Rezolvarea triunghiului dreptunghic Probleme rezolvate

In cadrul acestui articol prezentam doua probleme  pe care le rezolvam cu ajutorul Teoremei lui Pitagora, Teoremei inaltimii, dar si cu ajutorul Teoremei catetei.
Astfel in cazul primei probleme, avem un triunghi dreptunghic, stim o cateta, dar si raportul dintre lungimea proiectiei si ipotenuza. Si avem sa aflam lungimile proiectiilor, ipotenuza, o cateta, dar si inaltimea AD, dusa din varful unghiului A.

1) In triunghiul ABC,mA=90 grade, AD perpendiculara pe BC, AB=14cm si BD supra BC=1 supra 4 . Calculati BD,BC,CD,AC si AD
cum aflam lungimile proiectiilor intr-un triunghi dreptunghic
Stim ca:
\frac{BD}{BC}=\frac{1}{4}
Astfel obtinem:
BD=\frac{1}{4}\cdot BC
In cazul raportului pe care il avem din ipotenuza am scosa BD
Daca aplicam in triunghiul ABC dreptunghic in A, Teorema catetei obtinem:
AB^{2}=BD\cdot BC\Rightarrow 14^{2}=\frac{1}{4}\cdot BC\cdot BC\Rightarrow 14^{2}\cdot 4=BC^{2}\Rightarrow BC=\sqrt{14^{2}\cdot 4}\Rightarrow BC=14\cdot 2\Rightarrow BC=28
Iar
BD=\frac{1}{4}\cdot BC=\frac{1}{4}\cdot 28=\frac{28}{4}=7
Acum aflam CD, astfel avem:
CD=BC-BD\Rightarrow CD=28-7=21
Acum aflam AC, in triunghiul ABC aplicam Teorema lui Pitagora:
AC^{2}=BC^{2}-AB^{2}\Rightarrow AC^{2}=28^{2}-14^{2}\Rightarrow AC^{2}=784-196\Rightarrow AC=\sqrt{588}=14\sqrt{3}
Iar AD este AD=\frac{AB\cdot AC}{BC}=\frac{14\cdot 14\sqrt{3}}{28}=\frac{1\cdot 14\sqrt{3}}{2}=\frac{7\sqrt{3}}{1}=7\sqrt{3}
Urmatoarea problema avem la fel un triunghi dreptunghic, avem inaltimea din varful unghiului A, dar problema ne ofera informatii si despre rapoartul celor doau proiectii. In cadrul acestei probleme stim aria triunghiului. Pornind de la aria triunghiului o sa aflam pentru inceput lungimea proiectiilor catetelor, lungimile catetei si lungimea inaltimii.

2.) In triunghiul ABC, mA=90 grade, AD perpendiculara pe BC, BD supra DC= 4 supra 9 si aria triunghiului este egala cu 3900cm patrati.Calculati:
a) lungimile proiectiilor catetelor pe ipotenuza:BD si DC ;
b) lungimile catetelor AB si AC ;
c) Lungimea inaltimii AD
Probleme rezolbvate cu Teorema cateteiTeorema lui Pitagora si Teorema inaltimii
Demonstratie:
Stim ca:
\frac{BD}{DC}=\frac{4}{9}, astfel obtinem BD=\frac{4}{9}\cdot DC
Mai stim si ca
A_{\Delta ABC}=3900 cm^{2}\Rightarrow \frac{AB\cdot AC}{2}=3900
Dar cu Teorema catetei stim ca:
AB=\sqrt{BD\cdot BC}
dar si
AC=\sqrt{CD\cdot BC}
Astfel obtinem:
\frac{\sqrt{BD\cdot BC}\cdot\sqrt{CD\cdot BC}}{1}=2\cdot 3900\Rightarrow
\frac{\sqrt{BD\cdot CD\cdot BC^{2}}}{1}=7800\Rightarrow BC\sqrt{BD\cdot DC}=7800\Rightarrow
BC\cdot\sqrt{\frac{4}{9}DC\cdot DC}=7800\Rightarrow BC\cdot \frac{2}{3}DC=7800\Rightarrow BC\cdot DC=7800\cdot\frac{3}{2}\Rightarrow BC\cdot DC=3900\cdot 3\rightarrow \left(BD+DC\right)\cdot DC=11700\Rightarrow\left(\frac{4}{9}DC+DC\right)\cdot DC=11700\Rightarrow \frac{13}{9}DC^{2}=11700\Rightarrow DC^{2}=11700\cdot \frac{9}{13}\Rightarrow DC^{2}=900\cdot 9\Rightarrow DC=\sqrt{900\cdot 9}\Rightarrow DC=30\cdot 3=90\;\; cm
Obsevati ca am folosit Teorema catetei pentru a afla lungimile proiectiilor catetelor pe ipotenuza.
Iar
BD=\frac{4}{9}\cdot DC=\frac{4}{9}\cdot 90=4\cdot 10=40\;\; cm
Deci am aflat lungimile proiectiilor.

