=?    \\d\left(M, AD\right)=?

Demonstratie

Mai intai realizam figura si scriem toate notiunile pe care le stim:

Cum aplicam Teorema celor trei perpendiculare

 

 

 

 

 

 

 

Stim din ipoteza ca

MO\perp\left(ABC\right)

Acum am construit ON\perp BC, ON, BC\perp\left(ABC\right)\Rightarrow MN\perp BC

Observati, ca sa aplicam Teorema celor trei perpendiculare trebuie sa formam un triunghi, astfel daca o dreapta este perpendiculara pe un plan, adica MO\perp \left(ABC\right) si prin piciorul ei ducem o  dreapta perpendiculara pe o alta dreapta din acel plan, adica OT\perp BC, atunci dreapta care uneste Punctul M cu punctul de intresectie a celor doua drepte este perpendiculara pe cea de-a treia dreapta, adica MN\perp BC.

Deci am aplicat teorema directa a celor trei perpendiculare la aceasta problema rezolvata

Acum ca sa aflam MN, adica distanta de la punctul M la dreapta BC este dreapta MN

d\left(M, BC\right)=MN

Cum pe MO=12\sqrt{3} stim din ipoteza problemei, aflam acum ON (ON perpendicular pe BC, deoarece triunghiul OBC este dreptunghic isoscel), astfel stim ca OC=OB=\frac{l\sqrt{2}}{2}=\frac{24\sqrt{2}}{2}=12\sqrt{2}, deoarece stim ca diagonala intr-un patrat este d_{patrat}=l\sqrt{2}, iar ca sa aflam jumatatea diagonalei impartim la doi.

Iar acum ca sa aflam ON aplicam teorema inaltimii, deoarece triunghiul OBC este dreptunghic isoscel, astfel obtinem:

ON=\frac{c_{1}\cdot c_{2}}{ipotenuza}=\frac{12\sqrt{2}\cdot 12\sqrt{2}}{24}=\frac{144\cdot 2}{24}=\frac{288}{24}=12, di ON=12 cm, acum dupa ce am aflat ON aplicam in triunghiul MON Teorema lui Pitagora si obtinem:

MN^{2}=MO^{2}+ON^{2}\Rightarrow MN^{2}=\left(12\sqrt{3}\right)^{2}+12^{2}\Rightarrow MN^{2}=144\cdot 3+144\Rightarrow MN^{2}=432+144\Rightarrow MN=\sqrt{576}\Rightarrow MN=24\;\; cm.

Deci am aflat distanta de la punctul M la dreapta BC, acum ca sa aflam distanta de la punctul M la dreapta AD, dar si distanta de la M la dreapta AB, distanta de la M la dreapta CD observam ca obtinem acelasi lucru adica 24 cm, astfel daca vrem sa aflam distanta de la M la dreapta CD

Distanta de la un punct la o dreapta

 

 

 

 

 

 

 

Astfel stim ca MO\perp \left(BCD\right), construim

OT\perp DC, stim OT, DC\subset\left(DBC\right)\Rightarrow MT\perp DC, deci d\left(M, DC\right)=MT, acum ca sa aflam MT, stim ca

DO=OB=OC=12\sqrt{2}, cum stim ca triunghiul DOC este isoscel, dar si dreptunghic (acesta rezulta din proprietatile patratului) si astfel putem sa aflam:

OT=\frac{c_{1}\cdot c_{2}}{ipotenuza}=\frac{12\sqrt{2}\cdot 12\sqrt{2}}{24}=\frac{288}{24}=12 cm si astfel daca aplicam Teorema lui Pitagora in triunghiul dreptunghic MOT gasim

MT^{2}=MO^{2}+OT^{2}\Rightarrow MT^{2}=\left(12\sqrt{3}\right)^{2}+12^{2}\Rightarrow MT=\sqrt{144\cdot 3+144}\Rightarrow MT=\sqrt{576}\Rightarrow MT=24 cm

 

Teorema celor trei perpendiculare Reciprocele celor trei perpendiculare

Stiti ca am invatat sa calculam distanta de la un punct la o dreapta, distanta de la un punct la un plan, dar si distanta dintre dou plane, ca sa gasim mai usor distanta de la un punct la un plan si toate cele care le-am enuntat mai sus o sa aplicam Teorema celor trei perpendiculare, dar si Reciprocele celor trei perpendiculare.

