Piramida triunghiulara regulata

Sa invatam despre Piramida triunghiulara regulata  printr-o rezolvare !

2. Fie piramida triunghiulara regulata SABC cu h=4 cm si volumul = 36√3 . Aflati :

a) latura bazei si aria laterala a piramidei
b) tangenta unghiului format de muchia SA cu planul bazei
c) distanta de la punctul O la planul (SBC)

Demonstratie:

a) Stim ca intr-o piramida triunghiulara regulata volumul este :

V=\frac{A_{b}\cdot h}{3}\Rightarrow 36\sqrt{3}=\frac{A_{b}\cdot 4}{3}\Rightarrow A_{b}\cdot 4=36\sqrt{3}\cdot 3\Rightarrow A_{b}=\frac{36\sqrt{3}\cdot 3}{4}^{(4}\Rightarrow A_{b}=9\sqrt{3}\cdot 3\Rightarrow A_{b}=27\sqrt{3}\;\; cm

Dar cum stim ca baza piramidei triunghiulare regulate este un triunghi echilateral obtinem A_{b}=\frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}

Astfel obtinem: \frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}=27\sqrt{3}\Rightarrow l^{2}\sqrt{3}=4\cdot 27\sqrt{3}\Rightarrow l^{2}=27\cdot 4\Rightarrow l=\sqrt{108}=6\sqrt{3}\;\; cm

Deci obtinem ca latura patratului este l=6\sqrt{3}
unghiul unei drepte cu un plan Stim ca A_{l}=\frac{P_{b}\cdot a_{p}}{2}
Stim ca P_{b}=3\cdot l=3\cdot 6\sqrt{3}=18\sqrt{3}
Acum trebuie sa aflam si apotema piramidei, astfel stim ca a_{p}^{2}=a_{b}^{2}+h^{2}

Dar stim ca a_{b}=\frac{l\sqrt{3}}{6}=\frac{6\sqrt{3}\sqrt{3}}{6}=3

Deci cu informatile de mai sus avem ca: a_{p}^{2}=3^{2}+4^{2}\Rightarrow a_{p}^{2}=9+16\Rightarrow a_{p}=\sqrt{25}\Rightarrow a_{p}=5
Astfel obtinem ca A_{l}=\frac{18\sqrt{3}\cdot 5}{2}=9\sqrt{3}\cdot 5=45\sqrt{3}\;\; cm^{2}

b) \tan\left(\widehat{SA,(ABC)}\right)
Pentru a afla unghiul unei drepte cu un plan trebuie sa calculam
pr_{(ABC)}SA adica proiectia dreptei SA pe planul ABC
Asftel aflam mai intai: pr_{(ABC)}S=O
Dar si pr_{(ABC)}A=A
Astfel obtinem: pr_{(ABC)}SA=AO
Si obtinem: \tan\widehat{\left(SA,(ABC)\right)}=\tan\widehat{\left(SA, AO\right)}=\tan\widehat{SAO}

Cu triunghiul SAO este dreptunghic aplicam:
\tan\widehat{SAO}=\frac{cateta. opusa}{cateta. alaturata}=\frac{SO}{AO}=\frac{4}{6}^{(2}=\frac{2}{3}
Unde AO=\frac{l\sqrt{3}}{3}=\frac{6\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{3}=\frac{6\cdot 3}{3}=6
unghiul unei drepte cu un plan
Formulele pe care le-am enutat mai sus trebuie retiunte.

c) d\left(O,(SBC)\right)
Distanta de un punct la un plan este piciorul perpendicularei din punctul dat pe plan.
Observam ca OM\perp BC
Dar si SM\perp BC
Deci obtinem BC\perp (SMO)
Acum construim perpendiculara din O pe SM, adica, fie OD\perp SM, unde SM\subset (SBC)

Si cu Reciproca celor Trei perpendiculare obtinem: OD\perp (SBC)
Observam ca triunghiul SOM este dretunghic, deci cu Teorema inaltimii obtinem:

OD=\frac{OS\cdot OM}{SM}=\frac{4\cdot 3}{5}=\frac{12}{5}=2,4\;\; cm
distanta de la un punct la un plan

Teza clasa a VIII model Semestrul I

                                                Lucrare scrisa la matematica pe semestrul I

Nume:
Prenume:

Subiectul I

1. Rezultatul calculului \left(2\sqrt{2}-1\right)^{2}+2\sqrt{8} este……

2. Daca multimea A=\left\{x\in N^{*}||\frac{2x-1}{3}|< 5\right\}, atunci cel mai mare numar natural din multimea A este…..