Acum sa aflam lungimile catetelor
Stim ca
BC\cdot DC=11700
Dar stim cu Teorema inaltimii ca BC\cdot DC=AC^{2}

Astfel avem ca AC^{2}=11700\Rightarrow AC=\sqrt{11700}=30\sqrt{13}

Acum pentru a afla AB stim ca BC=BD+DC=90+40=130
Iar daca aplicam Teorema catetei obtinem ca
AB^{2}=BD\cdot BC\Rightarrow AB^{2}=40\cdot 130\Rightarrow AB=\sqrt{40\cdot 130}\Rightarrow AB=\sqrt{5200}\Rightarrow AB=20\sqrt{13}
Acum ca sa aflam lungimea inaltimii stim ca
AD=\sqrt{BD\cdot DC}=\sqrt{40\cdot 90}=\sqrt{3600}=60\;\; cm

Probleme rezolvate cu plane perpendiculare

Doua probleme cu plane perpendiculare

1) Consideram paralelipipedul dreptunghic ABCDA’B’C’D’.

Stabiliti valoare de adevar a propozitiilor:

a)\left(ABC\right)\perp\left(ABB'\right) (A) (deoarece formeza un unghi diedru cu masura de de 90^{0})

b)\left(ADD'\right)\perp\left(A'B'C'\right)(A)

c)\left(ABC'\right)\perp\left(CB'A'\right)(A)

d)\left(A'BC'\right)\perp\left(CDA'\right)(F)

Demonstratie

Plane perpendiculare

\left(ABC\right)\perp\left(ABB'\right) (A) (deoarece formeza un unghi diedru cu masura de de 90^{0})

2.Dreptunghiu ABCD si patratul ABEF sunt situate in planele perpendiculare.
Stiind ca AB=40cm si BC=30cm, aflati:
a)distanta de la punctul E la dreapta AC
b)distanta de la punctul C la dreapta EF, precum si distanta de la punctul C la dreapta AE.
Demonstratie

distanta de la un punct la o dreapta
Stim ca
EB\perp\left(ABC\right)  BO\perp AC, BO, AC\subset\left(ABC\right)\Rightarrow EO\perp AC
Deoarece stim ca distanta de la un punct la o dreapta este piciorul perpendicularei din punctul dat pe dreapta respectiva, noi in cazul de sus am folosit Teorema celor trei perpendiculare, deci
d\left(E, AC\right)=EO
Acum sa aflam BO
In triunghiul ABC aplicam Teorema lui Pitagora
AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}\Rightarrow AC^{2}=40^{0}+30^{2}\Rightarrow AC=\sqrt{1600+900}\Rightarrow AC=\sqrt{2500}\Rightarrow AC=5\cdot 10\Rightarrow AC=50 cm
Acum putem afal BO, daca aplicam Teorema inaltimii
BO=\frac{AB\cdot BC}{AC}=\frac{40\cdot 30}{50}=\frac{1200}{50}=\frac{120}{5}=24
Acum in triunghiul EBO aplicam Teorema lui Pitagora
EO^{2}=EB^{2}+BO^{2}\Rightarrow EO^{2}=40^{2}+24^{2}\Rightarrow EO=\sqrt{1600+576}\Rightarrow EO=\sqrt{2176}\Rightarrow EO=8\sqrt{34}
b) d\left(C,EF\right)=CE
cum aflam distanta de la un punct la o dreapta
Astfel in triunghiul EBC aplicam Teorema lui Pitagora
CE^{2}=CB^{2}+BE^{2}\Rightarrow CE^{2}=40^{2}+30^{2}\Rightarrow CE=\sqrt{1600+900}\Rightarrow CE=\sqrt{2500}\Rightarrow CE=50 cm.
d\left(C,AE\right)=CT
distanta de la un punct la o dreapta
Observati ca \left\{T\right\}=AE\cap BF

