Unghiul a doua drepte in spatiu. Problema rezolvata.

Despre unghiul a doua drepte in spatiu am scris aici. Astazi vom incerca sa aprofundam printr-o problema rezolvata si explicata.

Exemplu:

Fie cubul ABCDA’B’C’D’, cu AB= 2 cm. Calculati cosinusul unghiului dintre dreptele A'B si DO, unde \left\{O\right\}=BC^{'}\cap B^{'}C.
cum aflam unghiul a doua drepte in spatiu

Pentra a afla unghiul celor doua drepte notam cu P intersectia diagonalelor bazei A’B’C’D’, adica fie A'C'\cap B'D'=\left\{P\right\}unghiul a doua drepte in spatiu
Observam ca O este mijlocul segmentului BC’, dar si P mijlocul segmentului A’C’, deci PO e linie mijlocie in triunghiul A’BC’. Conform Teoremei de la linia mijlocie stim ca PO||A’B si PO=\frac{A'B}{2}

Astfel obtinem ca cosinusul unghiului dintre cele doua drepte este:
\cos\left(\widehat{DO,A'B}\right)=
\cos\left(\widehat{DO, PO}\right)=
\cos\left(\widehat{DOP}\right)

Pentru a afla cosinusul unghiului stim ca trebuie sa avem triunghi dreptunghic.
Dar mai intai sa vedem ce fel de triunghi avem. Stim ca PO=\frac{A'B}{2}
Cum A’B este diagonala in patratul A’B’AB, obtinem ca A'B=l\sqrt{2}=2\sqrt{2}
Astfel obtinem PO=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}

Pentru a afla DO, observam ca DC'=BC'=DB=2\sqrt{2}( diagonale in patratele DD’CC’; BB’CC’; ABCD), astfel obtinem ca triunghiul DBC’ este echilateral si cum O este mijlocul lui BC’, obtinm ca DO este mediana si cu proprietatea de la triunghiul echilateral obtinem ca DO este si inaltime in triunghiul echilateral DBC’.

Stim ca inaltimea intr-un triunghi echilateral este \frac{l\sqrt{3}}{2}, adica DO=\frac{DC'\sqrt{3}}{2}=\frac{2\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}}{2}=\sqrt{6}\;\; cm
Acum pentru a afla DP, in triunghiul DD’P, dreptunghi in D’ aplicam Teorema lui Pitagora si obtinem DP^{2}=DD'^{2}+D'P^{2}\Rightarrow DP^{2}=2^{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}\Rightarrow DP^{2}=4+2\Rightarrow DP=\sqrt{6}

Observam ca DP=DO=\sqrt{6}, adica triunghiul DOP este isoscel de baza PO.

Acum, pentru a afla cosinusul unghiului, fie aplicam Teorema cosinusului, fie aplicam defintia care am invatat-o in claas a vii-a dar cu conditia sa avem triunghi dreptunghic.

Astfel cu Teorema cosinusului
DP^{2}=DO^{2}+PO^{2}-2\cdot DO\cdot PO\cdot\cos\left(\widehat{DOP}\right)\Rightarrow \left(\sqrt{6}\right)^{2}=\left(\sqrt{6}\right)^{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}-2\cdot \sqrt{2}\cdot\sqrt{6}\cdot\cos\left(\widehat{DOP}\right)
Adica 6-6-2= -2\cdot\sqrt{6}\cdot\sqrt{2}\cdot\cos\left(\widehat{DOP}\right)\Rightarrow \cos\left(\widehat{DOP}\right)=\frac{-2}{-2\sqrt{2}\cdot\sqrt{6}}=\frac{1}{\sqrt{12}}=\frac{\sqrt{12}}{12}=\frac{2\sqrt{3}}{12}^{(2}=\frac{\sqrt{3}}{6}