3. Media geometrica a numerelor  a=\frac{2}{\sqrt{3}+1}+3-\sqrt{3} si b=\frac{2}{\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}}+\left(2+\sqrt{2}\right)^{2} este egala cu ….

4. Scris sub forma de fractie ordinara ireductibila, numarul 0,08(3) este egal cu …

5. Rezultatul calculului 3\sqrt{48}-4\sqrt{12} este egal cu ….

6. Cubul ABCDA’B’C’D’ are muchia de lungime egala cu 8 cm.

a)  Determinati masura unghiului dintre dreptele AC si A’D’, m\left(\widehat{B'C, DC'}\right), precum si m\left(\widehat{AB',\left(ABC\right)}\right), \sin\left(\widehat{BD',\left(ABC\right)}\right)

b) Distanta de la punctul A’ la dreapta BC’

c) Lungimea diagonalei cubului

Subiectul II

1.a) Calculati \frac{20}{\sqrt{12}-\sqrt{2}}-\sqrt{6}\left(2\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)-|\sqrt{2}-2|

b)  Aratati ca numarul x=\left(\frac{2}{\sqrt{20}+3\sqrt{2}}\right)-|3\sqrt{2}-2\sqrt{5}|+\sqrt{\left(-4\right)^{2}} este este patrat perfect.

2. Fie E\left(x\right)=\left(x-1-\frac{x^{2}-1}{x+2}\right):\frac{x-1}{x+2}

a) Determinati valorile lui x pentru care expresia este bine definita

b) Aduceti expresia la forma cea mai simpla

c) Determinati valorile intregi a, pentru care \frac{6}{x+1}\cdot E(a) este numar intreg

3. Consideram tetraedrul ABCD de varf A, cu lungimea lui AB=8 cm

a) Calculati lungimea proiectiei segmentului AB pe planul (BCD)

b) Calculati distanta de la A la CD

c) Calculati distanta  de la A la planul (BCD)

d) Determinati sinusul unghiului dintre dreapta AB si planul (BCD)

Solutie:

1. Ca sa aflam rezultatul calculului folosim formulele de calcul prescurtat ar si scoaterea factorilor e sub radicali:

\left(2\sqrt{2}-1\right)^{2}+2\sqrt{8}=\left(2\sqrt{2}\right)^{2}-2\cdot 2\sqrt{2}\cdot 1+1^{2}+2\cdot 2\sqrt{2}=8-4\sqrt{2}+1+4\sqrt{2}=9

Deci rezultatul calculului este 9.

2. Ca sa aflam cel mai mare element al multimii, mai intai aflam carui interval apartine elementul x

|\frac{2x-1}{3}|<5\Rightarrow -5<\frac{2x-1}{3}<5|\cdot 3\Rightarrow -15\cdot 3<2x-1<15|+1\Rightarrow -15+1<2x-1+1<15+1\Rightarrow -14<2x<16|:2\Rightarrow -7<x<8

Ca sa rezolvam moului de mai sus am tinut cont de regula

|x|<a\Rightarrow -a<x<a

Iar la inegalitatea gasita, am inmultit cu 3 pentru a obtine o inegalitate cu numitorul 1, apoi am adunat cifra 1 pentru toata inegalitatea si nu in ultimul rand am impartit printr-un 2 si astfel am obtinut intervalul x\in \left(-7, 8\right), adica multimea, dar frara elementul 0, deoarece

x\in N^{*}

A=\left\{1,2, 3, 4, 5, 6, 7\right\}

Deci cel mai mare element al multimii este 7.