Observam ca in triunghiul CTE stim CE=50 cm aflam ET, astfel ET=\frac{AE}{2}
AE este3 diagonala in patratul ABEF, astfel AE=l\sqrt{2}=40\sqrt{2}
Acum putem afla
ET=\frac{40\sqrt{2}}{2}=20\sqrt{2}
Acum putem aplica Teorema lui Pitagora in triunghiul dreptunghic CET
CT^{2}=CE^{2}-ET^{2}\Rightarrow CT^{2}=50^{2}-\left(20\sqrt{2}\right)^{2}\Rightarrow CT^{2}=2500-400\cdot 2\Rightarrow CT=\sqrt{2500-800}\Rightarrow CT=\sqrt{1700}\Rightarrow CT=10\sqrt{17}

Problema rezolvata Unghiul unei drepte cu un plan

Prezentam inca o Problema rezolvata Unghiul unei drepte cu un plan

Triunghiul dreptunghic ABC are ipotenuza BC inclusa in planul \alpha, a\notin \alpha. Stiind ca BC=12\sqrt{6} si AB=12\sqrt{2} cm si ca unghiul format de dreapta AB cu planul \alpha este de 45^{0}, aflati:

a) unghiul format de dreapta AC cu planul \alpha

b) perimetrul triunghiului A’BC, unde A’ este proiectia punctului A pe planul \alpha

Demonstratie

Cum aflam unghiul unei drepte cu un plan

Stim ca triunghiul ABC este dreptunghic, din ipoteza mai stim BC si AB, astfel cu Teorema lui Pitagora calculam AC, astfel AC^{2}=BC^{2}-AB^{2}\Rightarrow AC^{2}=\left(12\sqrt{6}\right)^{2}-\left(12\sqrt{2}\right)^{2}\Rightarrow AC^{2}=144\cdot 6-144\cdot 2\Rightarrow AC=\sqrt{144\cdot\left(6-2\right)}\Rightarrow AC=\sqrt{144\cdot 4}\Rightarrow AC=12\cdot 2\Rightarrow AC=24 cm
Din ipoteza mai stim ca unghiul format de dreapta AB cu planul \alpha este de 45^{0} .Astfel stim ca unghiul format de o dreapta cu un plan este unghiul format de dreapta cu proiectia ei pe plan, si mai stim si ca proiectia unei drepte pe un plan poate fi o dreapta in cazul in care dreapta nu este perpendiculara pe plan sau un punct in cazul in care dreapta este perpendiculara pe plan, in cazul nostru
Fie
AA'\perp \alpha,\\BC\subset\alpha, A'\in \alpha
Stim acum ca
\prec\left(AB,\alpha\right)=\prec\left(AB, A'B\right)=\prec\left(ABA'\right)
Acum aflam
\prec\left(AC,\alpha\right)=\prec\left(AC, CA'\right)=\prec\left(ACA'\right),
Acum trebuie sa aflam masura unghiului. Stim ca triunghiul ACA’ este dreptunghic in A’, stim ca unghiul ABA’ are masura de 45^{0}, astfel daca aplicam

\sin ABA'=\frac{cat. opusa }{ipotenuza}\Rightarrow \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{AA'}{AB}\Rightarrow \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{AA'}{12\sqrt{2}}\Rightarrow AA''=\frac{12\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}{2}\Rightarrow AA'=12 cm.

Iar daca in triunghiul AA’C dreptunghic aplicam \sin \prec ACA'=\frac{AA'}{AC}=\frac{12}{24}=\frac{1}{2}=30^{0}.
Deci unghiul format de dreapta AC cu planul \alpha este de 30 de grade.
b) P_{\Delta A'BC}=?

Cum BC=12\sqrt{6} cm din ipotenuza

Acum trebuie sa aflam  A’B si A’C.

Astfel  in triunghiul ABA’ dreptunghic in A’ aplicam Teorema lui Pitagora

A'B^{2}=AB^{2}-AA'^{2}\Rightarrow A'B^{2}=\left(12\sqrt{2}\right)^{2}-12^{2}\Rightarrow A'B^{2}=288-144\Rightarrow A'B=\sqrt{144}\Rightarrow A'B=12 cm

Iar in triunghiul ACA’ dreptunghic in A’ aplicam cos ACA’

\cos ACA'=\frac{cat.alaturata}{ipotenuza}\Rightarrow \cos 30^{0}=\frac{CA'}{AC}\Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{CA'}{24}\Rightarrow CA'=\frac{24\cdot\sqrt{3}}{2}\Rightarrow CA'=12\sqrt{3}

Deci cum stim toate lungimile laturilor calculam perimetrul triunghiului

P_{\Delta A'BC}=A'B+A'C+BC=

12+12\sqrt{3}+12\sqrt{6}

=12\left(1+\sqrt{3}+\sqrt{6}\right).

