Problema rezolvata unghiuri 1

O problema rezolvata ,cu unghiuri

1) Daca [OB\subset Int\left(\prec AOD\right)

,[OC \subset Int\left(\prec BOD\right),

m \left(\prec AOC\right)=x+72^{0}, m\left(\prec BOD\right)=2x+53^{0} , m\left( \prec AOD\right) =150^{0} si m\left(\prec BOC\right)=2x,aflati  masurile unghiurilor AOB si COD.

Solutie

masurile unghiurilor

Mai Intai observam ca suma masurilor tuturor  unghiurilor este  de 150 grade.

Deci :

m\left(\prec AOD\right)=m\left(\prec AOB\right)+m\left(\prec BOC\right)+m\left(\prec COD\right)

Si gasim :

150^{0}=m\left(\prec AOB\right)+m\left(\prec BOC\right)+    m\left(\prec COD\right)(*)

Dar observam ca masura unghiului AOB nu o stim si astfel scriem :

 

m\left(\prec AOC\right)=m\left(\prec AOB\right)+m\left(BOC\right)    x+72^{0}=m\left(\prec AOB\right)+2x\Rightarrow m\left(\prec AOB\right)=x+72^{0}-2x(**)

Si ca sa aflam masura unghiului COD scriem:

m\left(\prec BOD\right)=m\left(BOC\right)+m\left(\prec COD\right)\Rightarrow  2x+53^{0}=2x+m\left(COD\right)\Rightarrow  m\left(\prec COD\right)=2x+53^{0}-2x\Rightarrow  m\left(\prec COD\right)=53^{0}

Acum daca inlocuim in (*) obtinem
150^{0}=x+72^{0}-2x+2x+53^{0}\Rightarrow  150^{0}=x+72^{0}+53^{0}\Rightarrow  150^{0}=x+125^{0}\Rightarrow  150^{0}-125^{0}=x^{0}\Rightarrow  x=25^{0}.
Astfel daca inlocuim (**) obtinem:

m\left(\prec AOB\right)=x+72^{0}-2x  \Rightarrow m\left(\prec AOB \right)=25+72^{0}-2\cdot 25^{0}\Rightarrow m\left(\prec AOB\right)=97^{0}-50^{0}\Rightarrow m\left(\prec AOB\right)=47^{0}

Astfel efectuam proba pentru a vedea daca am rezolvat corect

Stim ca suma masurii tuturor unghiurilor este de 150 de grade, astfel daca adunam masurile a toate unghiurilor

150^{0}=47^{0}+50^{0}+53^{0}\Rightarrow 150^{0}=97^{0}+53^{0}\Rightarrow 150^{0}=150^{0}\;\; \left(A\right)

 

cand douaunghiuri sunt complementare

Unghiuri adiacente, bisectoarea unui unghi, unghiuri suplementare si unghiuri complementare

Sa intelegem notiunile de unghiuri adiacente, unghiuri suplementare, unghiuri complementare si bisectoarea unui unghi. Incepem prin a defini notiunea de unghiuri adiacente, astfel:

Unghiuri adiacente

Def: Doua unghiuri proprii (unghiurile care nu sunt alungite si nu sunt nici nule)se numesc adiacente daca au o latura comuna si interioarele disjuncte (diferite, adica nu au aceiasi masura).

cand doua unghiuri sunt adiacente

Bisectoarea unui unghi

Def: Se numeste bisectoarea unui unghi, semidreapta cu originea in varful unghiului si care imparte unghiul in doua unghiuri congruente.

cum rezolvam problemele cu bisectoare
Unghiuri suplementare

Def: Doua unghiuri se numesc suplementare daca suma masurilor lor este egala cu 180^{0}.

cand doua unghiuri sunt suplementare
Unghiuri complementare

Def: Doua unghiuri se numesc complementare daca suma masurilor lor este egala cu 90^{0}.
cand douaunghiuri sunt complementare
Problema rezolvata pentru a intelege mai bine !

1) Unghiurile \prec AOB si \prec BOC sunt doua unghiuri adiacente si complementare. Aflati masurile lor stiind ca m\left(\prec AOB\right)=5 \cdot m\left(\prec BOC\right).

Solutie

Stim ca cele doua unghiuri sunt adiacente si complementare, deci scriem m\left(\prec AOB\right)+m\left(\prec BOC\right)= 90^{0}
Mai stim si ca m\left(\prec AOB\right)=5\cdot m\left(\prec BOC\right).
Inlocuind in prima relatie obtinem  5\cdot m\left(\prec BOC\right)+m\left(\prec BOC\right)=90^{0}\Rightarrow 6m\left(\prec BOC\right)=90^{0}\Rightarrow  \\m\left(\prec BOC\right)=90^{0}:6  \\m\left(\prec BOC\right)=15^{0}  \\m\left(\prec AOB\right)=5\cdot 15^{0}  \\m\left(\prec AOB\right)=65^{0}

Ca sa rezolvama problema de mai sus am tinut cont de faptul ca unghiurile sunt complementare, adica au masura de 90 de grade, dupa ce am scris suma celor doua unghiuri, am inlocuit unghiul AOB, cu notiunea pe care are o stim din ipoteza problemei, iar rezultatul obtinut l-am rezolvat ca si cum am fi rezolvat o ecuatie si am obtinut un unghi de 35 de grade si celalalt, adica complementul sau de 65 de grade.