Probleme cu unghiuri adiacene, unghiuri complementare si unghiuri suplementare

Dupa ce am invatat notiunile de unghiuri adiacente, unghiuri complementare, unghiuri complementare si despre bisectorea unui unghi, astazi o sa rezolvam probleme cu unghiuri in care apar aceste notiuni.
1) Daca \prec XOY si YOZ sunt unghiuri adiacente, \frac{m\left(\prec XOY\right)}{m\left(YOZ\right)}=\frac{2}{7}, iar bisectoarele lor formeaza un unghi de 45^{0}, aflati masurile unghiurilor \prec XOYsi \prec YOZ.
Solutie
bisectoare unui unghi
Din datele problemei am construit unghiul TOD (unghi format din bisectoarele celor doua unghiuri XOY si YOZ), stim ca m\left(\prec TOD\right)=45^{0}
Stim de asemenea ca
\frac{m\left(\prec XOY\right)}{m\left(YOZ\right)}=\frac{2}{7}\Rightarrow m\left(\prec XOY\right)=\frac{2}{7}\cdot m\left(\prec YOZ\right)
Stim ca daca OT este bisectoarea unghiului XOY rezulta ca m\left(\prec TOY\right)=\frac{1}{2}\cdot m\left(\prec XOY\right), de asemenea stim ca OD este bisectoarea unghiului YOZ rezulta ca m\left(\prec DOY\right)=\frac{1}{2}\cdot m\left(\prec YOZ\right),
Cum m\left(\prec TOD\right)=45^{0}\Rightarrow m\left(\prec TOY\right)+m\left(\prec YOD\right)=45^{0}\Rightarrow \frac{1}{2}\cdot m\left( \prec XOY\right)+\frac{1}{2}\cdot m\left(\prec YOZ\right)=45^{0}\Rightarrow \frac{m\left(\prec XOY\right)+m\left(\prec YOZ\right)}{2}=45^{0}\Rightarrow m\left(\prec XOY\right)+m\left(\prec YOZ\right)=90^{0}
Deci suma celor doua unghiuri este de 90 de grade
Dar stim ca  m\left(\prec XOY\right)=\frac{2}{7}\cdot m\left(\prec YOZ\right), inlocuind in ce am obtinut mai sus obtinem:
<br /> \frac{2}{7}\cdot m\left(\prec YOZ\right)+m\left(\prec YOZ\right)=90^{0}| \cdot 7<br /> \\2\cdot m\left(\prec YOZ\right)+7\cdot m\left(\prec YOZ\right)=90^{0}\cdot 7<br /> \\9 m\left(\prec YOZ\right)=630^{0}:9<br /> \\m\left(\prec YOZ\right)=70^{0}<br /> \\m\left(\prec XOY\right)=\frac{2}{7}\cdot m\left(\prec YOZ\right)=\frac{2}{7}\cdot 70^{0}=2\cdot 10^{0}=20^{0}<br />
Deci masura unghiului YOZ este de 70 de grade si masura unghiului XOY este de 20 de grade.
Important este sa stim cand doua unghiri sunt suplementare, coplementare sau cand sunt adiacente, sa stim definitia bisectoarei unui unghi si cum le aplicam in formule

cand douaunghiuri sunt complementare

Unghiuri adiacente, bisectoarea unui unghi, unghiuri suplementare si unghiuri complementare

Sa intelegem notiunile de unghiuri adiacente, unghiuri suplementare, unghiuri complementare si bisectoarea unui unghi. Incepem prin a defini notiunea de unghiuri adiacente, astfel:

Unghiuri adiacente

Def: Doua unghiuri proprii (unghiurile care nu sunt alungite si nu sunt nici nule)se numesc adiacente daca au o latura comuna si interioarele disjuncte (diferite, adica nu au aceiasi masura).

cand doua unghiuri sunt adiacente

Bisectoarea unui unghi

Def: Se numeste bisectoarea unui unghi, semidreapta cu originea in varful unghiului si care imparte unghiul in doua unghiuri congruente.

cum rezolvam problemele cu bisectoare
Unghiuri suplementare

Def: Doua unghiuri se numesc suplementare daca suma masurilor lor este egala cu 180^{0}.

cand doua unghiuri sunt suplementare
Unghiuri complementare

Def: Doua unghiuri se numesc complementare daca suma masurilor lor este egala cu 90^{0}.
cand douaunghiuri sunt complementare
Problema rezolvata pentru a intelege mai bine !

1) Unghiurile \prec AOB si \prec BOC sunt doua unghiuri adiacente si complementare. Aflati masurile lor stiind ca m\left(\prec AOB\right)=5 \cdot m\left(\prec BOC\right).

Solutie

Stim ca cele doua unghiuri sunt adiacente si complementare, deci scriem m\left(\prec AOB\right)+m\left(\prec BOC\right)= 90^{0}
Mai stim si ca m\left(\prec AOB\right)=5\cdot m\left(\prec BOC\right).
Inlocuind in prima relatie obtinem  5\cdot m\left(\prec BOC\right)+m\left(\prec BOC\right)=90^{0}\Rightarrow 6m\left(\prec BOC\right)=90^{0}\Rightarrow  \\m\left(\prec BOC\right)=90^{0}:6  \\m\left(\prec BOC\right)=15^{0}  \\m\left(\prec AOB\right)=5\cdot 15^{0}  \\m\left(\prec AOB\right)=65^{0}

Ca sa rezolvama problema de mai sus am tinut cont de faptul ca unghiurile sunt complementare, adica au masura de 90 de grade, dupa ce am scris suma celor doua unghiuri, am inlocuit unghiul AOB, cu notiunea pe care are o stim din ipoteza problemei, iar rezultatul obtinut l-am rezolvat ca si cum am fi rezolvat o ecuatie si am obtinut un unghi de 35 de grade si celalalt, adica complementul sau de 65 de grade.