 

Problema rezolvata cu Teorema celor trei perpendiculare cand baza este Patratul

Enunt problema

Pe planul patratului ABCD de latura AB = 24\;\;cm se ridica perpendiculara MO\perp\left(ABC\right), MC = 12\sqrt{3}\;\; cm, unde O este centrul
patratului. Calculati distantele de la punctul M la laturile patratului.

Demonstratie:

Ipoteza

ABCD patrat

MO\perp\left(ABC\right)    \\MC=12\sqrt{3} cm

AC\cap BD=\left\{O\right\}

Concluzie

d\left(M, AB\right)=?    \\d\left(M, BC\right)=?    \\d\left(M, CD\right)=?    \\d\left(M, AD\right)=?

Demonstratie

Mai intai realizam figura si scriem toate notiunile pe care le stim:

Cum aplicam Teorema celor trei perpendiculare

 

 

 

 

 

 

 

Stim din ipoteza ca

MO\perp\left(ABC\right)

Acum am construit ON\perp BC, ON, BC\perp\left(ABC\right)\Rightarrow MN\perp BC

Observati, ca sa aplicam Teorema celor trei perpendiculare trebuie sa formam un triunghi, astfel daca o dreapta este perpendiculara pe un plan, adica MO\perp \left(ABC\right) si prin piciorul ei ducem o  dreapta perpendiculara pe o alta dreapta din acel plan, adica OT\perp BC, atunci dreapta care uneste Punctul M cu punctul de intresectie a celor doua drepte este perpendiculara pe cea de-a treia dreapta, adica MN\perp BC.

Deci am aplicat teorema directa a celor trei perpendiculare la aceasta problema rezolvata

Acum ca sa aflam MN, adica distanta de la punctul M la dreapta BC este dreapta MN

d\left(M, BC\right)=MN

Cum pe MO=12\sqrt{3} stim din ipoteza problemei, aflam acum ON (ON perpendicular pe BC, deoarece triunghiul OBC este dreptunghic isoscel), astfel stim ca OC=OB=\frac{l\sqrt{2}}{2}=\frac{24\sqrt{2}}{2}=12\sqrt{2}, deoarece stim ca diagonala intr-un patrat este d_{patrat}=l\sqrt{2}, iar ca sa aflam jumatatea diagonalei impartim la doi.

Iar acum ca sa aflam ON aplicam teorema inaltimii, deoarece triunghiul OBC este dreptunghic isoscel, astfel obtinem:

ON=\frac{c_{1}\cdot c_{2}}{ipotenuza}=\frac{12\sqrt{2}\cdot 12\sqrt{2}}{24}=\frac{144\cdot 2}{24}=\frac{288}{24}=12, di ON=12 cm, acum dupa ce am aflat ON aplicam in triunghiul MON Teorema lui Pitagora si obtinem:

MN^{2}=MO^{2}+ON^{2}\Rightarrow MN^{2}=\left(12\sqrt{3}\right)^{2}+12^{2}\Rightarrow MN^{2}=144\cdot 3+144\Rightarrow MN^{2}=432+144\Rightarrow MN=\sqrt{576}\Rightarrow MN=24\;\; cm.

Deci am aflat distanta de la punctul M la dreapta BC, acum ca sa aflam distanta de la punctul M la dreapta AD, dar si distanta de la M la dreapta AB, distanta de la M la dreapta CD observam ca obtinem acelasi lucru adica 24 cm, astfel daca vrem sa aflam distanta de la M la dreapta CD

Distanta de la un punct la o dreapta

 

 

 

 

 

 

 

Astfel stim ca MO\perp \left(BCD\right), construim

OT\perp DC, stim OT, DC\subset\left(DBC\right)\Rightarrow MT\perp DC, deci d\left(M, DC\right)=MT, acum ca sa aflam MT, stim ca

DO=OB=OC=12\sqrt{2}, cum stim ca triunghiul DOC este isoscel, dar si dreptunghic (acesta rezulta din proprietatile patratului) si astfel putem sa aflam:

OT=\frac{c_{1}\cdot c_{2}}{ipotenuza}=\frac{12\sqrt{2}\cdot 12\sqrt{2}}{24}=\frac{288}{24}=12 cm si astfel daca aplicam Teorema lui Pitagora in triunghiul dreptunghic MOT gasim

MT^{2}=MO^{2}+OT^{2}\Rightarrow MT^{2}=\left(12\sqrt{3}\right)^{2}+12^{2}\Rightarrow MT=\sqrt{144\cdot 3+144}\Rightarrow MT=\sqrt{576}\Rightarrow MT=24 cm

 

Teorema celor trei perpendiculare Problema rezolvata

Pe planul triunghiului echilateral ABC de latura AB=18 cm se ridica perpendiculara pe planul triunghiului in centrul cercului circumscris triunghiului, MO\perp \left(ABC\right), cu MO= 3cm. Calculati distantele de la punctul M la laturile triunghiului.