3. Ca sa calculam media geometrica a numerelor mai intai calculam numerele:

a=\frac{2}{\sqrt{3}+1}+3-\sqrt{3}=\frac{2\left(\sqrt{3}-1\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-1^{2}}+3-\sqrt{3}=\frac{2\left(\sqrt{3}-1\right)}{3-1}+3-\sqrt{3}=\sqrt{3}-1+3-\sqrt{3}=2

Acum calculam b

b=\frac{2}{\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}}+\left(2+\sqrt{2}\right)^{2}=\frac{2}{2+2\cdot \sqrt{2}\cdot 1+1^{2}}+4+2\cdot 2\cdot \sqrt{2}+2=\frac{2}{2+2\sqrt{2}+1}+6+4\sqrt{2}=\frac{2}{3+2\sqrt{2}}+6+4\sqrt{2}=\frac{2\left(3-\sqrt{2}\right)}{3^{2}-\left(2\sqrt{2}\right)^{2}}+6+4\sqrt{2}=\frac{6-4\sqrt{2}}{9-8}+6+4\sqrt{2}=6-4\sqrt{2}+6+4\sqrt{2}=6+6=12

Observati ca in cazul exercitiului de mai sus am folosit formulele de calcul prescurtat \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2\cdot a\cdot b+b^{2}, dar si rationalizarea  numitorilor de forma \sqrt{a}+b.

Iar media geometrica a numarelor este:

M_{g}=\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{2\cdot 12}=\sqrt{2\cdot 2^{2}\cdot 3}=2\sqrt{6}

Observati ca am scos factorii de sub radicali.

4. Cum transformam fractia zecimala in fractie ordinara 0,08(3)=\frac{83-8}{900}=\frac{75}{900}^{(15}=\frac{75:15}{900:15}=\frac{5}{60}^{(5}=\frac{5:5}{60:5}=\frac{1}{12}

Si am obtinut o fractie ordinara ireductibila.

5. Ca sa aflam rezultatul calculului mai intai scoatem factorii de sub radicali

3\sqrt{48}-4\sqrt{12}=3\sqrt{2^{2}\cdot 2^{2}\cdot 3}-4\sqrt{2^{2}\cdot 3}=3\cdot 2\cdot 2\sqrt{3}-4\cdot 2\sqrt{3}=12\sqrt{3}-8\sqrt{2}=4\sqrt{3}

 