Definim prima data Teorema celor trei perpendiculare

Teorema:

Daca o dreapta d este perpendiculara pe un plan \alpha si prin piciorul ei trece o dreapta a, continuta in plan, care este perpendiculara pe o alta dreapta b continuta in plan, atunci o dreapta c care uneste orice punct M al dreptei d cu intersectia P a celor doua drepte a si b, este perpendiculara pe cea de-a treia latura.

Cum aplicam Teorema celor trei perpendiculare

d\perp\alpha    \\a\subset\alpha, O\in a

a\perp b, b\subset\alpha, a\cap b=\left\{P\right\}, M\in D

\Rightarrow MP\perp b

Acum cele doua reciproce sunt foarte importante deoarece  putem afla distanta de la un punct la altul sau distanta de la un punct la un plan.

 Reciprocele teoremei  celor trei perpendiculare

R.T.3\perp 1

Cum aplicam prima reciproca a celor trei perpendiculare

 

d\perp \alpha, d\cap\alpha=\left\{O\right\}    a\subset\alpha, O\in a, b\subset\alpha , a\cap b=\left\{P\right\},    M\in d, MP\perp b\Rightarrow a\perp b

R.T.3\perp 2

Cum aplicam Reciproca a doua a celor trei perpendiculare

d\perp a, d\cap a=\left\{O\right\}, a\subset\alpha

a\perp b, a, b\subset\alpha, a\cap b=\left\{P\right\}, M\in d,

 

MP\perp b\Rightarrow d\perp \alpha

 

Rezolvam probleme in care aplicam teorema celor trei perpendiculare

1) Pe planul triunghiului isoscel ABC  cu AB=AC=20 cm  si BC=32 cm se ridica perpendiculara AP, cu AP=12\sqrt{3} cm. Aflati:

a) distanta de la punctul P la dreapta BC

b) distanta de la  punctul A la planul  (PBC).

cum aplicam teorema celor trei perpendiculare

 

Stim ca

AP\perp\left(ABC\right)

Construim AD\perp BC, deci prin piciorul dreptei BC trece o dreapta perpendiculara pe o alta dreapta, atunci rezulta ca AD\perp BC

AP\perp\left(ABC\right)

AD\perp BC, BC\subset \left(ABC\right), AD\cap BC=\left\{P\right\}\Rightarrow AD\perp BC

Am aplicat Teorema celor trei perpendiculare si astfel am gasit ca d\left(    A, BC\right)=AD.

Acum aflam valoarea numerica a distantei

Cum Ad este inaltime, stim ca intr-un triunghi isoscel mediana, mediatoarea, bisectoarea si inaltimea coincid, deci observam  ca AD  este si mediana, astfel BD=\frac{BC}{2}\Rightarrow BD=\frac{32}{2}\Rightarrow BD=16 cm, acum aplicam teorema lui Pitagora in triunghiul ABD pentru a afla AD

AD^{2}=AB^{2}-BD^{2}\Rightarrow AD^{2}=400-256\Rightarrow AD^{2}=144\Rightarrow AD=\sqrt{144}\Rightarrow AD=12 cm.

Acum aplicam Teorema lui Pitagora in triunghiul PAD

PD^{2}=AP^{2}+AD^{2}\Rightarrow PD^{2}=\left(12\sqrt{3}\right)^{2}+12^{2}\Rightarrow PD^{2}=144\cdot 3+144\Rightarrow PD^{2}=144\left(3+1\right)\Rightarrow PD^{2}=144\cdot 4\Rightarrow PD=\sqrt{144\cdot 4}\Rightarrow PD=12\cdot 2\Rightarrow PD=24 cm.

b)d\left(A, \left(PBC\right)\right)=

CUM CALCULAM DISTANTA DE LA UN PUNCT LA UN PLAN

 

Daca AE\perp PD, PD\subset \left(PDC\right), rezulta cu cea de doua reciproca a teoremei celor trei perpendiculare ca AE\perp \left(PBC\right), deci trebuie sa aflam pe AE, cum stim ca triunghiul PAD este dreptunghic in A, aplicam teorema inaltimii

AD=\frac{c_{1}\cdot c_{2}}{ipotenuza}\Rightarrow AD=\frac{12\sqrt{3}\cdot 12}{24}\Rightarrow AD=\frac{144\sqrt{3}}{24}=6\sqrt{3}.

Deci important sa intelegem atat teorema celor trei perpendiculare, dar si reciprocele teoremei celor trei perpendiculare.