Demonstratie

distanta de la un punct la o dreapta

Stim ca
MO\perp\left(ABC\right) (din ipoteza)
Stim ca O este punctul de intersectie al mediatoarelor, dar mai stim si ca, conform proprietatii triunghiului echilateral: Intr-un triunghi echilateral medianele, mediatoarele, bisectoarele si inaltimile coincid, deci putem considera ca CF este si inaltime,F\in \left(AB\right), astfel

OF\perp AB, OF, AB\subset \left(ABC\right) si cu Teorema celor Trei perpendiculare obtinem ca MF\perp AB si astfel am gasit distanta de la punctul M la dreapta AB .
Stim ca triunghiul MOF este dreptunghic in O, din ipoteza stim MO=3 cm,iar pentru a afla OF stim ca CF este mediana .Mai stim ca medianele intr-un triunghi sunt situate la doua treimi fata de varf, adica CO=\frac{2}{3}\cdot CF si o treime fata de baza, adica FO=\frac{1}{3}\cdot CF, tot cu proprietatea care am enuntat-o mai sus stim ca CF este si inaltime, iar inaltimea intr-un triunghi echilateral este Cf=\frac{l\sqrt{3}}{2}=\frac{18\sqrt{3}}{2}=9\sqrt{3}, iar FO=\frac{1}{3}\cdot 9\sqrt{3}=3\sqrt{3}.
Acum aplicam teorema lui Pitagora in triunghiul MOF si obtinem
MF^{2}=MO^{2}+FO^{2}\Rightarrow MF^{2}=3^{2}+\left(3\sqrt{3}\right)^{2}\Rightarrow MF^{2}=9+27\Rightarrow MF=\sqrt{36}\Rightarrow MF= 6 cm.
Deci d\left(M, AB\right)=MF=6cm
Acum pentru a afla d(M, BC)
Observam de asemenea ca MO\perp\left(ABC\right)
De asemenea DO\perp BC, iar cu Teorema celor trei perpendiculare obtinem MD\perp BC
Deci d(M BC)=MD
Teorema celor trei perpendiculare
Acum la fel ca si mai sus DO=\frac{1}{3}\cdot AD=\frac{1}{3}\cdot 9\sqrt{3}=3\sqrt{3}, stim ca AD este inaltime in triunghiul echilateral, adica AD=\frac{l\sqrt{3}}{2}=\frac{18\sqrt{3}}{2}=9\sqrt{3}, atentie aceasta formula o aplicam doar pentru triunghiul echilateral ca sa aflam inaltimea, iar acum in triunghiul dreptunghic MDO dreptunghic in O, aplicam Teorema lui Pitagora
MD^{2}=MO^{2}+OD^{2}\Rightarrow MD^{2}=9+27\Rightarrow MD=\sqrt{36}\Rightarrow MD=6 cm

Acum pentru a afla distanta de la M la dreapta AC
Deci d\left(M, AC\right)=ME
Teorema celor trei perpendiculare
Stim ca

MO\perp \left(ABC\right)
OE\perp AC, OE, AC\subset \left(ABC\right)\Rightarrow ME\perp AC
Deci \left(M, AC\right)=ME
Cum stim ca triunghiul MOE este dreptunghic in O aplicam Teorema lui Pitagora
ME^{2}=MO^{2}+OE^{2}\Rightarrow ME^{2}=9+27\Rightarrow ME=\sqrt{36}\Rightarrow ME=6
Deci am gasit ca distanta de la punctul M la dreptele AB, AC, BC este egala cu 6 cm.

Teorema celor trei perpendiculare Reciprocele celor trei perpendiculare

Stiti ca am invatat sa calculam distanta de la un punct la o dreapta, distanta de la un punct la un plan, dar si distanta dintre dou plane, ca sa gasim mai usor distanta de la un punct la un plan si toate cele care le-am enuntat mai sus o sa aplicam Teorema celor trei perpendiculare, dar si Reciprocele celor trei perpendiculare.

Definim prima data Teorema celor trei perpendiculare

Teorema:

Daca o dreapta d este perpendiculara pe un plan \alpha si prin piciorul ei trece o dreapta a, continuta in plan, care este perpendiculara pe o alta dreapta b continuta in plan, atunci o dreapta c care uneste orice punct M al dreptei d cu intersectia P a celor doua drepte a si b, este perpendiculara pe cea de-a treia latura.