Probleme rezolvate pentru Evaluarea Nationala Matematica

Subiectul III
1. In figura alaturata este reprezenata schematic o gradina in forma de trapez dreptunghic ABCD, cu AB||CD si m\left(\widehat{A}\right)=90^{0} si AB=40 m. Se stie ca triunghiul ABC este echilateral.
problema rezolvata cu trapezul dreptunghic
a) Aflati lungimea gardului care inconjoara gradina
b) Calculati suprafata gradinii
c) Determinati distanta AE, unde E\in\left(AB\right) astfel incat parcelele AECD si BCE sa aiba suprafetele egale.
2. Un cort din panza are forma de piramida triunghiulara regulata, avand ca baza triunghiul echilateral ABC cu latura de 3 m si cu inaltimea VO de 1 m.
a) Determinati masura unghiului dintre drepata VA si planul (ABC)
b) Calculati aria laterala a piramidei
c) Cati metri patrati de panza sunt necesari pentru confectionarea cortului, stiind ca in acest proces se pierde 10% din panza utilizata?( Pentru \sqrt{7} se va folosi valoarea aproximativa \sqrt{7}\approx 2,64).
Demonstratie:
1. a) Stim ca AB=40 m, si mai stim tot din ipoteza problemei ca triunghiul ABC este isoscel, deci gasim ca AB=AC=BC=40 m.
Si astfel daca ducem perpendiculara din C pe AB putem afla inaltimea trapezului si astfe stim si AD.
Astfel fie
CF\perp AB, si cum triunghiul ABC este echilateral, rezulta ca CE este inaltime in trighiul echilateral ABC, stim ca inaltimea intr-un triunghi echilateral este h_{\Delta echilateral}=\frac{l\sqrt{3}}{2}=\frac{40\sqrt{3}}{2}=20\sqrt{3}.
Observam ca ADCF este dreptunghi si astfel obtinem ca AD=CF=20\sqrt{3}, dar si DC=AF.
Acum mai avem sa aflam DC, observati ca am dus perpendiculara din C pe AB si astfel observam ca triunghiul BCF este dreptunghic in F. Acum daca aplicam Teorema lui Pitagora putema afla BF, astfel avem ca:
BF^{2}=BC^{2}-CF^{2}\Rightarrow BF^{2}=40^{2}-\left(20\sqrt{3}\right)^{2}\Rightarrow BF^{2}=1600-400\cdot 3\Rightarrow BF^{2}=1600-1200\Rightarrow BF=\sqrt{400}\Rightarrow BF=20
Cum stim BF=20, putem afla AF, astfel avem ca
AB=AF+FB\Rightarrow 40=AF+20\Rightarrow AF=20
Deci AF=20 m
Si cum stim AF, am aflat si DC=AF=20 cm.
Putema sa aflam AF si astfel stim ca CF este inaltime in triunghiul echilateral ABC, dar stim de la proprietatile triunghiului echilateral ca: Intr-un triunghi echilateral medianele, mediatoarele, bisectoarele si inaltimile coincid, deci stim ca CF este inaltime dar si mediana si astfel obtinem ca CF imparte segmentul AB in oua segmente congruente.
Deci AF=FB=20 m.
Deci lungimea gardului care inconjoara gradina este:
P_{ABCD}=AB+BC+CD+AD=40+40+20+20\sqrt{3}=100+20\sqrt{3}=20\left(5+\sqrt{3}\right)
Ca sa calculam suprafata gradinii, calculam aria trapezului, astfel avem ca
A_{ABCD}=\frac{\left(B+B\right)\cdot h}{2}=\frac{\left(40+20\right)\cdot 20\sqrt{2}}{2}=\frac{60\cdot 20\sqrt{3}}{2}=\frac{1200\sqrt{3}}{2}=600\sqrt{3}\;\; m^{2}
cum calculam aria unui trapez dreptunghic
c) Stim din ipoteza ca A_{AECD}=A_{BCD}\Rightarrow \frac{\left(B+b\right)\cdot h}{2}=\frac{b\cdot h}{2}\Rightarrow \frac{\left(DC+AE\right)\cdot AD}{2}=\frac{EB\cdot CF}{2}\Rightarrow \frac{\left(20+AE\right)\cdot 20\sqrt{3}}{2}=\frac{BE\cdot 20\sqrt{3}}{2}\Rightarrow 20+AE=BE
Dar stim ca BE=AB-AE\Rightarrow BE=40-AE
Si daca inlocuim mai sus 20+AE=40-AE\Rightarrow 2AE=40-20\Rightarrow 2AE=20\Rightarrow AE=10\;\; m
probleme rezolvate cu trapezul dreptunghic
2. um calculam unghiul unei drepte cu un plan
a) m\left(\widehat{VA,\left(ABC\right)}\right)=m\left(\widehat{VA, AO}\right)=m\left(\widehat{VAO}\right)
Observam ca proiectia dreptei VA pe planul ABC este dreapta AO, acum sa aflam masura unghiului VAO, stim ca VO=1 m, triunghiul VAO este dreptunghic in O, putem afla AO, astfel avem ca
AO=\frac{l\sqrt{3}}{3}=\frac{3\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}
Deci putem afla acum si lungimeasegmentului VA, astfel in triunghiul VAO aplicam Teorema lui Pitagora,
VA^{2}=VO^{2}+AO^{2}\Rightarrow VA^{2}=1^{2}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}\Rightarrow VA=\sqrt{1+3}\Rightarrow VA=\sqrt{4}=2
Acum daca aplicam Functiile trigonometrice obtinem ca:
\sin VAO=\frac{VO}{VA}=\frac{1}{2}
Deci masura unghiului VAO este de m\left(\widehat{VAO}\right)=30^{0}
b) Acum sa calculam aria laterala a piramidei triunghiulare regulate.
A_{l}=\frac{P_{b}\cdot a_{p}}{2}
Dar mai intai sa aflam perimetrul bazei triunghiului ABC, astfel avem:
P_{ABC}=3\cdot l=3\cdot 3=9 m
Dar sa aflam si apotema piramidei
a_{p}^{2}=h^{2}+a_{b}^{2}
Dar mai intai sa aflam apotema bazei
a_{b}=\frac{l\sqrt{3}}{6}=\frac{3\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}
Astfel avem ca
a_{p}^{2}=1^{2}+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\Rightarrow a_{p}^{2}=1+\frac{3}{4}\Rightarrow a_{p}^{2}=\frac{4\cdot 1+1\cdot 3}{4}\Rightarrow a_{p}^{2}=\frac{7}{4}\Rightarrow a_{p}=\frac{\sqrt{7}}{2}
Astfel A_{l}=\frac{9\cdot \frac{\sqrt{7}}{2}}{2}=\frac{9\sqrt{7}}{4}\;\; m^{2}
c) Din punctul b) stim aria laterala a cortului deci avem
A_{l}=\frac{9\sqrt{7}}{4}=\frac{9\cdot 2,64}{4}=\frac{23,76}{4}=5,94\;\; m^{2}
Dar stim ca pentru confectionarea cortului se pierde 10% din material, iar noi trebuie sa stim intreaga suprafata de material care trebuie pentru a construii cortul, astfel notam cu x intreaga suprafata de material si obtinem:
x-\frac{10}{100}x=5,94\Rightarrow x-\frac{1}{10}x=5,94\Rightarrow \frac{10\cdot x-1\cdot 1}{10}=5,94\Rightarrow \frac{9x}{10}=5,94\Rightarrow 9x=10\cdot 5,94\Rightarrow 9x=59,4\Rightarrow x=59,4:9\Rightarrow x=6,6\;\; m^{2}
Deci sunt necesari 6,6 mp pentru confectionarea cortului.

