Teorema catetei

Astazi o sa vorbim despre teorema catetei, care de asemenea joaca un rol important pentru a rezolva probleme in cazul in care stim o cateta si proiectia acesteia pe ipotenuza sau daca stim proiectia unei catete pe ipotenuza si ipotenuza. Astfel enuntul teoremei catetei este:
Intr-un triunghi dreptunghic patratul lungimii unei catete este egal cu produsul dintre lungimea ipotenuzei si proiectia acesteia pe ipotenuza.
 Teorema catetei
<br /> AB^{2}=BD\cdot BC<br />
in cazul in care vrem sa aflam cateta AB si stim BD, BC sau stim BD, AB si vrem sa aflam BC
sau
<br /> AC^{2}=CD\cdot BC<br /> .
in cazul in care vrem sa aflam cateta AC si stim DC, BC.
Exemplu:
In triunghiul dreptunghic ABC,  m(\prec A)=90^{0} , mediana AM, M\in (BC) este egala cu latura AB, Stiind ca AM=12 cm calculati:
a) lungimea proiectiilor BD si CD
b) lungimea catetei AC
Ip:
\\\Delta ABC dreptunghic
\\m(\prec A)=90^{0}
AM=12 cm
Cz: a) BD=?; DC=?
b) AC=?
Dem:
Teorema catetei aplicatie

AB=AM (din ipoteza), atunci triunghiul ABM isoscel, deci AB=12 cm. Stiim din clasa a VI-a teorema medianei, care ne spune ca ” Intr-un triunghi dreptunghic mediana dusa din varful unghiului drept masoara jumatate din ipotenuza”. Astfel ipoteza la noi este verificata, avem un triunghi dreptunghic, astfel aflam BC
<br /> \\AM=\frac{1}{2}\cdot BC<br /> \\ 12=\frac{1}{2}\cdot BC<br /> \\ BC=24 cm.<br />
Stim ca AM=AB, dar AM=BM deoarece AM mediana (se numeste mediana unui triunghi segmentul care uneste un triunghi cu mijlocul laturii opuse), deci  AM=BM=AB=12 cm, deci triunghiul ABM este echilateral.

Masura unghiului
Cum triunghiul ABM echilateral rezulta ca  m(\prec ABM)=60^{0}. Deci m(\prec ACB)= 30^{0}. Acum in triunghiul ADB dreptunghic in D, cu  m(\prec BAD)=30^{0} aplicam teorema 30^{0}-60^{0}-90^{0}, deci  BD=\frac{1}{2} \cdot AB. Deci BD=6 cm. Sau aplicam teorema catetei AB^{2}=BD\cdot BC\Rightarrow 144=BD\cdot 24\Rightarrow BD=\frac{144}{24}\Rightarrow BD=6 cm.
Cum BC=24 cm, BD=6 cm. Deci DC=24-6 =18 cm, iar pentru a afla AC aplicam teorema catetei AC^{2}=DC\cdot BC \Rightarrow AC^{2}=18\cdot 24\Rightarrow AC=\sqrt{18\cdot 24}\Rightarrow AC=12\sqrt{3} cm.
Deci ca sa rezolvam probleme ca cele de mai sus trebuie sa stim si cunostintele pe care le-am invatat in clasele anterioare.

Un comentariu la “Teorema catetei

Comentariile nu sunt permise.