Cum aplicam Teorema celor trei perpendiculare

d\perp\alpha    \\a\subset\alpha, O\in a

a\perp b, b\subset\alpha, a\cap b=\left\{P\right\}, M\in D

\Rightarrow MP\perp b

Acum cele doua reciproce sunt foarte importante deoarece  putem afla distanta de la un punct la altul sau distanta de la un punct la un plan.

 Reciprocele teoremei  celor trei perpendiculare

R.T.3\perp 1

Cum aplicam prima reciproca a celor trei perpendiculare

 

d\perp \alpha, d\cap\alpha=\left\{O\right\}    a\subset\alpha, O\in a, b\subset\alpha , a\cap b=\left\{P\right\},    M\in d, MP\perp b\Rightarrow a\perp b

R.T.3\perp 2

Cum aplicam Reciproca a doua a celor trei perpendiculare

d\perp a, d\cap a=\left\{O\right\}, a\subset\alpha

a\perp b, a, b\subset\alpha, a\cap b=\left\{P\right\}, M\in d,

 

MP\perp b\Rightarrow d\perp \alpha

 

Rezolvam probleme in care aplicam teorema celor trei perpendiculare

1) Pe planul triunghiului isoscel ABC  cu AB=AC=20 cm  si BC=32 cm se ridica perpendiculara AP, cu AP=12\sqrt{3} cm. Aflati:

a) distanta de la punctul P la dreapta BC

b) distanta de la  punctul A la planul  (PBC).

cum aplicam teorema celor trei perpendiculare

 

Stim ca

AP\perp\left(ABC\right)

Construim AD\perp BC, deci prin piciorul dreptei BC trece o dreapta perpendiculara pe o alta dreapta, atunci rezulta ca AD\perp BC

AP\perp\left(ABC\right)

AD\perp BC, BC\subset \left(ABC\right), AD\cap BC=\left\{P\right\}\Rightarrow AD\perp BC

Am aplicat Teorema celor trei perpendiculare si astfel am gasit ca d\left(    A, BC\right)=AD.

Acum aflam valoarea numerica a distantei

Cum Ad este inaltime, stim ca intr-un triunghi isoscel mediana, mediatoarea, bisectoarea si inaltimea coincid, deci observam  ca AD  este si mediana, astfel BD=\frac{BC}{2}\Rightarrow BD=\frac{32}{2}\Rightarrow BD=16 cm, acum aplicam teorema lui Pitagora in triunghiul ABD pentru a afla AD

AD^{2}=AB^{2}-BD^{2}\Rightarrow AD^{2}=400-256\Rightarrow AD^{2}=144\Rightarrow AD=\sqrt{144}\Rightarrow AD=12 cm.

Acum aplicam Teorema lui Pitagora in triunghiul PAD

PD^{2}=AP^{2}+AD^{2}\Rightarrow PD^{2}=\left(12\sqrt{3}\right)^{2}+12^{2}\Rightarrow PD^{2}=144\cdot 3+144\Rightarrow PD^{2}=144\left(3+1\right)\Rightarrow PD^{2}=144\cdot 4\Rightarrow PD=\sqrt{144\cdot 4}\Rightarrow PD=12\cdot 2\Rightarrow PD=24 cm.

b)d\left(A, \left(PBC\right)\right)=

CUM CALCULAM DISTANTA DE LA UN PUNCT LA UN PLAN

 

Daca AE\perp PD, PD\subset \left(PDC\right), rezulta cu cea de doua reciproca a teoremei celor trei perpendiculare ca AE\perp \left(PBC\right), deci trebuie sa aflam pe AE, cum stim ca triunghiul PAD este dreptunghic in A, aplicam teorema inaltimii

AD=\frac{c_{1}\cdot c_{2}}{ipotenuza}\Rightarrow AD=\frac{12\sqrt{3}\cdot 12}{24}\Rightarrow AD=\frac{144\sqrt{3}}{24}=6\sqrt{3}.

Deci important sa intelegem atat teorema celor trei perpendiculare, dar si reciprocele teoremei celor trei perpendiculare.