Problema rezolvata Unghiul unei drepte cu un plan

Prezentam inca o Problema rezolvata Unghiul unei drepte cu un plan

Triunghiul dreptunghic ABC are ipotenuza BC inclusa in planul \alpha, a\notin \alpha. Stiind ca BC=12\sqrt{6} si AB=12\sqrt{2} cm si ca unghiul format de dreapta AB cu planul \alpha este de 45^{0}, aflati:

a) unghiul format de dreapta AC cu planul \alpha

b) perimetrul triunghiului A’BC, unde A’ este proiectia punctului A pe planul \alpha

Demonstratie

Cum aflam unghiul unei drepte cu un plan

Stim ca triunghiul ABC este dreptunghic, din ipoteza mai stim BC si AB, astfel cu Teorema lui Pitagora calculam AC, astfel AC^{2}=BC^{2}-AB^{2}\Rightarrow AC^{2}=\left(12\sqrt{6}\right)^{2}-\left(12\sqrt{2}\right)^{2}\Rightarrow AC^{2}=144\cdot 6-144\cdot 2\Rightarrow AC=\sqrt{144\cdot\left(6-2\right)}\Rightarrow AC=\sqrt{144\cdot 4}\Rightarrow AC=12\cdot 2\Rightarrow AC=24 cm
Din ipoteza mai stim ca unghiul format de dreapta AB cu planul \alpha este de 45^{0} .Astfel stim ca unghiul format de o dreapta cu un plan este unghiul format de dreapta cu proiectia ei pe plan, si mai stim si ca proiectia unei drepte pe un plan poate fi o dreapta in cazul in care dreapta nu este perpendiculara pe plan sau un punct in cazul in care dreapta este perpendiculara pe plan, in cazul nostru
Fie
AA'\perp \alpha,\\BC\subset\alpha, A'\in \alpha
Stim acum ca
\prec\left(AB,\alpha\right)=\prec\left(AB, A'B\right)=\prec\left(ABA'\right)
Acum aflam
\prec\left(AC,\alpha\right)=\prec\left(AC, CA'\right)=\prec\left(ACA'\right),
Acum trebuie sa aflam masura unghiului. Stim ca triunghiul ACA’ este dreptunghic in A’, stim ca unghiul ABA’ are masura de 45^{0}, astfel daca aplicam

\sin ABA'=\frac{cat. opusa }{ipotenuza}\Rightarrow \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{AA'}{AB}\Rightarrow \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{AA'}{12\sqrt{2}}\Rightarrow AA''=\frac{12\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}{2}\Rightarrow AA'=12 cm.