unghiul a doua drepte in spatiu
Acum pentru a afla cu notiunile din clasa a VII-a construim inaltimea din D pe PO, fie DM\perp PO, cum Triunghiul DMO dreptunghic in M si cum triunghiul DOP isoscel de baza PO, obtinem ca DM este si mediana, astfel obtinem MO=MP=\frac{PO}{2}\frac{\sqrt{2}}{2}, deci in triunghiul dreptunghic DOM in M \cos\left(\widehat{DOP}\right)=\frac{cateta.\;\; alaturata}{ipotenuza}=\frac{OM}{DO}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{2}}{2}:\frac{\sqrt{6}}{1}=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{6}}{2\cdot 6}=\frac{2\sqrt{3}}{12}=\frac{\sqrt{3}}{6}
unghiul a doua drepte in spatiu

Teza clasa a VIII model Semestrul I

                                                Lucrare scrisa la matematica pe semestrul I

Nume:
Prenume:

Subiectul I

1. Rezultatul calculului \left(2\sqrt{2}-1\right)^{2}+2\sqrt{8} este……

2. Daca multimea A=\left\{x\in N^{*}||\frac{2x-1}{3}|< 5\right\}, atunci cel mai mare numar natural din multimea A este…..

3. Media geometrica a numerelor  a=\frac{2}{\sqrt{3}+1}+3-\sqrt{3} si b=\frac{2}{\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}}+\left(2+\sqrt{2}\right)^{2} este egala cu ….

4. Scris sub forma de fractie ordinara ireductibila, numarul 0,08(3) este egal cu …

5. Rezultatul calculului 3\sqrt{48}-4\sqrt{12} este egal cu ….

6. Cubul ABCDA’B’C’D’ are muchia de lungime egala cu 8 cm.

a)  Determinati masura unghiului dintre dreptele AC si A’D’, m\left(\widehat{B'C, DC'}\right), precum si m\left(\widehat{AB',\left(ABC\right)}\right), \sin\left(\widehat{BD',\left(ABC\right)}\right)

b) Distanta de la punctul A’ la dreapta BC’

c) Lungimea diagonalei cubului

Subiectul II

1.a) Calculati \frac{20}{\sqrt{12}-\sqrt{2}}-\sqrt{6}\left(2\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)-|\sqrt{2}-2|

b)  Aratati ca numarul x=\left(\frac{2}{\sqrt{20}+3\sqrt{2}}\right)-|3\sqrt{2}-2\sqrt{5}|+\sqrt{\left(-4\right)^{2}} este este patrat perfect.

2. Fie E\left(x\right)=\left(x-1-\frac{x^{2}-1}{x+2}\right):\frac{x-1}{x+2}

a) Determinati valorile lui x pentru care expresia este bine definita

b) Aduceti expresia la forma cea mai simpla

c) Determinati valorile intregi a, pentru care \frac{6}{x+1}\cdot E(a) este numar intreg

3. Consideram tetraedrul ABCD de varf A, cu lungimea lui AB=8 cm

a) Calculati lungimea proiectiei segmentului AB pe planul (BCD)

b) Calculati distanta de la A la CD

c) Calculati distanta  de la A la planul (BCD)

d) Determinati sinusul unghiului dintre dreapta AB si planul (BCD)

Solutie:

1. Ca sa aflam rezultatul calculului folosim formulele de calcul prescurtat ar si scoaterea factorilor e sub radicali:

\left(2\sqrt{2}-1\right)^{2}+2\sqrt{8}=\left(2\sqrt{2}\right)^{2}-2\cdot 2\sqrt{2}\cdot 1+1^{2}+2\cdot 2\sqrt{2}=8-4\sqrt{2}+1+4\sqrt{2}=9

Deci rezultatul calculului este 9.