 

Puncte drepte plane, axiomele geometriei in spatiu

Inca din clasele mai mici vi s-au definit notiunile de puncte drepte plane, dar in afara de aceste lucruri vi s-a mai spus si despre teoreme (despre care am invatat mai amanuntit in clasa a VII-a , exemplu Teorema lui Pitagora, Teorema catetei, Teorema inaltimii si multe altele) si axiome (prima axioma care am invatat-o in clasa a VI-a la geometrie este Axioma lui Euclid, care ne spunea ca printr-un punct exterior unei drepte se poate duce o dreapta si numai una la dreapta data), in afara de axioma care am enuntat-o vi s-au mai enuntat si altele, adica axiomele geometriei in spatiu:

A1. Prin doua puncte distincte trece o singura dreapta. Orice dreapta are doua puncte distincte.

A2. Trei puncte necoliniare determina un plan.

Intr-un plan exista cel putin trei puncte necoliniare.
Trei puncte necoliniare determina un plan
A3. Daca doua pucte distincte sunt situate intr-un plan, atunci dreapta determinata de ele are toate punctele in acel plan.
Doua puncte distincte sunt situate intr-un plan
A4. Daca doua plane distincte au un punct in comun, atunci ele mai au cel putin inca un punct in comun.
Dupa ce am enuntat axiomele, rezolvam o problema care ne ajuta sa intelegem aceste notiuni.

Problema.
1) Fie triunghiul echilateral ABC si M un punct ce nesituat in planul (ABC), astfel incat MA=6 cm, MB=MC=6\sqrt{3} si MD=6\sqrt{2}, unde D\in (BC) si [BD]\equiv[DC]. Stabiliti natura triunghiului MAD si calculati aria acestuia.
Ip:
<br /> \Delta ABC echilateral
M\notin(ABC)
\\MA=6 cm
\\MB=MC=6\sqrt{3}
\\MD=6\sqrt{2}
\\ D \in (BC)
[BD]\equiv[DC]
Cl:
– natura \Delta ABC
– aria  \Delta ABC.
Dem
Rezolvare probleme, un punct exterior unui plan
Unind punctele A si D, obtinem AD, mediana, dar triunghiul ABC (din ipoteza) echilateral si stim din clasa a VI-a ca mediana poate fi considerata si inaltime, si mediatoare, si bisectoare (din proprietatile triunghiului echilateral)stim ca inaltimea intr-un triunghi echilateral este,
h_{\Delta ABC}=\frac{l\sqrt{3}}{2}.
Din ipoteza stim caMB=MC, deci triunghiul MBC este isoscel de baza BC, MD stim ca este mediana (din ipteza), dar si inaltime (conform teoremei de la proprietatile triunghiului isoscel), astfel calculand MD cu Teorema lui Pitagora obtinem BD^{2}=MC^{2}-MD^{2}<br /> \\BD^{2}=(6\sqrt{3})^{2}-(6\sqrt{2})^{2}<br /> \\BD^{2}=108-72<br /> \\BD^{2}=36<br /> \\BD=\sqrt{36}<br /> \\BD=6 cm
Cum BD= DC obtinem BD=DC=6, deci BC=12 cm. Cum triunghiul ABC echilateral obtinem ca AB=AC=BC=12 cm. Cum am aflat laturile triunghiului echilateral ABC putem sa aflam si pe AD, dupa cum am spus si mai sus AD=\frac{l\sqrt{3}}{2}=\frac{12\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3} cm.
In triunghiul MAD stim  MA=6, MD=6\sqrt{2} cm (din ipoteza) si  AD=6\sqrt{3}, iar daca ne uitam cu atentie si aplicam reciproca lui Pitagora obtinem ca triunghiul este dreptunghic.
Deci A_{\Delta ABC}=\frac{c_{1}\cdot c_{2}}{2}=\frac{6\cdot 6\sqrt{2}}{2}=18\sqrt{2}\;\; cm^{2}.

Piramida triunghiulara, tetraedrul: descriere si reprezentare

Asa cum am promis intr-un articol , o sa discutam si despre piramida triunghiulara si tetraedru.
Dupa cum am invatat la piramida patrulatera baza este un paralelogram (baza poate fi patrat, romb, dreptunghi), in cazul piramidei triunghiulare baza asa cum v-ati dat seama este un triunghi (echilatera, isoscel, dreptunghic), iar daca piramida este triunghiular regulata, baza este triunghi echilateral, iar pentru piramida patrulater regulata baza este patrat.