Iar daca in triunghiul AA’C dreptunghic aplicam \sin \prec ACA'=\frac{AA'}{AC}=\frac{12}{24}=\frac{1}{2}=30^{0}.
Deci unghiul format de dreapta AC cu planul \alpha este de 30 de grade.
b) P_{\Delta A'BC}=?

Cum BC=12\sqrt{6} cm din ipotenuza

Acum trebuie sa aflam  A’B si A’C.

Astfel  in triunghiul ABA’ dreptunghic in A’ aplicam Teorema lui Pitagora

A'B^{2}=AB^{2}-AA'^{2}\Rightarrow A'B^{2}=\left(12\sqrt{2}\right)^{2}-12^{2}\Rightarrow A'B^{2}=288-144\Rightarrow A'B=\sqrt{144}\Rightarrow A'B=12 cm

Iar in triunghiul ACA’ dreptunghic in A’ aplicam cos ACA’

\cos ACA'=\frac{cat.alaturata}{ipotenuza}\Rightarrow \cos 30^{0}=\frac{CA'}{AC}\Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{CA'}{24}\Rightarrow CA'=\frac{24\cdot\sqrt{3}}{2}\Rightarrow CA'=12\sqrt{3}

Deci cum stim toate lungimile laturilor calculam perimetrul triunghiului

P_{\Delta A'BC}=A'B+A'C+BC=

12+12\sqrt{3}+12\sqrt{6}

=12\left(1+\sqrt{3}+\sqrt{6}\right).

 

Unghiul unei drepte cu un plan Lungimea proiectiei unui segment

Dupa ce am invatat despre unghiul a doua drepte in spatiu si despre proiectia unei drepte pe un plan, dar si proiectia unui punct pe un plan, astazi o sa vorbim despre unghiul unei drepte cu un plan, am amintit si de proiectia unei drepte pe un plan pentru ca o sa ne ajute sa intelegem cum calculam unghiul unei drepte cu un plan.

Def: Unghiul unei drepte cu  un plan este unghiul format de dreapta cu proiectia ei pe plan (in cazul in care dreapta nu este perpendiculara pe plan si nici paralela cu el).cum aflam unghiul unei drepte cu un plan

m\left(\prec\left(d, \alpha\right)\right)=m\left(\prec\left(d, d'\right)\right)=u^{0}.

Obs: Daca dreapta este perpendiculara pe  plan, atunci masura  unghiul format de dreapta cu proiectia ei pe plan este de 90^{0}.

Daca dreapta este paralela cu planul, atunci masura unghiul format de dreapta cu proiectia ei pe plan este de 0^{0}.

Masura  unghiului  unei drepte cu un plan este cuprins intre 0^{0} si 90^{0}.

Unghiul unei drepte cu un plan are masura cea mai mica dintre unghiurile  format de dreapta cu  toate dreptele planului respectiv.

Prezentam un exemplu pentru a intelege cea ce am spus mai sus:

1) Se da cubul ABCDA’B’C’D’  cu muchia AB=8 cm. Aflati:

a) m\left(\prec \left(CC',\left(ABC\right)\right)\right)

b) m\left(\prec \left(AD',\left(ABC\right)\right)\right)

c)m\left(\prec \left(BC',\left(ADD'\right)\right)\right)

d) sinusul unghiului format de dreapta AC’ cu planul (A’B’C’)

e) distanta de la B’ la dreapta AC

f) tangenta unghiului formata de dreapta AB’ cu planul (BDD’)

g) masura unghiului format de dreaptele BC’ si CD’