2. Ca sa aflam cel mai mare element al multimii, mai intai aflam carui interval apartine elementul x

|\frac{2x-1}{3}|<5\Rightarrow -5<\frac{2x-1}{3}<5|\cdot 3\Rightarrow -15\cdot 3<2x-1<15|+1\Rightarrow -15+1<2x-1+1<15+1\Rightarrow -14<2x<16|:2\Rightarrow -7<x<8

Ca sa rezolvam moului de mai sus am tinut cont de regula

|x|<a\Rightarrow -a<x<a

Iar la inegalitatea gasita, am inmultit cu 3 pentru a obtine o inegalitate cu numitorul 1, apoi am adunat cifra 1 pentru toata inegalitatea si nu in ultimul rand am impartit printr-un 2 si astfel am obtinut intervalul x\in \left(-7, 8\right), adica multimea, dar frara elementul 0, deoarece

x\in N^{*}

A=\left\{1,2, 3, 4, 5, 6, 7\right\}

Deci cel mai mare element al multimii este 7.

3. Ca sa calculam media geometrica a numerelor mai intai calculam numerele:

a=\frac{2}{\sqrt{3}+1}+3-\sqrt{3}=\frac{2\left(\sqrt{3}-1\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-1^{2}}+3-\sqrt{3}=\frac{2\left(\sqrt{3}-1\right)}{3-1}+3-\sqrt{3}=\sqrt{3}-1+3-\sqrt{3}=2

Acum calculam b

b=\frac{2}{\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}}+\left(2+\sqrt{2}\right)^{2}=\frac{2}{2+2\cdot \sqrt{2}\cdot 1+1^{2}}+4+2\cdot 2\cdot \sqrt{2}+2=\frac{2}{2+2\sqrt{2}+1}+6+4\sqrt{2}=\frac{2}{3+2\sqrt{2}}+6+4\sqrt{2}=\frac{2\left(3-\sqrt{2}\right)}{3^{2}-\left(2\sqrt{2}\right)^{2}}+6+4\sqrt{2}=\frac{6-4\sqrt{2}}{9-8}+6+4\sqrt{2}=6-4\sqrt{2}+6+4\sqrt{2}=6+6=12

Observati ca in cazul exercitiului de mai sus am folosit formulele de calcul prescurtat \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2\cdot a\cdot b+b^{2}, dar si rationalizarea  numitorilor de forma \sqrt{a}+b.

Iar media geometrica a numarelor este:

M_{g}=\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{2\cdot 12}=\sqrt{2\cdot 2^{2}\cdot 3}=2\sqrt{6}

Observati ca am scos factorii de sub radicali.

4. Cum transformam fractia zecimala in fractie ordinara 0,08(3)=\frac{83-8}{900}=\frac{75}{900}^{(15}=\frac{75:15}{900:15}=\frac{5}{60}^{(5}=\frac{5:5}{60:5}=\frac{1}{12}

Si am obtinut o fractie ordinara ireductibila.

5. Ca sa aflam rezultatul calculului mai intai scoatem factorii de sub radicali

3\sqrt{48}-4\sqrt{12}=3\sqrt{2^{2}\cdot 2^{2}\cdot 3}-4\sqrt{2^{2}\cdot 3}=3\cdot 2\cdot 2\sqrt{3}-4\cdot 2\sqrt{3}=12\sqrt{3}-8\sqrt{2}=4\sqrt{3}

 

