Calculul algebric Adunarea si scaderea numerelor reale

Adunarea si scaderea numerelor reale reprezentate prin litere

Stim inca de la operatii cu numere reale ca 2\sqrt{3}+3\sqrt{3}=\left(2+3\right)\cdot\sqrt{3}=5\sqrt{3}.
In general 3x+7x=x\left(3+7\right)=x\cdot 10=10x, unde x este un numar real. Numerele 3x si 7x se numesc termenii sumei, iar 3 si 7 poarta numele de coeficienti lui x.In suma 5x+2y, numerele reale 5 si 2 se numesc coeficienti, iar x si y reprezinta partea literala.

Astfel discutam despre :

Adunarea si scaderea numerelor reale  reprezentate prin litere

O suma algebrica este o suma in care unele numere reale sunt reprezentate prin litere.
Termenii asemenea ai unei sume algebrice sunt acei termeni in care apar aceleasi litere ridicate la aceleasi puteri.
Exemplu:
Efectuati:
a)2x+3x-7x+12x=x\left(2+3-7+12\right)=x\cdot 10=10x, am dat factor comun pe x iar apoi am efectuat suma respectiv diferenta numerelor.
b) \left(2x+3y\right)-\left(4x+5y\right)-\left(10-4y\right)
Mai intai desfintam parantezele si astfel obtinem:
2x+3y-4x-5y-10+4y=x\left(2-4\right)+y\left(-5+4\right)-10=-2\cdot x-1\cdot y-10=-2x-y-10

c) \left(4\sqrt{2}-2\sqrt{2}\right)x+\left(6\sqrt{2}-3\sqrt{2}\right)x-\left(8\sqrt{2}-\sqrt{2}\right)+3\sqrt{2}x=    2\sqrt{2}x+3\sqrt{2}x-7\sqrt{2}x+3\sqrt{2}x=\sqrt{2}x\left(2+3-7+6\right)=4\sqrt{2}x

In primul rand la exercitiul de mai sus am efectuat mai intai operatiile din paranteza, iar apoi am dat factor comun pe x\sqrt{2} pentru a efectua calculele.

d) \left(\frac{6}{\sqrt{2}}x-\frac{9}{\sqrt{3}}x\right)+\left(\frac{3}{\sqrt{18}}x+\frac{10}{\sqrt{75}}x\right)-\left(\frac{24}{2\sqrt{48}}x-\frac{12}{\sqrt{108}}x\right)=

\left(\frac{6\sqrt{2}}{2}^{(2}\cdot x-\frac{9\sqrt{3}}{3}^{(3}\cdot x\right)+\left(\frac{3\sqrt{18}}{18}x+\frac{10\sqrt{75}}{75}x\right)-\left(\frac{24\sqrt{48}}{2\cdot 48}x-\frac{12\sqrt{108}}{108}x\right)=

\left(3\sqrt{2}x-3\sqrt{3}x\right)+\left(\frac{3\cdot 3\sqrt{2}}{18}x+\frac{10\cdot 5\sqrt{3}}{75}x\right)-\left(\frac{24\cdot 4\sqrt{3}}{96}x-\frac{12\cdot 6\sqrt{3}}{108}x\right)=

3\sqrt{2}x-3\sqrt{3}x+\left(\frac{9\sqrt{2}}{18}^{(9}\cdot x+\frac{50\sqrt{3}}{75}^{(25}\cdot x\right)-\left(\frac{96\sqrt{3}}{96}^{(96}x-\frac{72\sqrt{3}}{108}x\right)=

3\sqrt{2}x-3\sqrt{3}x+\frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{2\sqrt{3}}{3}x-\sqrt{3}x+\frac{2\sqrt{3}}{3}x=

\left(3\sqrt{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2}x\right)+\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}x-\sqrt{3}x+\frac{2\sqrt{3}}{3}x-3\sqrt{3}x\right)=    \sqrt{2}x\left(3+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{3}x\left(\frac{2}{3}-1+\frac{2}{3}-3\right)=    \sqrt{2}x\left(\frac{2\cdot 3+1\cdot 1}{2}\right)+\sqrt{3}x\left(\frac{2+2}{3}-4\right)=\sqrt{2}x\frac{7}{2}+\sqrt{3}x\left(\frac{4}{3}-4\right)=\frac{7\sqrt{2}}{2}x+\sqrt{3}x\cdot\left(\frac{4-3\cdot 4}{3}\right)=\frac{7\sqrt{2}}{2}x+\sqrt{3}x\cdot\left(\frac{-8}{3}=\right)\frac{7\sqrt{2}}{2}x-\frac{8\sqrt{3}}{3}x.

Ca sa rezolvam exercitiul de mai sus, mai intai am rationalizat numitorii fiecarei fractii, dupa rationalizare am simplificat fiecare fractie unde s-a putut, dar am si scos si  factori de sub radical unde s-a putut. Apoi am efectuat calculele, adica am folosit adunarea si scaderea numerelor reale reprezentate prin litere.

e) 0,\left(3\right)x+1\frac{1}{3}x-\left[1,\left(3\right)x-\frac{2}{3}x\right]=

\frac{3}{9}^{(3}x+\frac{1\cdot 3+1}{3}x-\left(\frac{13-1}{9}x-\frac{2}{3}x\right)=

\frac{1}{3}x+\frac{4}{3}x-\left(\frac{12}{9}^{(3}x-\frac{2}{3}x\right)=

\frac{x}{3}+\frac{4x}{3}-\left(\frac{4}{3}x-\frac{2}{3}x\right)=

\frac{x}{3}+\frac{4x}{3}-\frac{4x}{3}+\frac{2x}{3}=\frac{1}{3}\left(x+4x-4x+2x\right)=\frac{1}{3}\cdot 3x=\frac{3x}{3}=x.