Dem:

Unghiul unei drepte cu un plan

 

 

a) Astfel calculam mai intai pr_{ABC} CC'

Astfel mai intai calculam:

pr_{ABC} C=C

Dar si

pr_{ABC}C'=B

m\left(\prec \left(CC',\left(ABC\right)\right)\right)=m\left(\prec CC',BC\right)=m\left(\prec BCC'\right)=90^{0}

deoarece pr_{\left(ABC\right)} CC'=BC, dar si din faptul ca dreapta CC’ este perpendiculara pe planul (ABC), daca dreapta este perpendiculara pe plan, atunci masura unghiului este de 90 de grade.

b) m\left(\prec \left(AD',\left(ABC\right)\right)\right)

unghiul format de dreapta AD' cu planul (ABC)

 

 

 

 

 

Calculam mai intai pr_{ABC} AD'

Astfel mai intai calculam pr_{(ABC)} A=A

Dar si pr_{(ABC)} D'=D

Astfel obtinem pr_{(ABC)} AD'=AD

si astfel obtinem:

m\left(\prec \left(AD',\left(ABC\right)\right)\right)=m\left(\prec\left(AD', AD\right)\right)=m\left(\prec D'AD\right)=45^{0}.

c) m\left(\prec \left(BC',\left(ADD'\right)\right)\right)=0^{0}

unghiul unei drepte cu un plan

 

Observam ca BC’|| AD’, stim ca daca o dreapta este paralela cu o dreapta dintr-un plan, atunci dreapta este paralela cu planul deci BC’||(ADD’) si dupa cum am spus si la observatii daca dreapta este paralela cu planul atunci masura unghiului este de 0 grade.

 

d) sinusul unghiului format de dreapta AC’ cu planul (A’B’C’)

sinusul unghiului dintre o dreapta si un plan

 

\sin \left(\prec AC', \left(A'B'C'\right)\right)=\sin\left(\prec AC', A'C'\right)=\sin\prec AC'A'=\frac{cat.opusa}{ipotenuza}=\frac{AA'}{AC'}=\frac{8}{8\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}.

 

e) distanta de la B’ la dreapta AC

d\left(B', AC\right)=AO

distanta de la un punct la o dreapta

 

Stim ca distanta de la un punct la o dreapta este piciorul perpendicularei din punctul dat pe dreapta  BO perpendiculara pe drapta AC, astfel  stim ca BO=\frac{l\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2} deoarece este jumatate din diagonala patratului BB’=8 si astfel in triunghiul BB’ O  dreptunghic in B’BO aplicam teorema lui Pitagora:

\Rightarrow B'O^{2}=96\Rightarrow B'O=\sqrt{96}\Rightarrow B'O=4\sqrt{6}.
f)  tangenta unghiului formata de dreapta AB’ cu planul (BDD’)

\tan\left(\prec AB', \left(BDD'\right)\right)

tangenta uei drepte cu un plan

pr_{\left(BDD'\right)}AB'=B'O

\tan\left(\prec AB', \left(BDD'\right)\right)=\tan\prec\left(AB' B'O\right)=\tan\prec AB'O=\frac{cat.opusa}{cat. alaturata}

 

Stim ca AO=\frac{l\sqrt{2}}{2}=\frac{8\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}

 

 

si  AB'=l\sqrt{2}=8\sqrt{2},

 

deoarece AB diagonala in patratul ABA’B’, stim ca B'O=4\sqrt{6}

Iar daca aplicam reciproca lui Pitagora observam ca triunghiul AOB’ este dreptunghic in O

unghiul unei drepte cu un plan

 

\tan\prec AB'O=\frac{AO}{B'O}=\frac{4\sqrt{2}}{4\sqrt{6}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}.
Lungimea proiectiei unui segment
Teorema Lungimea proiectiei unui segment pe un plan este egala cu produsul dintre lungimea segmentului si cosinusul unghiului dintre dreapta suport a segmentului si dreapta respectiva.
cum calculam lungimea proiectiei unui segment

 

A'B'=AB\cdot\cos u