Unghiul cu laturile paralele, unghiul a doua drepte in spatiu

Diagonala intr-un cub, masura unghiului dintre doua drepteDespre notiunea de unghi ati mai auzit inca din clasa a VI- a, dar astazi o sa vorbim despre unghiul a doua drepte in spatiu, unghiul cu laturile paralele.
Incepem printr-un exemplu simplu
1) Fie prisma triunghiulara regulata dreapta ABCA’B’C’. Determinati masurile unghiurile dintre dreptele:
a) AC si B’C’
b) A’B’ si CC’
uNGHIUL A DOUA DREPTE
a)<br /> m(\prec AC, B'C')=m(\prec AC, BC)=m(\prec ACB)=60^{0}<br /> \\B'C'|| BC</p> <p>
Ca sa aflam unghiul dintre cele doua drepte trebuie sa gasim una dintre cele doua drepte care sa fie paralela cu cealalta astfel incat sa putem forma un unghi, in cazul nostru am luat B’C’ care este paralela BC si astfel forman unghiul ACB, unghiul dintre dreapta AC si dreapta pe care am gasit-o este ACB, dar putem sa luam si dreapta AC care este paralela cu A’C’ si astfel gasim unghiul A’C’B’. Stiind ca baza piramidei este este un triunghi echilateral gasim ca masura unghiului este de 60^{0}.
<br /> b) m(\prec A'B' CC')=m(\prec A'B' AA')=m(\prec B'A'A)= 90^{0}<br /> \\CC'|| AA'<br />
Gasim dreapta CC’ paralela cu AA’ si astfel am gasit si unghiul B’A’A care este de 90^{0} deoarece AA’BB’ dreptunghi am invatat de la prisma triunghiulara ca fetele laterale sunt dreptunghiuri.

Deci definim unghiul a doua drepte astfel:
Prin unghiul a doua drepte in spatiu intelegem orice unghi ascutit sau drept cu varful in orice punct al planului si cu laturile respectiv paralele cu dreptele date.

Unghiul cu laturile respectiv paralele
<br /> a||a'<br /> \\b||b'<br /> a'\cap b'={O}<br /> m(\prec( a,b))=m(\prec AOB)<br />
Obs:Daca dreptele a si b sunt paralele atunci m(\prec (a,b))= 0^{0}
Pentru orice doua drepte din spatiu a si b  0^{0}\leq m(\prec (a,b))\leq 90^{0}

Calculam si masura pentru alte drepte:

2) Cubul ABCDA’B’C’D’are AB=8 cm. Calculati masurile unghiurilor formate de dreptele:
a) BC’ cu AC
b) BA’ cu DC
c) BC’ cu D’O unde  AC\cap BD={0}

Unghiul a doua drepte intr-un cub
<br /> m(\prec BC', AC)=m(\prec BC', A'C')=m(\prec BC'A')=60^{0}<br /> \\AC||A'C'
Masura unghiului este de 60^{0}, deoarece triunghiul BC’A’ este echilateral, formam un triunghi echilateral din cele trei diagonale a celor trei fete ale cubului.
Unghiul dintre doua drepte

\\m(\prec BA' DC)=m(\prec BA', AB)=m(\prec A'BA)=45^{0}<br /> \\DC|| AB<br />
Obtinem masura unghiului de 45^{0}, deoarece triunghiul A’BA este dreptunghic isoscel.
Unghiul a doua drepte in spatiu
c)  m(\prec BC' D'O)=m(\prec AD', D'O)=m(\prec AD'O)=30^{0}.<br /> \\BC'||AD'<br />
In \Delta DD'O dreptunghic in D aplicam teorema lui Pitagora D'O^{2}=DD'^{2}+DO^{2}\Rightarrow D'O^{2}=64+32\Rightarrow D'O^{2}=96\Rightarrow D'O=\sqrt{96}\Rightarrow D'O=4\sqrt{6}.
In  \Delta AD'O, calculam AO=\frac{l\sqrt{2}}{2}=\frac{8\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}, AD'=l\sqrt{2}=8\sqrt{2}, D'O=4\sqrt{6}, iar daca aplicam reciproca lui Pitagora obtinem ca triunghiul AD’O dreptunghic in m(\prec D'OA)=90^{0}.Triunghiul AD’O fiind dreptunghic putem sa aplicam functiile trigonometrice ca sa aflam masura unghiului, deci in triunghiul AD’O aplicam sin (\prec AD'O)=\frac{AO}{AD'}=\frac{4\sqrt{2}}{8\sqrt{2}}\frac{1}{2}=30^{0} sau aplicam teorema  30^{0}-60^{0}-90^{0}.

Deci e important tot timpul la unghiul a doua drepte in spatiu este sa gasim o dreapta paralela care sa ne ajute.