Ca sa rezolvam exercitiul de mai sus mai intai am transformat fractiile zecimale periodice mixte in fractii ordinarea, apoi am simplificat fiecare fractie ordinara obtinuta, apoi am efectuat adunarea si scaderea numerelor reale reprezentate prin litere.

2) Determinati valorile lui x, astfel incat numarul A sa fie natural, unde :

A=\sqrt{\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}}x+\sqrt{\left(3-\sqrt{3}\right)^{2}}x-\sqrt{\left(4-2\sqrt{3}\right)^{2}x}=    \left(2-\sqrt{3}\right)\cdot x+\left(3-\sqrt{3}\right)\cdot x-\left(4-2\sqrt{3}\right)\cdot x=    2x-\sqrt{3}x+3x-\sqrt{3}x-4x+2\sqrt{3}x=x\left(2-\sqrt{3}+3-\sqrt{3}-4+2\sqrt{3}\right)=x\left(1-2\sqrt{3}+2\sqrt{3}\right)=x\cdot 1=x

A\in N\Rightarrow x\in N, unde N-este multimea numerelor naturale.

 

Adunarea numerelor rationale

Despre adunarea numerelor rationale am mai invata si in clasa a VI- a, dar doar despre numerele rationale pozitive, acum ca stim sa rezolvam si exercitii cu numere intregi, o sa rezolvam si exercitii cu numere rationale negative. Astfel stim ca: daca adunam doua numere rationale obtinem tot un numar rational. Proprietatile adunarii numerelor rationale pozitive:

-Adunarea este asociativa a+(b+c)=(a+b)+c
-Adunarea numerelor rationale este comutativa a+b=b+a
-Elementul neutru pentru adunare este 0.
Pentru a intelege mai bine, pentru a ne reamintim cum se efectueaza adunarea numerelor rationale .O sa efectuam cateva exercitii:

1) Calculati
a) <br /> -\frac{3}{5}+0,2+\left(-\frac{6}{10}\right)+0,8=<br /> \\-\frac{3}{5}+\frac{2}{10}-\frac{6}{10}+\frac{8}{10}=<br /> \\-\frac{3}{5}+\frac{1}{5}-\frac{3}{5}+\frac{4}{5}=<br /> \\\frac{-3+1-3+4}{5}=\frac{-2+1}{5}=-\frac{1}{5}=0,2<br />
Ca sa rezolvam exercitiul de mai sus am transformat prima data cele doua fractii zecimale in fractii ordinare, adica 0,2=\frac{2}{10}, am invatat din clasa a V-a ca daca avem o fratie zecimala simpla si vrem sa o transformam in fratie ordinara scriem numarul la numarator iar la numitor 1 urmat de atatea zerourii cate cifre avem dupa numarul respectiv in cazul nostru un singur zerou pentru ca numarul este 0,2.

Dupa ce am transformat fractiile zecimale in fractii ordinare ,am facut cateva simplificari si am obtinut patru fractii cu acelasi numitor pe care le- am rezolvat astfel:

-am copiat numitorul iar numitorii i-am adunat, rezultatul obtinut l-am transformat in fractie zecimala (am impartit numaratorul la numitor).
Puteam sa rezolvam exercitiul si altfel, adica sa transformam fractiile ordinare in fractii zecimale si calculam.

b) -\frac{14}{32}+3,25+\frac{7}{16}-2\frac{5}{8}=<br /> \\-\frac{7}{16}+\frac{325}{100}+\frac{7}{16}-\frac{21}{8}=<br /> \\-\frac{7}{16}+\frac{13}{4}+\frac{7}{16}-\frac{21}{8}=<br /> \\\frac{1\cdot (-7)+4\cdot 13+1\cdot 7-2\cdot 21}{16}=<br /> \\\frac{-7+52+7-42}{16}<br /> \\\frac{10}{16}=\frac{5}{8}

Ca sa rezolvam exercitiul b, prima data am transformat fratiile zecimale in fractii ordinare si am simplificat pe unde s-a putut, pentru a ne simplifica calculul, iar apoi am adus la acelasi numitor (am gasit numitorul comun si apoi am amplificat fiecare fractie, numitorul il gasim astfel; luam toti numitorii si gasim cel mai mic multiplu comun al tuturor numerelor), si  calculam folosind regulile de calcul cu numere intregi.

c) <br /> 0,5-0,(6)-0,75+2,(3)=\frac{5}{10}-\frac{6}{9}-\frac{75}{100}+\frac{23-2}{9}=<br /> \\\frac{1}{2}-\frac{2}{3}-\frac{3}{4}+\frac{21}{9}=<br /> \\\frac{1}{2}-\frac{2}{3}-\frac{3}{4}+\frac{7}{3}=<br /> \\\frac{6\cdot 1-4\cdot 2-3\cdot3+4\cdot 7}{12}=\frac{6-8-9+28}{12}=\frac{-2+19}{12}=\frac{17}{12}=\frac{1}{3}=1\frac{5}{12}m

Am transformat fractiile zecimale simple si fractiile zecimale periodice in fractii ordinare, am simplificat pe unde s-a putut pentru a ne simplifica calculele (prima fractie am simplificat-o prin 5, doua fractie am simplificat-o prin 3, a treia fractie am simplificat-o prin 25, iar ultima fiind o fractie periodica mixta am simplificat-o prin 3), apoi am adus fractiile la acelasi numitor si am efectuat calculele, din rezultatul obtinut am scos intregii din fractie.