Def: Tetraedrul este determinat de patru puncte necoplanare, numite varfuri.
Reprezentare
Tetraedru- reprezentare
Dupa cum am vorbit si la piramida patrulatera, vorbim si despre elementele componente:
-muchiile bazei: AB, AC, BC
-muchiile laterale: VA, VB, VB
-planul bazei (ABC)
-fetele laterale \Delta VBC; \Delta VAC; \Delta VAB
Aceleasi componente le avem si pentru piramida triunghiular regulata.
Diferenta dintre piramida triunghiular regulata si tetraedru este ca: tetraedrul are toate muchiile congruente, adica si muchiile bazei si muchiile laterale sunt congruente, deci fetele laterale si fetele bazei sunt triunghiuri echilaterale, iar la piramida triunghiular regulata baza este triunghi echilateral, iar fetele laterale sunt triunghiuri isoscele, muchiile laterale sunt congruente.
La fel ca si la piramida patrulater regulata, piramida triunghiular regulata are si ea: apotema piramidei, apotema bazei, inaltimea.
Def: Apotema piramidei triunghiulare este distanta de la varful piramidei la o muchie a bazei a_{p}
Apotema bazei piramidei triunghiulare este distanta de la centrul cercului circumscris bazei triunghiului echilateral la o muchie a bazei a sa a_{b}.
Inaltimea intr-o piramida triunghiular regulata este distanta de la varful piramidei la punctul de intersectie al mediatoarelor (centrul cercului circumscris).
apotema piramidei, apotema bazei, inaltimea

Problema
1) Piramida regulata VABC are baza triunghiular echilateral cu aria de 36\sqrt{3}. Daca m(\prec VAB)=30^{0}, aflati aria triunghiului VAB.
Ip:
VABC piramida triunghiular regulata
A_{\Delta ABC}=36\sqrt{3}
\\m(\prec VAB)=30^{0}
Cl:
A_{\Delta VAB}=?
Dem:
Piramida triunghiulara
Cum baza piramidei este triunghi echilateral si mai stim si aria sa, aflam latura triunghiului echilteral din aria triunghiului ABC, astfel stim din clasa a VII-a ca aria intr-un triunghi echilateral este \frac{l^{2}\sqrt{3}}{4},iar pentru triunghiul din problema noastra A_{\Delta ABC}=\frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}\Rightarrow 36\sqrt{3}=\frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}\Rightarrow 36\sqrt{3}\cdot 4=l^{2}\sqrt{3}\Rightarrow 36\cdot 4=l^{2}\Rightarrow l=\sqrt{36\cdot 4}\Rightarrow l=6\cdot 2 \Rightarrow l=12 cm, in prima parte pentru a afla latura triunghiului echilateral am folosit proprietatea fundamentala a proportiilor ( intr-o proportie produsul mezilor este egal cu produsul extremilor). Dupa ce am aflat latura bazei piramidei si stim ca baza este triunghi echilateral rezulta ca piramida este triunghiular regulata , deci fetele laterale sunt triunghiuri isoscele, stiind m(\prec VAB)=30^{0}\;\; si\;\; \Delta VAB isoscel, constrim inaltimea VD, pentru a putea aplica Teorema 30^{0}-60^{0}-90^{0} sau functiile trigonometrice, stim ca AD=6 cm, deoarece intr-un triunghiului isoscel medianele, mediatoarele, inaltimile corespunzatoare bazei coincid, deci la noi VD este si mediana, de unde aflam AD.
Inaltimea pe o fata laterala intr-o piramida

Daca aplicam Teorema 30^{0}-60^{0}-90^{0} nu putem sa aflam nimic deoarece nu stim nici ipotenuza, nici cateta care se opune unghiului de 30^{0}, deci aplicam functiile trigonometrice
cos 30^{0}=\frac{cat. alaturata}{ipotenuza}\Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{AD}{VA}\Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{6}{VA}\Rightarrow VA\sqrt{3}=12\Rightarrow VA=\frac{12}{\sqrt{3}}\Rightarrow VA=\frac{12\sqrt{3}}{3}\Rightarrow VA=4\sqrt{3} cm.
Baza o stim, ca sa aflam aria trebuie sa mai aflam si inaltimea, astfel stiind VA, aplicam Teorema lui Pitagora pentru a afla inamtimea sau Teorema 30^{0}-60^{0}-90^{0}, noi o sa aplicam Teorema 30^{0}-60^{0}-90^{0}, iar voi incercati cu teorema lui Pitagora deci  VD=\frac{VA}{2}\Rightarrow VD=\frac{4\sqrt{3}}{2}\Rightarrow VD=2\sqrt{3} cm.
Deci aria triunghiului VAB este:
A_{\Delta VAB}=\frac{baza \cdot h}{2}=\frac{AB\cdot VD}{2}=\frac{12\cdot 2\sqrt{3}}{2}=12\sqrt{3} cm.
Deci imprtant la aceste probleme sunt notiunile pe care le-am invatat pana acum.